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7. 如图,$O$是$△ ABC$的内心,过点$O$作$EF// AC$,与$AB$、$BC$分别交于点$E$、$F$,则 （
A.$EF＞AE+CF$
B.$EF＜AE+CF$
C.$EF=AE+CF$
D.$EF≤ AE+CF$
C
）A.$EF＞AE+CF$
B.$EF＜AE+CF$
C.$EF=AE+CF$
D.$EF≤ AE+CF$
答案
7. C 解析:连接OA、OC.
∵O是△ABC的内心,
∴AO、CO分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴∠EAO=∠OAC,∠ACO=∠FCO.
∵EF//AC,
∴∠AOE=∠OAC,∠COF=∠ACO,
∴∠EAO=∠AOE,∠FCO=∠COF,
∴OE=AE,CF=OF,
∴EF=OE+OF=AE+CF.
∵O是△ABC的内心,
∴AO、CO分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴∠EAO=∠OAC,∠ACO=∠FCO.
∵EF//AC,
∴∠AOE=∠OAC,∠COF=∠ACO,
∴∠EAO=∠AOE,∠FCO=∠COF,
∴OE=AE,CF=OF,
∴EF=OE+OF=AE+CF.
解析
【分析】要解决本题，需结合三角形内心的性质、平行线的性质，通过角的等量关系推导等腰三角形，进而转化线段关系。首先连接OA、OC，利用内心是角平分线交点的性质得到角相等，再结合EF//AC的平行线性质，得到内错角相等，推出等腰三角形，最终将EF转化为AE与CF的和。
【解析】连接OA、OC。
∵O是△ABC的内心，
∴AO平分∠BAC，CO平分∠BCA，即∠EAO=∠OAC，∠FCO=∠ACO。
∵EF//AC，
∴∠AOE=∠OAC，∠COF=∠ACO（两直线平行，内错角相等）。
∴∠EAO=∠AOE，∠FCO=∠COF。
根据“等角对等边”，可得OE=AE，OF=CF。
又
∵EF=OE+OF，
∴EF=AE+CF。
【答案】C
【知识点】三角形内心、平行线性质、等腰三角形判定
【点评】本题综合考查三角形内心性质与平行线、等腰三角形的应用，核心是通过角的等量关系构造等腰三角形，将EF拆分为OE和OF，转化为AE与CF的和，是几何中线段关系推导的典型题型。
【难度系数】0.6
【解析】连接OA、OC。
∵O是△ABC的内心，
∴AO平分∠BAC，CO平分∠BCA，即∠EAO=∠OAC，∠FCO=∠ACO。
∵EF//AC，
∴∠AOE=∠OAC，∠COF=∠ACO（两直线平行，内错角相等）。
∴∠EAO=∠AOE，∠FCO=∠COF。
根据“等角对等边”，可得OE=AE，OF=CF。
又
∵EF=OE+OF，
∴EF=AE+CF。
【答案】C
【知识点】三角形内心、平行线性质、等腰三角形判定
【点评】本题综合考查三角形内心性质与平行线、等腰三角形的应用，核心是通过角的等量关系构造等腰三角形，将EF拆分为OE和OF，转化为AE与CF的和，是几何中线段关系推导的典型题型。
【难度系数】0.6
8. 如图,$\odot O$的直径$AB$为10 cm,$E$是$\odot O$内接三角形$ABC$的内心,$CE$的延长线交$\odot O$于点$D$,则$DE$的长为
$5\sqrt{2}$
cm.答案
8. $5\sqrt{2}$ 解析:如图,连接BD、AE.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵E是⊙O内接三角形ABC的内心,
∴AE平分∠BAC,CE平分∠ACB,
∴∠2=∠4,∠1=∠6=45°,
∴∠DBA=∠1=∠6=∠5=45°,
∴△ADB为等腰直角三角形,
∴DA=$\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}×10=5\sqrt{2}$ (cm).
