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1.已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 -8x +k -2=0 $的两个实数根为$ m,n $.
(1)若方程的两个实数根$ m,n $分别为矩形的两条对角线的长,求$ k $的值.
(2)若方程的两个实数根$ m,n $分别为菱形的两条对角线的长,且菱形的面积为5,求$ k $的值.
(1)若方程的两个实数根$ m,n $分别为矩形的两条对角线的长,求$ k $的值.
(2)若方程的两个实数根$ m,n $分别为菱形的两条对角线的长,且菱形的面积为5,求$ k $的值.
答案
1. (1) 根据题意,得 $m=n$.
$\therefore \Delta=(-8)^2-4(k-2)=0$.
$\therefore k=18$.
故 $k$ 的值为 18.
1. (2) 根据题意,得$\frac{1}{2}mn=5$,即 $mn=10$.
根据根与系数的关系,得 $mn=k-2$.
进而 $k-2=10$.
解得 $k=12$. 故 $k$ 的值为 12.
$\therefore \Delta=(-8)^2-4(k-2)=0$.
$\therefore k=18$.
故 $k$ 的值为 18.
1. (2) 根据题意,得$\frac{1}{2}mn=5$,即 $mn=10$.
根据根与系数的关系,得 $mn=k-2$.
进而 $k-2=10$.
解得 $k=12$. 故 $k$ 的值为 12.
解析
【分析】
(1) 首先回忆矩形的性质：矩形的两条对角线长度相等，因此题中一元二次方程的两个实数根m和n相等，即方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式Δ=0，代入系数列方程即可求出k的值。
(2) 首先回忆菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，结合已知面积可先求出两根的乘积mn，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之积与方程系数的关系，代入数值即可求出k的值。
【解析】
(1)
∵矩形的两条对角线长度相等，方程的两个实数根m,n分别为矩形的两条对角线的长
∴m=n，即方程有两个相等的实数根
∴判别式$\Delta=(-8)^2 - 4×1×(k-2)=0$
计算得：$64 - 4k + 8 = 0$
$72 - 4k = 0$
解得$k=18$
(2)
∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，方程的两个实数根m,n分别为菱形的两条对角线的长，且菱形面积为5
∴$\frac{1}{2}mn=5$，即$mn=10$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 -8x +k -2=0$，两根之积$mn=k-2$
∴$k-2=10$
解得$k=12$
【答案】
(1) $k=18$；(2) $k=12$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；特殊四边形的性质
【点评】
本题将一元二次方程的相关知识与矩形、菱形的性质结合考查，解题的关键是结合几何图形的性质得到方程两根的关系，再代入对应代数公式求解，属于基础综合类题目，能很好地考查知识的融合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆矩形的性质：矩形的两条对角线长度相等，因此题中一元二次方程的两个实数根m和n相等，即方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式Δ=0，代入系数列方程即可求出k的值。
(2) 首先回忆菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，结合已知面积可先求出两根的乘积mn，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之积与方程系数的关系，代入数值即可求出k的值。
【解析】
(1)
∵矩形的两条对角线长度相等，方程的两个实数根m,n分别为矩形的两条对角线的长
∴m=n，即方程有两个相等的实数根
∴判别式$\Delta=(-8)^2 - 4×1×(k-2)=0$
计算得：$64 - 4k + 8 = 0$
$72 - 4k = 0$
解得$k=18$
(2)
∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，方程的两个实数根m,n分别为菱形的两条对角线的长，且菱形面积为5
∴$\frac{1}{2}mn=5$，即$mn=10$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 -8x +k -2=0$，两根之积$mn=k-2$
∴$k-2=10$
解得$k=12$
【答案】
(1) $k=18$；(2) $k=12$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；特殊四边形的性质
【点评】
本题将一元二次方程的相关知识与矩形、菱形的性质结合考查，解题的关键是结合几何图形的性质得到方程两根的关系，再代入对应代数公式求解，属于基础综合类题目，能很好地考查知识的融合运用能力。
【难度系数】
0.7
2. 根据物理学规律,如果把一个物体从地面以v m/s的速度竖直上抛,那么物体经过t s后的离地高度(单位:m)约为$vt - 4.9t^2$.已知$v=98$ m/s.
(1)自抛出起,经过多长时间,物体离地面的高度是490 m?
(2)自抛出开始计时,物体经过多长时间落回地面?
(1)自抛出起,经过多长时间,物体离地面的高度是490 m?
(2)自抛出开始计时,物体经过多长时间落回地面?
