1. 若直径为 13 cm 的圆与一条直线有两个公共点,则圆心到该直线的距离 d 满足 （）

A.$d=13\ \mathrm{cm}$
B.$d=6.5\ \mathrm{cm}$
C.$0\ \mathrm{cm} ≤ d ＜ 6.5\ \mathrm{cm}$
D.$d ＞ 6.5\ \mathrm{cm}$

1. C

【分析】首先需明确直线与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$，当$d＞r$时直线与圆相离（无公共点），$d=r$时相切（1个公共点），$d＜r$时相交（2个公共点）；同时距离$d$具有非负性。本题先由直径算出半径，再结合“两个公共点”即相交的条件，确定$d$的范围。
【解析】已知圆的直径为$13\ \mathrm{cm}$，则半径$r=\frac{13}{2}=6.5\ \mathrm{cm}$。因为圆与直线有两个公共点，说明直线与圆相交，根据相交条件得$d＜r$，又距离$d≥0$，因此$0\ \mathrm{cm} ≤ d ＜ 6.5\ \mathrm{cm}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【点评】本题考查直线与圆位置关系的基础应用，核心是牢记$d$与$r$的数量关系，注意距离的非负性，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.8

2. (2025·自贡) $PA$、$PB$ 分别与 $\odot O$ 相切于 $A$、$B$ 两点, 点 $C$ 在 $\odot O$ 上, 不与点 $A$、$B$ 重合. 若$∠ P=80°$, 则 $∠ ACB$ 的度数为（）

A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$ 或 $130°$

2. D 解析:如图,连接OA、OB.
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴∠AOB=180°-∠P=180°-80°=100°.当点C在优弧AB上时,∠ACB=1/2∠AOB=1/2×100°=50°;当点C'在劣弧AB上时,∠AC'B=180°-∠ACB=180°-50°=130°.综上所述,∠ACB的度数是50°或130°.

【分析】
要解决本题，需先利用切线的性质求出圆心角∠AOB的度数，再结合圆周角定理，注意点C在圆上的位置有两种情况（优弧AB和劣弧AB），需分类讨论计算对应圆周角的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB。
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），
∴∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，内角和为360°，已知∠P=80°，
∴∠AOB=360°−∠OAP−∠OBP−∠P=360°−90°−90°−80°=100°。
分两种情况讨论：
①当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠ACB=1/2∠AOB=1/2×100°=50°；
②当点C在劣弧AB上时，同弦AB所对的圆周角，优弧与劣弧对应的角互补，
∴∠ACB=180°−50°=130°。
综上，∠ACB的度数为50°或130°，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、分类讨论思想
【点评】
本题综合考查切线性质与圆周角定理的应用，核心是注意点C在圆上的位置存在两种情况，需用分类讨论思想求解，是易错题，体现了几何问题中位置分析的重要性。
【难度系数】
0.5

3. 当宽为3 cm 的刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆的两个交点处的读数如图所示(单位: cm),那么该圆的半径为（）

A.5 cm
B.$\dfrac{25}{6}$ cm
C.3 cm
D.4 cm

3. B 解析:如图,设圆的圆心为点O,⊙O与刻度尺的一边相交于点A、B,与另一边相交于点C,连接OC、OA.
∵刻度尺的一边与圆相切,
∴OC⊥刻度尺的这一边.
∵刻度尺的两边平行,
∴OC⊥AB,
∴AD=BD=1/2 AB=1/2×8=4(cm).设⊙O的半径为r cm,则OA=OC=r cm,OD=OC-CD=(r-3)cm.在Rt△OAD中,OD²+DA²=OA²,即(r-3)²+4²=r²,解得r=25/6,即该圆的半径为25/6 cm.