∵∠1+∠2=∠3,
∴∠5+∠4=∠3,即∠DAE=∠DEA,
∴DE=DA=$5\sqrt{2}$ cm.
解析
【分析】
要解决本题，需结合圆的性质、三角形内心的性质逐步推导：首先利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再根据内心是角平分线交点得出角的等量关系，结合同弧所对圆周角相等，推导出△ADB为等腰直角三角形，最后通过角的等量关系证明DE=AD，进而计算DE的长度。
【解析】
如图，连接BD、AE。
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，CE平分∠ACB（三角形内心是三个角平分线的交点），
∴∠ACE=∠BCE=½∠ACB=½×90°=45°，∠BAE=∠CAE。
∵∠DCA与∠DBA都是弧DA所对的圆周角，
∴∠DCA=∠DBA，
又
∵∠DCA=∠BCE=45°，
∴∠DBA=45°，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DBA=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD=AB×sin45°=10×(√2/2)=5√2 cm。
推导DE=AD：
∠DAE=∠DAC + ∠CAE，
∠DEA=∠BCE + ∠CBE（三角形外角等于不相邻两内角和），
结合同弧DC所对圆周角∠DAC=∠DBC，且∠CBE=∠DBC，∠CAE=∠BAE，
可得∠DAE=∠5 + ∠4，∠DEA=∠3=∠1 + ∠2，
因此∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=5√2 cm。
【答案】
5√2
【知识点】
圆的性质、三角形内心、等腰直角三角形
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形内心的性质，关键在于通过角平分线和圆周角的关系推导等腰直角三角形，利用等角对等边得到DE的长度，需具备较强的几何推理能力。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合圆的性质、三角形内心的性质逐步推导：首先利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再根据内心是角平分线交点得出角的等量关系，结合同弧所对圆周角相等，推导出△ADB为等腰直角三角形，最后通过角的等量关系证明DE=AD，进而计算DE的长度。
【解析】
如图，连接BD、AE。
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，CE平分∠ACB（三角形内心是三个角平分线的交点），
∴∠ACE=∠BCE=½∠ACB=½×90°=45°，∠BAE=∠CAE。
∵∠DCA与∠DBA都是弧DA所对的圆周角，
∴∠DCA=∠DBA，
又
∵∠DCA=∠BCE=45°，
∴∠DBA=45°，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DBA=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD=AB×sin45°=10×(√2/2)=5√2 cm。
推导DE=AD：
∠DAE=∠DAC + ∠CAE，
∠DEA=∠BCE + ∠CBE（三角形外角等于不相邻两内角和），
结合同弧DC所对圆周角∠DAC=∠DBC，且∠CBE=∠DBC，∠CAE=∠BAE，
可得∠DAE=∠5 + ∠4，∠DEA=∠3=∠1 + ∠2，
因此∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=5√2 cm。
【答案】
5√2
【知识点】
圆的性质、三角形内心、等腰直角三角形
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形内心的性质，关键在于通过角平分线和圆周角的关系推导等腰直角三角形，利用等角对等边得到DE的长度，需具备较强的几何推理能力。
【难度系数】
0.4
9. 如图所示的网格由边长均为1个单位长度的小正方形组成，若点A、B、C在平面直角坐标系中的坐标分别为$(3,6)$、$(-3,3)$、$(7,-2)$，则$△ ABC$内心的坐标为
(2,3)
.答案
9. (2,3) 解析:如图,先根据点A、B、C在平面直角坐标系xOy中的坐标确定原点的位置,再利用网格分别作∠ABC和∠ACB的平分线,交点的坐标为(2,3),即△ABC内心的坐标为(2,3).
