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【典型例题 4】某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率.
(2)若该种商品的进价为300元/件,两次降价后共售出此种商品100件,要使两次降价后销售的总利润不少于3 120元,则第一次降价后至少要售出该种商品多少件?
思路导引 (1)根据等量关系:原价×$(1-$下降率$)^2=$降价两次后的价格,列一元二次方程求解.(2)根据两次利润总和大于或等于3 120列不等式求解.另外解题时要注意检验所得的解是否符合实际意义.
【解】(1)设该种商品每次降价的百分率为$x$.
根据题意,得$400(1-x)^2=324$.
解得$x_1=0.1,x_2=1.9$(不合题意,舍去).
因此,该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品$m$件.
根据题意,得$[400×(1-10\%)-300]m+(324-300)(100-m)≥3120$.解得$m≥20$.
因此,第一次降价后至少要售出该种商品20件.
(1)求该种商品每次降价的百分率.
(2)若该种商品的进价为300元/件,两次降价后共售出此种商品100件,要使两次降价后销售的总利润不少于3 120元,则第一次降价后至少要售出该种商品多少件?
思路导引 (1)根据等量关系:原价×$(1-$下降率$)^2=$降价两次后的价格,列一元二次方程求解.(2)根据两次利润总和大于或等于3 120列不等式求解.另外解题时要注意检验所得的解是否符合实际意义.
【解】(1)设该种商品每次降价的百分率为$x$.
根据题意,得$400(1-x)^2=324$.
解得$x_1=0.1,x_2=1.9$(不合题意,舍去).
因此,该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品$m$件.
根据题意,得$[400×(1-10\%)-300]m+(324-300)(100-m)≥3120$.解得$m≥20$.
因此,第一次降价后至少要售出该种商品20件.
答案
解：(1)设该种商品每次降价的百分率为$x$。
根据题意，得
$400(1-x)^2=324$
解得 $x_1=0.1$，$x_2=1.9$。
因为降价的百分率不能大于1，$x_2=1.9$不符合实际意义，舍去。
因此该种商品每次降价的百分率为$10\%$。
(2)设第一次降价后售出该种商品$m$件。
根据题意，得
$[400×(1-10\%)-300]m+(324-300)(100-m)≥3120$
化简得 $60m+24(100-m)≥3120$
解得 $m≥20$。
答：第一次降价后至少要售出该种商品20件。
根据题意，得
$400(1-x)^2=324$
解得 $x_1=0.1$，$x_2=1.9$。
因为降价的百分率不能大于1，$x_2=1.9$不符合实际意义，舍去。
因此该种商品每次降价的百分率为$10\%$。
(2)设第一次降价后售出该种商品$m$件。
根据题意，得
$[400×(1-10\%)-300]m+(324-300)(100-m)≥3120$
化简得 $60m+24(100-m)≥3120$
解得 $m≥20$。
答：第一次降价后至少要售出该种商品20件。
解析
【分析】
(1)第一问属于两次同百分率降价问题，可套用降价问题固定等量关系：原价×(1-降价百分率)²=两次降价后售价。先设降价百分率为x，代入已知数据列一元二次方程，求解后需舍去大于1的不符合实际的解，即可得到结果。
(2)第二问属于利润类不等式应用问题，总利润=单件利润×销售量，本题总利润由第一次降价销售利润、第二次降价销售利润两部分组成。先分别算出两次降价后的单件利润，设第一次降价后销量为m件，则第二次销量为(100-m)件，根据总利润不少于3120元列不等式，求解后取最小正整数解即可。
【解析】
(1)设该种商品每次降价的百分率为$x$。
根据题意列方程：
$400(1-x)^2=324$
解得 $x_1=0.1$，$x_2=1.9$。
因为降价百分率需满足$0＜x＜1$，$x_2=1.9$不符合实际意义，舍去。
因此该种商品每次降价的百分率为$10\%$。
(2)设第一次降价后售出该种商品$m$件。
根据题意列不等式：
$[400×(1-10\%)-300]m+(324-300)(100-m)≥3120$
化简得 $60m+24(100-m)≥3120$
进一步整理得$36m≥720$
解得 $m≥20$。
因此第一次降价后至少要售出该种商品20件。
【答案】
(1) 该种商品每次降价的百分率为10%；
(2) 第一次降价后至少要售出该种商品20件。
【知识点】
一元二次方程应用，一元一次不等式应用，销售利润计算
【点评】
本题结合商品销售的实际场景，考查了百分率变化问题的建模能力和不等式的实际应用能力，解题时要注意求解结果需符合实际意义，属于基础应用型题目，掌握核心公式即可快速解答。
【难度系数】
0.7
(1)第一问属于两次同百分率降价问题，可套用降价问题固定等量关系：原价×(1-降价百分率)²=两次降价后售价。先设降价百分率为x，代入已知数据列一元二次方程，求解后需舍去大于1的不符合实际的解，即可得到结果。
(2)第二问属于利润类不等式应用问题，总利润=单件利润×销售量，本题总利润由第一次降价销售利润、第二次降价销售利润两部分组成。先分别算出两次降价后的单件利润，设第一次降价后销量为m件，则第二次销量为(100-m)件，根据总利润不少于3120元列不等式，求解后取最小正整数解即可。
