登录
1. 计算：
(1)$\sqrt{50}+\sqrt{32}$；
(2)(南京中考改编)$\sqrt{18}-\sqrt{8}$；
(3)$\sqrt{20}-\frac{1}{2}\sqrt{5}$；
(4)$\sqrt{12}+6\sqrt{\frac{1}{3}}$.
(1)$\sqrt{50}+\sqrt{32}$；
(2)(南京中考改编)$\sqrt{18}-\sqrt{8}$；
(3)$\sqrt{20}-\frac{1}{2}\sqrt{5}$；
(4)$\sqrt{12}+6\sqrt{\frac{1}{3}}$.
答案
(1)原式=$9\sqrt{2}$；
(2)原式=$\sqrt{2}$；
(3)原式=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$；
(4)原式=$4\sqrt{3}$.
(2)原式=$\sqrt{2}$；
(3)原式=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$；
(4)原式=$4\sqrt{3}$.
解析
【分析】
二次根式的加减运算核心思路分为两步：第一步先将每一个二次根式化简为最简二次根式，即被开方数不含能开得尽方的因数，且不含分母；第二步识别并合并被开方数相同的同类二次根式，合并时仅将系数相加减，根号和被开方数保持不变。解题时先逐个化简每个式子中的二次根式，再合并同类项即可。
【解析】
(1) 先化简二次根式：
$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$
原式=$5\sqrt{2}+4\sqrt{2}=(5+4)\sqrt{2}=9\sqrt{2}$
(2) 先化简二次根式：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$
原式=$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(3-2)\sqrt{2}=\sqrt{2}$
(3) 先化简二次根式：
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$
原式=$2\sqrt{5}-\frac{1}{2}\sqrt{5}=(2-\frac{1}{2})\sqrt{5}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$
(4) 先化简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$6\sqrt{\frac{1}{3}}=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$
原式=$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=(2+2)\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
【答案】
(1)$9\sqrt{2}$；(2)$\sqrt{2}$；(3)$\frac{3\sqrt{5}}{2}$；(4)$4\sqrt{3}$
【知识点】
最简二次根式化简，同类二次根式合并，二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式加减的基础运算题，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简规则，准确识别同类二次根式，计算时注意系数的加减运算即可，是巩固二次根式加减运算法则的典型习题。
【难度系数】
0.85
二次根式的加减运算核心思路分为两步：第一步先将每一个二次根式化简为最简二次根式，即被开方数不含能开得尽方的因数，且不含分母；第二步识别并合并被开方数相同的同类二次根式，合并时仅将系数相加减，根号和被开方数保持不变。解题时先逐个化简每个式子中的二次根式，再合并同类项即可。
【解析】
(1) 先化简二次根式：
$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$
原式=$5\sqrt{2}+4\sqrt{2}=(5+4)\sqrt{2}=9\sqrt{2}$
(2) 先化简二次根式：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$
原式=$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(3-2)\sqrt{2}=\sqrt{2}$
(3) 先化简二次根式：
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$
原式=$2\sqrt{5}-\frac{1}{2}\sqrt{5}=(2-\frac{1}{2})\sqrt{5}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$
(4) 先化简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$6\sqrt{\frac{1}{3}}=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$
原式=$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=(2+2)\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
【答案】
(1)$9\sqrt{2}$；(2)$\sqrt{2}$；(3)$\frac{3\sqrt{5}}{2}$；(4)$4\sqrt{3}$
【知识点】
最简二次根式化简，同类二次根式合并，二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式加减的基础运算题，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简规则，准确识别同类二次根式，计算时注意系数的加减运算即可，是巩固二次根式加减运算法则的典型习题。
【难度系数】
0.85
2. 计算:
(1)$2\sqrt{3}-(7\sqrt{12}+4\sqrt{27})$；
(2)$\sqrt{18}-2\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}\sqrt{32}$；
(3)$|1-\sqrt{3}|-\sqrt{12}$；
(4)$\sqrt{32}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48}-\sqrt{\frac{1}{8}}$；
(5)$(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{0.125})-(\sqrt{\frac{9}{8}}+\sqrt{0.25})$；
(6)$\sqrt{8}+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|-3\sqrt{\frac{1}{3}}$.