解析
【分析】要确定△ABC内心的坐标，首先明确内心是三角形三个内角平分线的交点，因此只需作出其中两个内角的平分线，它们的交点即为内心。结合平面直角坐标系和网格，通过作∠ABC与∠ACB的角平分线，找到交点即可得到内心坐标。
【解析】内心是三角形三条内角平分线的交点，根据点A(3,6)、B(-3,3)、C(7,-2)在平面直角坐标系中的位置，分别作∠ABC和∠ACB的角平分线，两条角平分线的交点坐标为(2,3)，该点即为△ABC的内心。
【答案】(2,3)
【知识点】三角形内心，平面直角坐标系，角平分线
【点评】本题考查三角形内心的定义，结合网格与平面直角坐标系，考查学生对概念的理解和应用能力，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】内心是三角形三条内角平分线的交点，根据点A(3,6)、B(-3,3)、C(7,-2)在平面直角坐标系中的位置，分别作∠ABC和∠ACB的角平分线，两条角平分线的交点坐标为(2,3)，该点即为△ABC的内心。
【答案】(2,3)
【知识点】三角形内心，平面直角坐标系，角平分线
【点评】本题考查三角形内心的定义，结合网格与平面直角坐标系，考查学生对概念的理解和应用能力，难度适中。
【难度系数】0.5
10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=70°$,$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB$、$BC$分别相切于点$D$、$E$,连接$DE$,$AO$的延长线交$DE$于点$F$,则$∠ AFD=$
35°
.答案
10. 35° 解析:如图,连接OD、OE、OB,OB交ED于点G.
∵∠ACB=70°,
∴∠CAB+∠CBA=110°.
∵O为△ABC的内切圆的圆心,
∴∠OAB+∠OBA=55°,
∴∠AOB=125°.
∵OE=OD,BD=BE,
∴OB垂直平分DE,
∴∠OGE=90°,
∴∠AFD=∠AOB−∠OGE=125°−90°=35°.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用三角形内切圆的性质：内切圆圆心是三角形角平分线的交点，且同一点引圆的两条切线长度相等。解题思路为：①连接OD、OE、OB，利用内切圆圆心的角平分线性质，先计算∠AOB的度数；②根据切线长定理得BD=BE，结合OD=OE，推出OB垂直平分DE，得到∠OGE=90°；③通过角的关系计算出∠AFD的度数。
【解析】
解：连接OD、OE、OB，OB交ED于点G。
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE，BD=BE，AO平分∠CAB，BO平分∠CBA。
在△ABC中，∠ACB=70°，
∴∠CAB + ∠CBA = 180° - 70° = 110°。
∵AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，
∴∠OAB = ½∠CAB，∠OBA = ½∠CBA，
∴∠OAB + ∠OBA = ½(∠CAB + ∠CBA) = ½×110° = 55°。
在△AOB中，∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - 55° = 125°。
又
∵BD=BE，OD=OE，
∴OB垂直平分DE（等腰三角形三线合一），
∴OB⊥DE，即∠OGE=90°。
∴∠AFD = ∠AOB - ∠OGE = 125° - 90° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
三角形内切圆、切线长定理、角平分线性质
【点评】
本题综合考查三角形内切圆的性质、切线长定理及三角形内角和的应用，关键是利用内切圆圆心的角平分线性质和等腰三角形三线合一得到垂直关系，进而推导所求角度，难度适中，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用三角形内切圆的性质：内切圆圆心是三角形角平分线的交点，且同一点引圆的两条切线长度相等。解题思路为：①连接OD、OE、OB，利用内切圆圆心的角平分线性质，先计算∠AOB的度数；②根据切线长定理得BD=BE，结合OD=OE，推出OB垂直平分DE，得到∠OGE=90°；③通过角的关系计算出∠AFD的度数。
【解析】
解：连接OD、OE、OB，OB交ED于点G。
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE，BD=BE，AO平分∠CAB，BO平分∠CBA。
在△ABC中，∠ACB=70°，
∴∠CAB + ∠CBA = 180° - 70° = 110°。
∵AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，
∴∠OAB = ½∠CAB，∠OBA = ½∠CBA，
∴∠OAB + ∠OBA = ½(∠CAB + ∠CBA) = ½×110° = 55°。
在△AOB中，∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - 55° = 125°。
又
∵BD=BE，OD=OE，
∴OB垂直平分DE（等腰三角形三线合一），
∴OB⊥DE，即∠OGE=90°。
∴∠AFD = ∠AOB - ∠OGE = 125° - 90° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
三角形内切圆、切线长定理、角平分线性质
【点评】
本题综合考查三角形内切圆的性质、切线长定理及三角形内角和的应用，关键是利用内切圆圆心的角平分线性质和等腰三角形三线合一得到垂直关系，进而推导所求角度，难度适中，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.5
11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,它与$AB$、$BC$、$CA$分别相切于点$D$、$E$、$F$.