【解析】
(1)设该种商品每次降价的百分率为$x$。
根据题意列方程：
$400(1-x)^2=324$
解得 $x_1=0.1$，$x_2=1.9$。
因为降价百分率需满足$0＜x＜1$，$x_2=1.9$不符合实际意义，舍去。
因此该种商品每次降价的百分率为$10\%$。
(2)设第一次降价后售出该种商品$m$件。
根据题意列不等式：
$[400×(1-10\%)-300]m+(324-300)(100-m)≥3120$
化简得 $60m+24(100-m)≥3120$
进一步整理得$36m≥720$
解得 $m≥20$。
因此第一次降价后至少要售出该种商品20件。
【答案】
(1) 该种商品每次降价的百分率为10%；
(2) 第一次降价后至少要售出该种商品20件。
【知识点】
一元二次方程应用，一元一次不等式应用，销售利润计算
【点评】
本题结合商品销售的实际场景，考查了百分率变化问题的建模能力和不等式的实际应用能力，解题时要注意求解结果需符合实际意义，属于基础应用型题目，掌握核心公式即可快速解答。
【难度系数】
0.7
6.已知一个直角梯形的下底比上底长2，高比上底短1，面积是8，则这个直角梯形的上底长为
3
.答案
6. 3
解析
【分析】
本题可通过列一元二次方程求解，解题思路如下：首先设直角梯形的上底长为未知数，再根据题干给出的上下底、高与上底的数量关系，用含未知数的代数式表示出下底和高，最后结合梯形面积公式列出方程，求解后结合实际意义舍去不符合要求的根即可得到结果。
【解析】
设这个直角梯形的上底长为$ x $（$ x＞1 $，保证高为正数），则下底长为$ x+2 $，高为$ x-1 $。
根据梯形面积公式$ S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高 $，代入已知面积为8，可得：
$\frac{1}{2}[x + (x+2)]· (x-1) = 8$
化简方程：
$\frac{1}{2}(2x+2)(x-1) = 8$
将$ 2x+2 $提取公因数2得：
$\frac{1}{2}× 2(x+1)(x-1) = 8$
即$ x^2 - 1 = 8 $，整理得$ x^2 = 9 $，解得$ x_1=3 $，$ x_2=-3 $。
由于梯形的上底长为正数，故舍去$ x=-3 $，因此上底长为3。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的应用；梯形面积计算；实际问题的根的取舍
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心是找到等量关系建立方程，需要注意的是解一元二次方程得到的根要结合实际场景判断是否符合要求，避免出现不符合实际的负长度结果。
【难度系数】
0.75
本题可通过列一元二次方程求解，解题思路如下：首先设直角梯形的上底长为未知数，再根据题干给出的上下底、高与上底的数量关系，用含未知数的代数式表示出下底和高，最后结合梯形面积公式列出方程，求解后结合实际意义舍去不符合要求的根即可得到结果。
【解析】
设这个直角梯形的上底长为$ x $（$ x＞1 $，保证高为正数），则下底长为$ x+2 $，高为$ x-1 $。
根据梯形面积公式$ S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高 $，代入已知面积为8，可得：
$\frac{1}{2}[x + (x+2)]· (x-1) = 8$
化简方程：
$\frac{1}{2}(2x+2)(x-1) = 8$
将$ 2x+2 $提取公因数2得：
$\frac{1}{2}× 2(x+1)(x-1) = 8$
即$ x^2 - 1 = 8 $，整理得$ x^2 = 9 $，解得$ x_1=3 $，$ x_2=-3 $。
由于梯形的上底长为正数，故舍去$ x=-3 $，因此上底长为3。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的应用；梯形面积计算；实际问题的根的取舍
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心是找到等量关系建立方程，需要注意的是解一元二次方程得到的根要结合实际场景判断是否符合要求，避免出现不符合实际的负长度结果。
【难度系数】
0.75
7.某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养了320只鸡，2025年养了500只鸡.
(1)求从2023年到2025年的年平均增长率.
(2)为了扩大养殖规模，该农户又购买了39 m长的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个如图所示的靠墙(墙长15 m)的矩形养鸡场.能否建成一个面积为120 m²的矩形养鸡场？若能，请求出养鸡场的长(AB的长)和宽(BC的长)；若不能，请说明理由.
(1)求从2023年到2025年的年平均增长率.
(2)为了扩大养殖规模，该农户又购买了39 m长的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个如图所示的靠墙(墙长15 m)的矩形养鸡场.能否建成一个面积为120 m²的矩形养鸡场？若能，请求出养鸡场的长(AB的长)和宽(BC的长)；若不能，请说明理由.
答案
7.【解】(1)设从2023年到2025年的年平均增长率为$x$.
