1. (教材习题变式)【新情境】生活中经常把井盖做成圆形,这样井盖就不会掉进井里去,这是因为（）

A.圆的直径是半径的2倍
B.同一个圆所有的直径都相等
C.圆的周长是直径的$π$倍
D.圆是轴对称图形

1. B

【分析】
要解决这道题，需结合生活实际中井盖的特性，分析每个选项对应的圆的性质是否符合“井盖不会掉进井里”的核心原因。圆形井盖无论如何转动，其直径始终大于井口直径，这是关键。逐一分析选项：A选项是圆的直径与半径的数量关系，与井盖不掉落无关；B选项同一个圆所有直径都相等，能保证井盖直径固定，不会因转动变小，始终大于井口直径，符合要求；C选项是圆周长与直径的关系，和井盖实用性无关；D选项圆的轴对称性，无法解释井盖不掉落的原因。因此正确选项为B。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：圆的直径是半径的2倍，属于圆的半径与直径的数量关系，与井盖不会掉进井里的原因无关，排除；
选项B：同一个圆所有直径都相等，圆形井盖的直径固定，无论如何转动，其直径始终大于井口直径，因此不会掉进井里，符合题意；
选项C：圆的周长是直径的π倍，属于圆周长与直径的关系，与井盖的实用性无关，排除；
选项D：圆是轴对称图形，轴对称性不能解释井盖不会掉落的原因，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际情境，考查圆的直径的性质，属于基础题，难度不大，需要学生将数学知识与生活现象结合理解。
【难度系数】
0.8

2. 下列说法正确的是（）

A.经过圆心的线段是直径
B.直径是同一个圆中最长的弦
C.长度相等的两条弧是等弧
D.弧分为优弧和劣弧

2. B

【分析】
这道题考查圆的相关基本概念，需结合直径、弦、等弧、弧的分类的定义逐一判断选项正误：首先回忆各概念的核心定义，再针对每个选项的描述是否符合定义进行分析，排除错误选项，确定正确答案。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：直径的定义是“经过圆心且两端都在圆上的线段”，仅经过圆心的线段，若两端不在圆上则不符合直径的定义，故A错误。
选项B：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的特殊弦，其长度为2倍半径，是同一个圆中最长的弦，故B正确。
选项C：等弧的定义是“在同圆或等圆中，能够完全重合的弧”，仅长度相等的两条弧，未限定同圆或等圆，不一定能完全重合，不是等弧，故C错误。
选项D：弧分为优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）和半圆，并非只有优弧和劣弧，故D错误。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本概念、直径与弦的关系、等弧的定义
【点评】
本题考查圆的基础概念，需准确记忆各概念的核心条件，避免遗漏关键限定（如直径的两端位置、等弧的同圆/等圆前提、弧的分类包含半圆等），属于基础概念类题目。
【难度系数】
0.8

3. 已知$\odot O$的半径是3 cm，则$\odot O$中最长的弦的长是（）

A.3 cm
B.6 cm
C.1.5 cm
D.$\sqrt{3}$ cm

3. B 解析:
∵圆的直径为圆中最长的弦,
∴⊙O中最长的弦的长度为2×3=6(cm).

【分析】要解决本题，需先掌握圆的核心性质：圆中最长的弦是直径。已知圆的半径，利用直径与半径的数量关系（直径=2×半径），即可计算出最长弦的长度，进而选出正确选项。
【解析】根据圆的基本性质，圆中最长的弦为直径。已知⊙O的半径是3 cm，因此直径长度为2×3=6 cm，即⊙O中最长的弦长为6 cm，对应选项B。
【答案】B
【知识点】圆的弦的性质；直径与半径的关系
【点评】本题考查圆的基础性质，属于简单题，只要牢记“圆中最长弦是直径”以及直径和半径的换算关系，就能快速得出答案，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.9

4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=50°$,以点$B$为圆心、$BC$的长为半径画弧,交$AB$于点$D$,连接$CD$,则$∠ ACD$的度数为（）

A.$50°$
B.$40°$
C.$30°$
D.$20°$

4. D 解析:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,
∴∠B=40°.
∵点D在以点B为圆心、BC的长为半径的弧上,
∴BD=BC,
∴∠BCD=∠BDC=$\frac{1}{2}$(180°−∠B)=70°,
∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=20°.

【分析】
要解决这道题，需结合直角三角形的内角性质和等腰三角形的性质逐步推导：首先在Rt△ABC中，利用三角形内角和算出∠B的度数；再根据作图得到BD=BC，判断△BCD为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等和内角和求出∠BCD；最后用∠ACB减去∠BCD，即可得到∠ACD的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ B=180° - ∠ ACB - ∠ A = 180° - 90° - 50° = 40°$。
由题意，以点$B$为圆心、$BC$的长为半径画弧，交$AB$于点$D$，因此$BD=BC$，即$△ BCD$是等腰三角形，所以$∠ BCD=∠ BDC$。
根据三角形内角和，$∠ BCD=\frac{1}{2}(180° - ∠ B)=\frac{1}{2}(180° - 40°)=70°$。
因此$∠ ACD=∠ ACB - ∠ BCD=90° - 70°=20°$。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形性质、等腰三角形性质、三角形内角和
【点评】
本题结合直角三角形与等腰三角形的性质考查角度计算，解题关键是利用等腰三角形等边对等角的性质求出$∠ BCD$，整体属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

5. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,点$C$、$E$在圆上,$CO$的延长线交$BE$于点$D$,则图中的线段是弦的是,是直径的是,是半径的是.图中的弧是劣弧的是,是优弧的是.