(1)求证:$BE=CE$.
(2)若$∠ A=90^{ \circ }$,$AB=AC=2$,求$\odot O$的半径.
(1)求证:$BE=CE$.
(2)若$∠ A=90^{ \circ }$,$AB=AC=2$,求$\odot O$的半径.
答案
11. (1)证明:连接BO、CO、OE.
∵⊙O是△ABC的内切圆,
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}∠ABC$,∠OCB=$\frac{1}{2}∠ACB$. 又
∵AB = AC,
∴∠ABC = ∠ACB,
∴∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC. 又
∵⊙O与BC相切于点E,
∴OE⊥BC,
∴BE=CE.
(2)连接OD、OF、OA. 由题意可得,四边形ADOF是正方形,设OD=AD=AF=r. 在△ABC中,
∵∠A = 90°,AB = AC = 2,
∴BC = $\sqrt{AB^2+AC^2} = 2\sqrt{2}$.
∵$S_{△ABC} = S_{△OAB} + S_{△OBC} + S_{△OAC}$,
∴$\frac{1}{2} AB · AC = \frac{1}{2} AB · OD + \frac{1}{2} BC · OE + \frac{1}{2} AC · OF$,即$\frac{1}{2} × 2 × 2 = \frac{1}{2} × 2r + \frac{1}{2} × 2\sqrt{2}r + \frac{1}{2} × 2r$,解得 $r = 2-\sqrt{2}$,
∴⊙O的半径是 $2-\sqrt{2}$.
∵⊙O是△ABC的内切圆,
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}∠ABC$,∠OCB=$\frac{1}{2}∠ACB$. 又
∵AB = AC,
∴∠ABC = ∠ACB,
∴∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC. 又
∵⊙O与BC相切于点E,
∴OE⊥BC,
∴BE=CE.
(2)连接OD、OF、OA. 由题意可得,四边形ADOF是正方形,设OD=AD=AF=r. 在△ABC中,
∵∠A = 90°,AB = AC = 2,
∴BC = $\sqrt{AB^2+AC^2} = 2\sqrt{2}$.
∵$S_{△ABC} = S_{△OAB} + S_{△OBC} + S_{△OAC}$,
∴$\frac{1}{2} AB · AC = \frac{1}{2} AB · OD + \frac{1}{2} BC · OE + \frac{1}{2} AC · OF$,即$\frac{1}{2} × 2 × 2 = \frac{1}{2} × 2r + \frac{1}{2} × 2\sqrt{2}r + \frac{1}{2} × 2r$,解得 $r = 2-\sqrt{2}$,
∴⊙O的半径是 $2-\sqrt{2}$.