根据题意,得$320(1+x)^2=500$.
解得$x_1=0.25,x_2=-2.25$(不合题意,舍去).
因此,从2023年到2025年的年平均增长率为25%.
(2)设养鸡场的宽为$y$ m,则养鸡场的长为$(39-3y)$m.
根据题意,得$y(39-3y)=120$.
解得$y_1=5,y_2=8$.
当$y=5$时,$39-3y=39-3×5=24,24＞15$,不合题意,舍去.
当$y=8$时,$39-3y=39-3×8=15$,符合题意.
因此,养鸡场的长为15 m,宽为8 m.
根据题意,得$320(1+x)^2=500$.
解得$x_1=0.25,x_2=-2.25$(不合题意,舍去).
因此,从2023年到2025年的年平均增长率为25%.
(2)设养鸡场的宽为$y$ m,则养鸡场的长为$(39-3y)$m.
根据题意,得$y(39-3y)=120$.
解得$y_1=5,y_2=8$.
当$y=5$时,$39-3y=39-3×5=24,24＞15$,不合题意,舍去.
当$y=8$时,$39-3y=39-3×8=15$,符合题意.
因此,养鸡场的长为15 m,宽为8 m.
解析
【分析】
(1) 第一问属于平均增长率类问题，解题核心是利用增长率的通用等量关系：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ=最终量，其中n为增长的年数。本题2023年到2025年间隔2年，n=2，设年平均增长率为x，代入已知数据列方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的根。
(2) 第二问是一元二次方程的几何实际应用，首先观察图形可知：靠墙的DC边无需设置铁栅栏，铁栅栏共包含3条垂直于墙的边（AD、EF、BC）和1条平行于墙的边（AB）。设垂直于墙的宽BC为y m，可推出平行于墙的长AB为(39-3y)m，再根据矩形面积公式列方程求解，最后要结合墙长15m的限制条件，检验所得的根是否符合实际，舍去不符合要求的解。
【解析】
(1) 设从2023年到2025年的年平均增长率为$x$。
根据题意列方程：
$320(1+x)^2=500$
解得$x_1=0.25$，$x_2=-2.25$。
因为年平均增长率不能为负，$x_2=-2.25$不合题意，舍去。
(2) 设养鸡场的宽$BC$为$y$ m，则养鸡场的长$AB$为$(39-3y)$m。
根据矩形面积为$120\ \mathrm{m}^2$列方程：
$y(39-3y)=120$
解得$y_1=5$，$y_2=8$。
检验根的合理性：
当$y=5$时，$39-3y=39-3×5=24$，$24＞15$，超过墙长，不合题意，舍去；
当$y=8$时，$39-3y=39-3×8=15$，符合墙长限制条件。
【答案】
(1) 从2023年到2025年的年平均增长率为25%；
(2) 能建成，养鸡场的长为15 m，宽为8 m。
【知识点】
平均增长率计算，一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，既考察了增长率问题的基本公式应用，又结合几何场景考察了学生分析图形、提取等量关系的能力，解题时要特别注意实际问题中解的合理性检验，避免忽略限制条件出现错误。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于平均增长率类问题，解题核心是利用增长率的通用等量关系：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ=最终量，其中n为增长的年数。本题2023年到2025年间隔2年，n=2，设年平均增长率为x，代入已知数据列方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的根。
(2) 第二问是一元二次方程的几何实际应用，首先观察图形可知：靠墙的DC边无需设置铁栅栏，铁栅栏共包含3条垂直于墙的边（AD、EF、BC）和1条平行于墙的边（AB）。设垂直于墙的宽BC为y m，可推出平行于墙的长AB为(39-3y)m，再根据矩形面积公式列方程求解，最后要结合墙长15m的限制条件，检验所得的根是否符合实际，舍去不符合要求的解。
【解析】
(1) 设从2023年到2025年的年平均增长率为$x$。
根据题意列方程：
$320(1+x)^2=500$
解得$x_1=0.25$，$x_2=-2.25$。
因为年平均增长率不能为负，$x_2=-2.25$不合题意，舍去。
(2) 设养鸡场的宽$BC$为$y$ m，则养鸡场的长$AB$为$(39-3y)$m。
根据矩形面积为$120\ \mathrm{m}^2$列方程：
$y(39-3y)=120$
解得$y_1=5$，$y_2=8$。
检验根的合理性：
当$y=5$时，$39-3y=39-3×5=24$，$24＞15$，超过墙长，不合题意，舍去；
当$y=8$时，$39-3y=39-3×8=15$，符合墙长限制条件。
【答案】
(1) 从2023年到2025年的年平均增长率为25%；
(2) 能建成，养鸡场的长为15 m，宽为8 m。
【知识点】
平均增长率计算，一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，既考察了增长率问题的基本公式应用，又结合几何场景考察了学生分析图形、提取等量关系的能力，解题时要特别注意实际问题中解的合理性检验，避免忽略限制条件出现错误。
【难度系数】
0.7