5. AB、BE AB OA、OB、OC $\overset{\frown}{AC}、\overset{\frown}{BC}、\overset{\frown}{BE}、\overset{\frown}{AE}、\overset{\frown}{CE}$ $\overset{\frown}{AEC}、\overset{\frown}{EBC}、\overset{\frown}{EBA}、\overset{\frown}{BCE}、\overset{\frown}{CAB}$

【分析】要解答本题，需先明确圆的核心概念：①弦是连接圆上任意两点的线段；②直径是经过圆心的弦；③半径是圆心到圆上任意一点的线段；④劣弧是小于半圆的弧；⑤优弧是大于半圆的弧（用三个字母表示）。再结合图形，依据这些定义逐一找出对应的线段和弧即可。
【解析】1. 弦：根据弦的定义，图中连接圆上两点的线段为AB（A、B在圆上）、BE（B、E在圆上），故弦是AB、BE；2. 直径：直径是经过圆心的弦，AB经过圆心O，故直径是AB；3. 半径：半径是圆心O到圆上点的线段，OA（O到A）、OB（O到B）、OC（O到C）符合要求，故半径是OA、OB、OC；4. 劣弧：劣弧是小于半圆的弧，图中$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{BE}$、$\overset{\frown}{AE}$、$\overset{\frown}{CE}$均小于半圆，属于劣弧；5. 优弧：优弧是大于半圆的弧，图中$\overset{\frown}{AEC}$、$\overset{\frown}{EBC}$、$\overset{\frown}{EBA}$、$\overset{\frown}{BCE}$、$\overset{\frown}{CAB}$均大于半圆，属于优弧。
【答案】AB、BE；AB；OA、OB、OC；$\overset{\frown}{AC}、\overset{\frown}{BC}、\overset{\frown}{BE}、\overset{\frown}{AE}、\overset{\frown}{CE}$；$\overset{\frown}{AEC}、\overset{\frown}{EBC}、\overset{\frown}{EBA}、\overset{\frown}{BCE}、\overset{\frown}{CAB}$
【知识点】圆的弦、直径、半径；圆的弧（劣弧、优弧）
【点评】本题考查圆的基础概念，属于简单题型，准确掌握弦、直径、半径、劣弧、优弧的定义是解题关键，适合巩固圆的入门知识点。
【难度系数】0.8

6. 如图,$\odot O$的半径为4 cm,$∠ AOB=60^{ \circ }$,则弦$AB$的长为cm.

6. 4

【分析】
要计算弦AB的长度，先明确OA、OB都是⊙O的半径，因此OA=OB。结合已知的∠AOB=60°，可判断△AOB的形状，进而求出AB的长度。
【解析】
∵ ⊙O的半径为4 cm，
∴ OA = OB = 4 cm。
又
∵ ∠AOB = 60°，
∴ △AOB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB = OA = 4 cm。
【答案】
4
【知识点】
圆的半径、等边三角形的判定、等边三角形的性质
【点评】
本题结合圆的半径性质与等边三角形的判定来求弦长，属于基础题型，考查对圆和三角形基本性质的应用，难度较低。
【难度系数】
0.7

7. 如图 ,$AB$ 是$\odot O$ 的直径 , 点 $C$ 在$\odot O$ 上 ,$CD⊥ AB$, 垂足为 $D$, 已知 $CD=4,OD=3$, 则$\odot O$ 的直径为.

7. 10 解析:如图,连接OC.
∵CD⊥AB,
∴∠CDO=90°.在Rt△OCD中,$OC=\sqrt{OD^2+DC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
∴AB=2OC=10,即⊙O的直径为10.

【分析】
要计算⊙O的直径，需先求出圆的半径OC：连接OC后，CD⊥AB可得△OCD是直角三角形，已知OD和CD的长度，用勾股定理可算出OC的长度，再根据直径是半径的2倍，即可求出直径。
【解析】
解：连接OC，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDO = 90°，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
OC = √(OD² + CD²) = √(3² + 4²) = √25 = 5，
∵ OC是⊙O的半径，AB是⊙O的直径，
∴ AB = 2OC = 2×5 = 10，
即⊙O的直径为10。
【答案】
10
【知识点】
圆的半径与直径、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，考查圆的半径性质及勾股定理的应用，解题核心是构造直角三角形求半径，属于学生需掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

8. 如图,在$\odot O$中,点$C$、$D$在弦$AB$上,且$OC=OD$,求证:$AC=BD$.

8. 证明:连接OA、OB.
∵OA=OB,
∴∠A=∠B.
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC.
∵∠OCD+∠OCA=180°,∠ODC+∠ODB=180°,
∴∠OCA = ∠ODB,
∴ △ACO ≅ △BDO(AAS),
∴AC=BD.

【分析】要证明AC=BD，可通过证明包含这两条线段的三角形全等。首先，OA、OB都是⊙O的半径，故OA=OB，可得∠A=∠B；已知OC=OD，等腰△OCD的底角相等，即∠OCD=∠ODC，再根据邻补角的性质，推出∠OCA=∠ODB；最后利用AAS判定△ACO≌△BDO，即可得到AC=BD。
【解析】证明：连接OA、OB。
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
∴ ∠A=∠B。
∵ OC=OD，
∴ ∠OCD=∠ODC。
又
∵ ∠OCD + ∠OCA = 180°，∠ODC + ∠ODB = 180°，
∴ ∠OCA = ∠ODB。
在△ACO和△BDO中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠B, \\∠OCA=∠ODB, \\OC=OD,\end{array} $
∴ △ACO ≌ △BDO（AAS），
∴ AC=BD。
【答案】AC=BD
【知识点】圆的半径性质，等腰三角形性质，全等三角形判定（AAS）
【点评】本题是圆中线段相等的基础证明题，通过连接半径构造等腰三角形，结合邻补角性质和全等三角形判定定理完成证明，考查了圆的基本性质和全等三角形的应用，属于常规题型。
【难度系数】0.6