解析
【分析】
第(1)问：要证BE=CE，需结合内切圆的角平分线性质和等腰三角形特点。由内切圆定义知BO、CO平分∠ABC、∠ACB，结合AB=AC得∠ABC=∠ACB，推出∠OBC=∠OCB，故OB=OC；再根据切线性质OE⊥BC，利用等腰三角形三线合一即可证得BE=CE。
第(2)问：已知∠A=90°，AB=AC=2，先算BC长度；再用面积分割法，△ABC的面积等于三个小三角形OAB、OBC、OAC的面积和，结合内切圆半径r，代入公式计算得r的值。
【解析】
(1) 证明：连接BO、CO、OE。
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}∠ABC$，∠OCB = $\frac{1}{2}∠ACB$。
又
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴∠OBC = ∠OCB，
∴OB = OC。
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∴BE = CE（等腰三角形三线合一）。
(2) 解：连接OD、OF、OA。
∵∠A=90°，OD⊥AB，OF⊥AC，且OD=OF（内切圆半径），
∴四边形ADOF是正方形，设OD=AD=AF=r。
在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，
∴BC = $\sqrt{AB^2+AC^2} = \sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∵$S_{△ABC} = S_{△OAB} + S_{△OBC} + S_{△OAC}$，
∴$\frac{1}{2}×AB×AC = \frac{1}{2}×AB×OD + \frac{1}{2}×BC×OE + \frac{1}{2}×AC×OF$，
代入得：$\frac{1}{2}×2×2 = \frac{1}{2}×2r + \frac{1}{2}×2\sqrt{2}r + \frac{1}{2}×2r$，
化简得：$2 = 2r + \sqrt{2}r$，
解得：$r = \frac{2}{2+\sqrt{2}} = 2-\sqrt{2}$。
∴⊙O的半径是$2-\sqrt{2}$。
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内切圆
【点评】
本题综合考查内切圆性质、等腰三角形判定与性质，解题需结合角平分线、切线性质，用面积法求解，是几何中等难度题型，注重知识点的综合应用。
【难度系数】
0.6
第(1)问：要证BE=CE，需结合内切圆的角平分线性质和等腰三角形特点。由内切圆定义知BO、CO平分∠ABC、∠ACB，结合AB=AC得∠ABC=∠ACB，推出∠OBC=∠OCB，故OB=OC；再根据切线性质OE⊥BC，利用等腰三角形三线合一即可证得BE=CE。
第(2)问：已知∠A=90°，AB=AC=2，先算BC长度；再用面积分割法，△ABC的面积等于三个小三角形OAB、OBC、OAC的面积和，结合内切圆半径r，代入公式计算得r的值。
【解析】
(1) 证明：连接BO、CO、OE。
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}∠ABC$，∠OCB = $\frac{1}{2}∠ACB$。
又
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴∠OBC = ∠OCB，
∴OB = OC。
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∴BE = CE（等腰三角形三线合一）。
(2) 解：连接OD、OF、OA。
∵∠A=90°，OD⊥AB，OF⊥AC，且OD=OF（内切圆半径），
∴四边形ADOF是正方形，设OD=AD=AF=r。
在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，
∴BC = $\sqrt{AB^2+AC^2} = \sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∵$S_{△ABC} = S_{△OAB} + S_{△OBC} + S_{△OAC}$，
∴$\frac{1}{2}×AB×AC = \frac{1}{2}×AB×OD + \frac{1}{2}×BC×OE + \frac{1}{2}×AC×OF$，
代入得：$\frac{1}{2}×2×2 = \frac{1}{2}×2r + \frac{1}{2}×2\sqrt{2}r + \frac{1}{2}×2r$，
化简得：$2 = 2r + \sqrt{2}r$，
解得：$r = \frac{2}{2+\sqrt{2}} = 2-\sqrt{2}$。
∴⊙O的半径是$2-\sqrt{2}$。
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内切圆
【点评】
本题综合考查内切圆性质、等腰三角形判定与性质，解题需结合角平分线、切线性质，用面积法求解，是几何中等难度题型，注重知识点的综合应用。
【难度系数】
0.6
12. 如图,$PA$是$\odot O$的切线,切点为$A$,$AC$是$\odot O$的直径,连接$OP$交$\odot O$于点$E$.过点$A$作$AB ⊥ OP$于点$D$,交$\odot O$于点$B$,连接$BC$、$PB$.
(1)求证:$PB$是$\odot O$的切线.
(2)求证:$E$为$△ PAB$的内心.
(1)求证:$PB$是$\odot O$的切线.
(2)求证:$E$为$△ PAB$的内心.
答案
12. 证明:(1)连接OB.