【分析】要解决该问题，需结合切线的性质、垂径定理和勾股定理，通过构造直角三角形，利用方程思想求解圆的半径：首先确定刻度尺与圆相交两点的距离，再根据切线性质得到垂直关系，结合垂径定理构造直角三角形，设半径为未知数，利用勾股定理列方程计算。
【解析】解：由图可知，刻度尺上A点读数为1cm，B点读数为9cm，因此弦AB的长度为 $ AB = 9 - 1 = 8 \, \mathrm{cm} $。
设圆的圆心为O，⊙O与刻度尺的下边相切于点C，连接OA、OC，OC与AB交于点D。
因为刻度尺的一边与圆相切，所以 $ OC ⊥ $ 刻度尺的下边；又刻度尺的上下两边平行，故 $ OC ⊥ AB $。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此 $ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4 \, \mathrm{cm} $。
设⊙O的半径为 $ r \, \mathrm{cm} $，则 $ OA = OC = r \, \mathrm{cm} $；已知刻度尺宽度为3cm，因此 $ OD = OC - CD = (r - 3) \, \mathrm{cm} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ OAD $ 中，由勾股定理得：$ OD^2 + AD^2 = OA^2 $，代入数值得：
$ (r - 3)^2 + 4^2 = r^2 $
展开化简：$ r^2 - 6r + 9 + 16 = r^2 $，消去 $ r^2 $ 后解得 $ r = \frac{25}{6} \, \mathrm{cm} $。
【答案】B. $ \dfrac{25}{6} $ cm
【知识点】垂径定理、勾股定理、切线的性质
【点评】本题是初中几何中垂径定理、勾股定理与切线性质的综合应用，核心是通过构造直角三角形，用方程思想求解半径，属于常规基础题，注重知识点的结合运用。
【难度系数】0.6

4. 如图,$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$CD$是$\odot O$的切线,连接$AB$、$OA$、$OB$,$OB$的延长线交$CD$于点$D$.若$∠ AOB=120°,AB=2\sqrt{3}$,则$CD$的长是（）

A.$2$
B.$2\sqrt{3}$
C.$4$
D.$3\sqrt{3}$

4. B 解析:如图,连接OC、BC.
∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD,
∴∠OCD=90°.
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴∠BOC=∠AOC=1/2∠AOB=1/2×120°=60°.
∵OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴BC=OB,∠OCB=60°,
∴∠BCD=∠OCD-∠OCB=30°.
∵∠AOB=120°,OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=1/2×(180°-120°)=30°.
∵∠D=90°-∠BOC=30°,
∴∠BCD=∠OBA,∠D=∠OAB,BC=OB,
∴△BCD≌△OBA(AAS),
∴CD=BA=2√3.

【分析】
要解决这道题，首先利用切线的性质得到OC⊥CD，再结合C是弧AB中点的条件，求出相关圆心角的度数，进而判断△OBC为等边三角形；接着分析△OAB的角度，再通过角度关系找到全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出CD的长度。
【解析】
解：如图，连接OC、BC。
1. 因为CD是⊙O的切线，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以OC⊥CD，即∠OCD=90°。
2. 因为C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据圆心角与弧的关系，可得∠BOC=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×120°=60°$。
3. 又因为OB=OC（都是⊙O的半径），所以△OBC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），因此BC=OB，∠OCB=60°，进而∠BCD=∠OCD - ∠OCB=90°-60°=30°。
4. 在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），∠AOB=120°，所以∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180°-120°)=30°$。
5. 在Rt△OCD中，∠COD=∠BOC=60°，所以∠D=90°-60°=30°，因此∠BCD=∠OBA=30°，∠D=∠OAB=30°，且BC=OB，所以△BCD≌△OBA（AAS：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）。
6. 根据全等三角形的对应边相等，可得CD=BA=2√3。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的切线性质、弧中点的性质、等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是合理添加辅助线，利用圆的相关性质推导角度关系，通过全等三角形转化线段长度，难度适中，需熟练掌握圆与三角形的相关定理。
【难度系数】
0.5

5. 已知$\odot O$的面积为$25π$，点$P$与$\odot O$在同一平面内. 若$PO=2\sqrt{6}$，则点$P$在$\odot O$.
（填“内”“上”或“外”）

5. 内 解析:由题意可知,⊙O的半径为5.
∵2√6=√24＜√25=5,
∴点P在⊙O内.

【分析】要判断点P与⊙O的位置关系，需先求出⊙O的半径，再比较点P到圆心O的距离PO与半径的大小：若PO ＜ 半径，则点在圆内；若PO=半径，点在圆上；若PO＞半径，点在圆外。
【解析】已知⊙O的面积为25π，根据圆的面积公式S=πr²，可得πr²=25π，解得半径r=5（r＞0）。已知PO=2√6，计算得2√6=√24，因为√24 ＜ √25=5，即PO ＜ 半径，因此点P在⊙O内。
【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系，圆的面积计算
【点评】本题考查点与圆的位置关系的判断，核心是利用圆的面积公式求半径，再通过比较距离与半径的大小确定位置，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

6. 若等边三角形的边长为6，则它的内切圆的半径是.