答案
2. (1) 根据题意,得 $98t-4.9t^2=490$.
解得 $t_1=t_2=10$.
因此,经过 10 s,物体离地面的高度是 490 m.
2. (2) 根据题意,得 $98t-4.9t^2=0$.
解得 $t_1=20,t_2=0$(不合题意,舍去).
因此,物体经过 20 s 落回地面.
解得 $t_1=t_2=10$.
因此,经过 10 s,物体离地面的高度是 490 m.
2. (2) 根据题意,得 $98t-4.9t^2=0$.
解得 $t_1=20,t_2=0$(不合题意,舍去).
因此,物体经过 20 s 落回地面.
解析
【分析】
本题是结合物理场景的一元二次方程应用问题，解题思路如下：首先题目已经给出了物体离地高度与运动时间的关系式$h=vt-4.9t^2$，我们只需将对应条件代入关系式即可得到关于时间$t$的一元二次方程。第一问求高度为490m的时间，直接将$h=490$、$v=98$代入列方程求解即可；第二问物体落回地面时离地高度为0，将$h=0$代入列方程，最后结合实际情况舍去不符合题意的根就能得到结果。
【解析】
(1) 已知$v=98\mathrm{m/s}$，物体离地高度$h=490\mathrm{m}$，代入高度公式得：
$98t-4.9t^2=490$
方程两边同时除以4.9整理得：
$t^2-20t+100=0$
因式分解得：
$(t-10)^2=0$
解得$t_1=t_2=10$。
(2) 物体落回地面时离地高度$h=0$，代入高度公式得：
$98t-4.9t^2=0$
提取公因式得：
$t(98-4.9t)=0$
解得$t_1=0$，$t_2=20$，其中$t=0$是物体抛出的初始时刻，不符合题意，舍去。
【答案】
(1) 经过$\boxed{10\ \mathrm{s}}$，物体离地面的高度是490 m；
(2) 物体经过$\boxed{20\ \mathrm{s}}$落回地面。
【知识点】
一元二次方程的应用、因式分解法解方程、实际问题根的检验
【点评】
本题结合生活常见的运动场景考查一元二次方程的应用，难度不高，核心是准确理解题意找到等量关系列方程，同时要注意结合实际情境对求出的根进行取舍，排除不符合现实逻辑的解。
【难度系数】
0.8
本题是结合物理场景的一元二次方程应用问题，解题思路如下：首先题目已经给出了物体离地高度与运动时间的关系式$h=vt-4.9t^2$，我们只需将对应条件代入关系式即可得到关于时间$t$的一元二次方程。第一问求高度为490m的时间，直接将$h=490$、$v=98$代入列方程求解即可；第二问物体落回地面时离地高度为0，将$h=0$代入列方程，最后结合实际情况舍去不符合题意的根就能得到结果。
【解析】
(1) 已知$v=98\mathrm{m/s}$，物体离地高度$h=490\mathrm{m}$，代入高度公式得：
$98t-4.9t^2=490$
方程两边同时除以4.9整理得：
$t^2-20t+100=0$
因式分解得：
$(t-10)^2=0$
解得$t_1=t_2=10$。
(2) 物体落回地面时离地高度$h=0$，代入高度公式得：
$98t-4.9t^2=0$
提取公因式得：
$t(98-4.9t)=0$
解得$t_1=0$，$t_2=20$，其中$t=0$是物体抛出的初始时刻，不符合题意，舍去。
【答案】
(1) 经过$\boxed{10\ \mathrm{s}}$，物体离地面的高度是490 m；
(2) 物体经过$\boxed{20\ \mathrm{s}}$落回地面。
【知识点】
一元二次方程的应用、因式分解法解方程、实际问题根的检验
【点评】
本题结合生活常见的运动场景考查一元二次方程的应用，难度不高，核心是准确理解题意找到等量关系列方程，同时要注意结合实际情境对求出的根进行取舍，排除不符合现实逻辑的解。
【难度系数】
0.8
3. 阅读下面的材料，并解决相关问题.
下图是一个三角点阵，从上往下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点.
(1)探索:三角点阵中前8行的点数之和为
(2)体验:三角点阵中前n行的点数之和
(3)运用:某广场要用420盆同样规格的花摆造型.若按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第m排2m盆的规律摆放，则一共能摆放多少排？
下图是一个三角点阵，从上往下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点.