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ABC=90°.
∵AB⊥OP,
∴OP//BC,
∴∠AOP=∠C,∠BOP=∠OBC.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠C,
∴∠AOP=∠BOP. 在△BOP 和△AOP 中,
$\begin{cases} OB=OA, \\ ∠BOP=∠AOP, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△BOP≌ △AOP (SAS),
∴∠OBP=∠OAP.
∵PA 为⊙O 的切线,
∴∠OAP = 90°,
∴∠OBP=90°,
∴PB 是⊙O 的切线.
(2)连接AE.
∵PA 为⊙O 的切线,
∴∠PAE+∠OAE=90°.
∵AD⊥ED,
∴∠EAD+∠AED=90°.
∵OE=OA,
∴∠OAE=∠AED,
∴∠PAE=∠DAE,即 AE 平分∠PAD. 由(1)得△BOP≌△AOP,
∴∠BPO=∠APO,
∴PD平分∠APB,
∴E为△PAB的内心.
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ABC=90°.
∵AB⊥OP,
∴OP//BC,
∴∠AOP=∠C,∠BOP=∠OBC.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠C,
∴∠AOP=∠BOP. 在△BOP 和△AOP 中,
$\begin{cases} OB=OA, \\ ∠BOP=∠AOP, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△BOP≌ △AOP (SAS),
∴∠OBP=∠OAP.
∵PA 为⊙O 的切线,
∴∠OAP = 90°,
∴∠OBP=90°,
∴PB 是⊙O 的切线.
(2)连接AE.
∵PA 为⊙O 的切线,
∴∠PAE+∠OAE=90°.
∵AD⊥ED,
∴∠EAD+∠AED=90°.
∵OE=OA,
∴∠OAE=∠AED,
∴∠PAE=∠DAE,即 AE 平分∠PAD. 由(1)得△BOP≌△AOP,
∴∠BPO=∠APO,
∴PD平分∠APB,
∴E为△PAB的内心.
解析
【分析】
要证明PB是⊙O的切线，需依据切线判定定理，证明OB⊥PB；结合PA是切线得∠OAP=90°，只需证△AOP≌△BOP即可。要证E为△PAB的内心，需证明E是△PAB两个内角平分线的交点，即分别证明AE平分∠PAB、PE平分∠APB。具体思路：(1)连接OB，利用AC是直径得AB⊥BC，结合AB⊥OP推出OP//BC，进而得到∠AOP=∠BOP，通过SAS证△AOP与△BOP全等，得∠OBP=∠OAP=90°，从而证得PB是切线；(2)连接AE，利用切线性质和直角三角形两锐角互余，结合OA=OE推出∠PAE=∠DAE，即AE平分∠PAD，再由(1)的全等得∠APO=∠BPO，即PE平分∠APB，故E是内心。
【解析】
(1) 连接OB。
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，即AB⊥BC。
又
∵AB⊥OP，
∴OP//BC，
∴∠AOP=∠C，∠BOP=∠OBC。
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∴∠AOP=∠BOP。
在△BOP和△AOP中，
$\begin{cases} OB=OA, \\ ∠BOP=∠AOP, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△BOP≌△AOP (SAS)，
∴∠OBP=∠OAP。
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线。
(2) 连接AE。
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE + ∠OAE=90°。
∵AD⊥ED，
∴∠EAD + ∠AED=90°。
∵OE=OA，
∴∠OAE=∠AED，
∴∠PAE=∠DAE，即AE平分∠PAD。
由(1)得△BOP≌△AOP，
∴∠BPO=∠APO，即PD平分∠APB，
∴E为△PAB的内心。
【答案】
12. 证明:(1)连接OB.
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ABC=90°.
∵AB⊥OP,
∴OP//BC,
∴∠AOP=∠C,∠BOP=∠OBC.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠C,
∴∠AOP=∠BOP. 在△BOP 和△AOP 中,
$\begin{cases} OB=OA, \\ ∠BOP=∠AOP, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△BOP≌ △AOP (SAS),
∴∠OBP=∠OAP.