6. √3 解析:如图,设O为等边三角形ABC的内心,连接OA、OC、OB,延长AO交BC于点D,则AD⊥BC,BD=DC,即OD是△ABC内切圆的半径.
∵BC=6,
∴BD=DC=3.
∵O为等边三角形ABC内切圆的圆心,
∴∠OBD=1/2∠ABC=1/2×60°=30°,
∴OB=2OD.在Rt△OBD中,OD²+BD²=OB²,即OD²+3²=(2OD)²,解得OD=√3.

【分析】要计算等边三角形的内切圆半径，需利用等边三角形“三线合一”的性质，其内切圆圆心（内心）在等边三角形的高上；构造含内切圆半径的直角三角形，结合直角三角形的性质和勾股定理即可求解。
【解析】设等边△ABC的边长为6，内切圆圆心为O，延长AO交BC于D。
∵△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，BD=½BC=3，∠ABC=60°，
∵O是等边三角形的内心，
∴∠OBD=½∠ABC=30°，设内切圆半径OD=r，则OB=2r（Rt△中30°角对边是斜边的一半）。
在Rt△OBD中，由勾股定理：OD² + BD² = OB²，
代入得：r² + 3² = (2r)²，
解得：r²=3，即r=√3（半径为正，舍去负根）。
【答案】√3
【知识点】等边三角形内切圆、勾股定理
【点评】本题是等边三角形内切圆半径的基础计算题，核心运用等边三角形的三线合一性质和直角三角形性质，属于初中几何常规题型。
【难度系数】0.6

7. 如图,已知$∠ ACB=30°$,$CM=2$,$AM=5$,以点$M$为圆心、$r$为半径作$\odot M$.若$\odot M$与线段$AC$有交点,则$r$的取值范围是.

7. 1≤r≤5 解析:如图,过点M作MH⊥AC于点H.
∵CM=2,∠ACB=30°,
∴HM=1/2 CM=1.
∵AM=5,⊙M与线段AC有交点,
∴r的取值范围是1≤r≤5.

【分析】要确定⊙M与线段AC有交点时r的取值，需先找到圆心M到线段AC的最短距离（垂线段长度），再找到线段AC上到M的最大距离。首先过M作AC的垂线，利用含30°角的直角三角形性质求出垂线段长，再结合线段端点A到M的距离，即可确定r的范围：当r≥垂线段长（保证圆与AC相交或相切），且r≤AM（保证交点在线段AC上）。
【解析】过点M作MH⊥AC于点H，在Rt△CMH中，∠ACB=30°，CM=2，根据直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，得MH=½CM=½×2=1。线段AC上的点到M的距离，最小为MH=1，最大为AM=5。因为⊙M与线段AC有交点，所以r的取值范围是1≤r≤5。
【答案】1≤r≤5
【知识点】直线与圆的位置关系；直角三角形的性质
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用垂线段最短和线段端点到圆心的距离确定半径范围，关键是正确作出垂线段并计算相关长度，属于基础几何题。
【难度系数】0.5

8. 如图,$P$为$\odot O$外一点,过点$P$作$\odot O$的两条切线,切点分别为$A$、$B$,$C$为优弧$AB$上一点,若$∠ ACB=50^{ \circ }$,则$∠ P=$.

8. 80° 解析:如图,连接OA、OB.
∵PA、PB分别是⊙O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
∵∠ACB=50°,
∴∠AOB=100°,
∴∠P=360°-90°-90°-100°=80°.

【分析】
要解决本题，需结合切线的性质、圆周角定理和四边形内角和定理推导。首先连接OA、OB，利用切线性质得到直角，再通过圆周角定理求出圆心角∠AOB，最后根据四边形内角和计算∠P的度数。
【解析】
连接OA、OB。
∵PA、PB分别是⊙O的切线，切点为A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°。
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠AOB=2∠ACB=2×50°=100°。
在四边形PAOB中，内角和为360°，
∴∠P=360°−∠PAO−∠PBO−∠AOB=360°−90°−90°−100°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、四边形内角和
【点评】
本题综合考查圆的切线性质、圆周角定理及四边形内角和的应用，解题核心是作辅助线OA、OB，利用相关定理逐步推导，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5

9. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,正方形$OABC$的顶点$A$、$C$分别在$x$轴、$y$轴上,以$AB$为弦的$\odot D$与$y$轴相切.若点$A$的坐标为$(4,0)$,则点$D$的坐标为.