(1)探索:三角点阵中前8行的点数之和为
36
，前15行的点数之和为120
，那么前n行的点数之和为$\frac{n(n+1)}{2}$
(用含n的代数式表示).(2)体验:三角点阵中前n行的点数之和
不能
为500.(填“能”或“不能”)(3)运用:某广场要用420盆同样规格的花摆造型.若按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第m排2m盆的规律摆放，则一共能摆放多少排？
答案
3. (1) 36 120 $\frac{n(n+1)}{2}$
3. (2) 不能
3. (3) 根据题意,得$\frac{(2+2m)m}{2}=420$,即 $m(m+1)=420$.
解得 $m_1=20,m_2=-21$(不合题意,舍去).
因此,一共能摆放 20 排.
3. (2) 不能
3. (3) 根据题意,得$\frac{(2+2m)m}{2}=420$,即 $m(m+1)=420$.
解得 $m_1=20,m_2=-21$(不合题意,舍去).
因此,一共能摆放 20 排.
解析
【分析】
(1) 首先观察三角点阵的点数规律：第1行1个点，第2行2个点……第n行n个点，前n行的点数和就是从1到n的连续自然数之和，用等差数列求和公式（首项加末项乘项数除以2）计算，分别代入n=8、n=15即可求出对应和，再整理出含n的代数式。
(2) 判断点数和能不能为500，只需令前n行和的代数式等于500，列一元二次方程求解，若解为正整数则能，反之则不能。
(3) 摆花规律是第m排有2m盆，前m排的总盆数是首项为2、末项为2m、项数为m的等差数列之和，令总和等于420列方程，求解后舍去负根即可得到排数。
【解析】
(1) 前n行的点数和为连续自然数求和：
$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
当$n=8$时，和为$\frac{8×(8+1)}{2}=36$
当$n=15$时，和为$\frac{15×(15+1)}{2}=120$
(2) 令$\frac{n(n+1)}{2}=500$，整理得$n^2+n-1000=0$
判别式$\Delta=1^2+4×1000=4001$，$\sqrt{4001}$不是整数，因此方程没有正整数解，故前n行的点数之和不能为500。
(3) 根据题意，前m排花的总盆数为首项为2、末项为2m的等差数列之和，列方程得：
$\frac{(2+2m)m}{2}=420$
化简得$m(m+1)=420$，即$m^2+m-420=0$
解得$m_1=20$，$m_2=-21$，排数不能为负，舍去$m_2=-21$。
【答案】
(1) $36$；$120$；$\frac{n(n+1)}{2}$
(2) 不能
(3) $20$排
【知识点】
等差数列求和；一元二次方程应用；数字规律探究
【点评】
本题将图形规律、数列求和与一元二次方程的应用结合，考查学生的规律归纳能力和方程求解能力，解题时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察三角点阵的点数规律：第1行1个点，第2行2个点……第n行n个点，前n行的点数和就是从1到n的连续自然数之和，用等差数列求和公式（首项加末项乘项数除以2）计算，分别代入n=8、n=15即可求出对应和，再整理出含n的代数式。
(2) 判断点数和能不能为500，只需令前n行和的代数式等于500，列一元二次方程求解，若解为正整数则能，反之则不能。
(3) 摆花规律是第m排有2m盆，前m排的总盆数是首项为2、末项为2m、项数为m的等差数列之和，令总和等于420列方程，求解后舍去负根即可得到排数。
【解析】
(1) 前n行的点数和为连续自然数求和：
$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
当$n=8$时，和为$\frac{8×(8+1)}{2}=36$
当$n=15$时，和为$\frac{15×(15+1)}{2}=120$
(2) 令$\frac{n(n+1)}{2}=500$，整理得$n^2+n-1000=0$
判别式$\Delta=1^2+4×1000=4001$，$\sqrt{4001}$不是整数，因此方程没有正整数解，故前n行的点数之和不能为500。
(3) 根据题意，前m排花的总盆数为首项为2、末项为2m的等差数列之和，列方程得：
$\frac{(2+2m)m}{2}=420$
化简得$m(m+1)=420$，即$m^2+m-420=0$
解得$m_1=20$，$m_2=-21$，排数不能为负，舍去$m_2=-21$。
【答案】
(1) $36$；$120$；$\frac{n(n+1)}{2}$
(2) 不能
(3) $20$排
【知识点】
等差数列求和；一元二次方程应用；数字规律探究
【点评】
本题将图形规律、数列求和与一元二次方程的应用结合，考查学生的规律归纳能力和方程求解能力，解题时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