∵PA 为⊙O 的切线,
∴∠OAP = 90°,
∴∠OBP=90°,
∴PB 是⊙O 的切线.
(2)连接AE.
∵PA 为⊙O 的切线,
∴∠PAE+∠OAE=90°.
∵AD⊥ED,
∴∠EAD+∠AED=90°.
∵OE=OA,
∴∠OAE=∠AED,
∴∠PAE=∠DAE,即 AE 平分∠PAD. 由(1)得△BOP≌△AOP,
∴∠BPO=∠APO,
∴PD平分∠APB,
∴E为△PAB的内心.
【知识点】
切线的判定、全等三角形的判定与性质、三角形内心
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、全等三角形性质、平行线性质及三角形内心的定义，需熟练掌握圆的相关性质和几何证明逻辑，是中等难度的几何证明题，能有效考查学生的推理能力。
【难度系数】
0.5
要证明PB是⊙O的切线，需依据切线判定定理，证明OB⊥PB；结合PA是切线得∠OAP=90°，只需证△AOP≌△BOP即可。要证E为△PAB的内心，需证明E是△PAB两个内角平分线的交点，即分别证明AE平分∠PAB、PE平分∠APB。具体思路：(1)连接OB，利用AC是直径得AB⊥BC，结合AB⊥OP推出OP//BC，进而得到∠AOP=∠BOP，通过SAS证△AOP与△BOP全等，得∠OBP=∠OAP=90°，从而证得PB是切线；(2)连接AE，利用切线性质和直角三角形两锐角互余，结合OA=OE推出∠PAE=∠DAE，即AE平分∠PAD，再由(1)的全等得∠APO=∠BPO，即PE平分∠APB，故E是内心。
【解析】
(1) 连接OB。
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，即AB⊥BC。
又
∵AB⊥OP，
∴OP//BC，
∴∠AOP=∠C，∠BOP=∠OBC。
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∴∠AOP=∠BOP。
在△BOP和△AOP中，
$\begin{cases} OB=OA, \\ ∠BOP=∠AOP, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△BOP≌△AOP (SAS)，
∴∠OBP=∠OAP。
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线。
(2) 连接AE。
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE + ∠OAE=90°。
∵AD⊥ED，
∴∠EAD + ∠AED=90°。
∵OE=OA，
∴∠OAE=∠AED，
∴∠PAE=∠DAE，即AE平分∠PAD。
由(1)得△BOP≌△AOP，
∴∠BPO=∠APO，即PD平分∠APB，
∴E为△PAB的内心。
【答案】
12. 证明:(1)连接OB.
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ABC=90°.
∵AB⊥OP,
∴OP//BC,
∴∠AOP=∠C,∠BOP=∠OBC.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠C,
∴∠AOP=∠BOP. 在△BOP 和△AOP 中,
$\begin{cases} OB=OA, \\ ∠BOP=∠AOP, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△BOP≌ △AOP (SAS),
∴∠OBP=∠OAP.
∵PA 为⊙O 的切线,
∴∠OAP = 90°,
∴∠OBP=90°,
∴PB 是⊙O 的切线.
(2)连接AE.
∵PA 为⊙O 的切线,
∴∠PAE+∠OAE=90°.
∵AD⊥ED,
∴∠EAD+∠AED=90°.
∵OE=OA,
∴∠OAE=∠AED,
∴∠PAE=∠DAE,即 AE 平分∠PAD. 由(1)得△BOP≌△AOP,
∴∠BPO=∠APO,
∴PD平分∠APB,
∴E为△PAB的内心.
【知识点】
切线的判定、全等三角形的判定与性质、三角形内心
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、全等三角形性质、平行线性质及三角形内心的定义，需熟练掌握圆的相关性质和几何证明逻辑，是中等难度的几何证明题，能有效考查学生的推理能力。
【难度系数】
0.5