9. $(\dfrac{5}{2},2)$ 解析:如图,设⊙D与y轴相切于点M,连接MD并延长交AB于点N,连接BD,
∴MN⊥OC.
∵点A的坐标是(4,0),
∴OA=4.
∵四边形OABC是正方形,
∴∠MCB=∠NBC=90°,BC=AB=OA=OC=4,
∴四边形MNBC是矩形,
∴MN=BC=4,∠MNB=90°,MC=NB,
∴MN⊥AB,
∴NB=1/2 AB=2,
∴MC=NB=2,
∴OM=4-2=2.设⊙D的半径是r,则DB=r,DN=4-r.在Rt△BDN中,BD²=DN²+NB²,即r²=(4-r)²+2²,解得r=5/2,
∴MD=5/2,
∴点D的坐标为$(\dfrac{5}{2},2)$.

【分析】
要确定点D的坐标，需结合正方形性质和圆的切线性质，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解。首先由正方形顶点A的坐标得到边长，再根据圆与y轴相切的性质确定圆心到y轴的距离等于半径，最后通过勾股定理求出半径，进而得到点D的横、纵坐标。
【解析】
设⊙D与y轴相切于点M，连接MD并延长交AB于点N，连接BD。
∵⊙D与y轴相切，
∴MD⊥y轴，即MN⊥OC。
∵四边形OABC是正方形，点A坐标为(4,0)，
∴OA=AB=BC=OC=4，∠OAB=∠ABC=90°，BC//OA。
∴MN=BC=4，且MN⊥AB，故N为AB中点，BN=½AB=2。
又
∵四边形MNBC是矩形，
∴MC=NB=2，
∴OM=OC - MC=4 - 2=2。
设⊙D的半径为r，则MD=BD=r，DN=MN - MD=4 - r。
在Rt△BDN中，由勾股定理得：BD²=DN² + BN²，即r²=(4 - r)² + 2²。
展开化简：r²=16 - 8r + r² + 4，解得8r=20，r=5/2。
∴MD=5/2，点D的横坐标为MD的长度，纵坐标为OM的长度，故点D的坐标为(5/2,2)。
【答案】
$(\dfrac{5}{2},2)$
【知识点】
正方形性质、圆的切线性质、勾股定理
【点评】
本题结合正方形与圆的性质，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，关键是理清圆心到坐标轴的距离与半径的关系，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.4

10. 如图,在等边三角形$ABC$中,$BC=3\sqrt{3}$,半径为1的$\odot O$在等边三角形$ABC$内平移($\odot O$可以与该三角形的边相切),则点$B$到$\odot O$上的点的距离的最大值为.

10. √13+1 解析:当⊙O与AB、AC相切时,如图,连接BO、AO、DO,延长BO交AC于点E,则AO=2,
∴AD=√(AO²-OD²)=√(2²-1²)=√3.
∵BC=3√3,
∴BD=3√3-√3=2√3,
∴BO=√((2√3)²+1²)=√13,
∴点B到⊙O上的点的距离的最大值BE为√13+1.

【分析】
要计算点B到⊙O上的点的最大距离，根据圆的性质：点到圆上任意一点的最大距离等于该点到圆心的距离加上圆的半径，因此需先找到BO的最大值，再加上半径1即可。结合题意，当⊙O与AB、AC相切时，BO取得最大值，据此进行计算。
【解析】
解：根据圆的性质，点B到⊙O上的点的最大距离为BO + 半径，因此需先求BO的最大值。
当⊙O与AB、AC相切时，BO最大，如图所示：
连接AO、BO、DO（D为切点），则OD⊥AB，OD=1。
因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC=60°，AO平分∠BAC，故∠OAD=30°。
在Rt△ADO中，∠OAD=30°，OD=1，所以AO=2OD=2，
由勾股定理得：AD=√(AO² - OD²)=√(2² -1²)=√3。
已知BC=3√3，等边三角形边长AB=BC=3√3，
所以BD=AB - AD=3√3 - √3=2√3。
在Rt△BDO中，BD=2√3，OD=1，
由勾股定理得：BO=√(BD² + OD²)=√[(2√3)² +1²]=√13。
因此，点B到⊙O上的点的最大距离为BO + 1=√13 +1。
【答案】
√13+1
【知识点】
等边三角形性质、圆的切线性质、勾股定理
【点评】
本题结合等边三角形与圆的性质，考查点到圆上点的最大距离的计算，关键是确定BO最大时⊙O的位置，利用切线性质和勾股定理求解，需具备一定的几何分析能力。
【难度系数】
0.5