(1)$2\sqrt{3}-(7\sqrt{12}+4\sqrt{27})$；
(2)$\sqrt{18}-2\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}\sqrt{32}$；
(3)$|1-\sqrt{3}|-\sqrt{12}$；
(4)$\sqrt{32}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48}-\sqrt{\frac{1}{8}}$；
(5)$(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{0.125})-(\sqrt{\frac{9}{8}}+\sqrt{0.25})$；
(6)$\sqrt{8}+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|-3\sqrt{\frac{1}{3}}$.
答案
(1)原式=$-24\sqrt{3}$；
(2)原式=$\sqrt{2}$；
(3)原式=$-1-\sqrt{3}$；
(4)原式=$\frac{15\sqrt{2}}{4}+\frac{10\sqrt{3}}{3}$；
(5)原式=$-\frac{1}{2}$；
(6)原式=$\sqrt{2}$.
(2)原式=$\sqrt{2}$；
(3)原式=$-1-\sqrt{3}$；
(4)原式=$\frac{15\sqrt{2}}{4}+\frac{10\sqrt{3}}{3}$；
(5)原式=$-\frac{1}{2}$；
(6)原式=$\sqrt{2}$.
解析
【分析】
二次根式加减运算遵循“先化简、再合并”的思路：第一步，将算式中所有二次根式化为最简二次根式（被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式）；第二步，有括号的按照去括号法则去括号（括号前为负号时括号内各项要变号），有绝对值的先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值性质去绝对值符号；第三步，找到被开方数相同的同类二次根式，将它们的系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式直接保留即可。
【解析】
(1) 先化简最简二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
原式$=2\sqrt{3}-(7×2\sqrt{3}+4×3\sqrt{3})$
$=2\sqrt{3}-(14\sqrt{3}+12\sqrt{3})$
$=2\sqrt{3}-14\sqrt{3}-12\sqrt{3}$
$=(2-14-12)\sqrt{3}=-24\sqrt{3}$
(2) 化简得：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
原式$=3\sqrt{2}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4}×4\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}-\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$
(3) 先去绝对值：$\because\sqrt{3}＞1$，$\therefore|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，又$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
原式$=\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}=-1-\sqrt{3}$
(4) 化简得：$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
原式$=4\sqrt{2}-2×\frac{\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{4}$
$=(4\sqrt{2}-\frac{1}{4}\sqrt{2})+(-\frac{2}{3}\sqrt{3}+4\sqrt{3})$
$=\frac{15}{4}\sqrt{2}+\frac{10}{3}\sqrt{3}$
(5) 化简得：$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{0.125}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{\frac{9}{8}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{0.25}=\frac{1}{2}$，
原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}$
$=(\frac{2\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{3\sqrt{2}}{4})-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$
(6) 化简得：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\because\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，$\therefore|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$，
原式$=2\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}=\sqrt{2}$
【答案】
(1)$-24\sqrt{3}$；(2)$\sqrt{2}$；(3)$-1-\sqrt{3}$；(4)$\frac{15\sqrt{2}}{4}+\frac{10\sqrt{3}}{3}$；(5)$-\frac{1}{2}$；(6)$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；绝对值的性质
【点评】
本题属于二次根式加减的基础训练题，主要考察二次根式的化简能力和运算规则的掌握情况，解题时要注意去括号、去绝对值时的符号变化，合并同类二次根式时仅对系数做加减运算，被开方数保持不变。
【难度系数】
0.75
二次根式加减运算遵循“先化简、再合并”的思路：第一步，将算式中所有二次根式化为最简二次根式（被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式）；第二步，有括号的按照去括号法则去括号（括号前为负号时括号内各项要变号），有绝对值的先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值性质去绝对值符号；第三步，找到被开方数相同的同类二次根式，将它们的系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式直接保留即可。
【解析】
(1) 先化简最简二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
原式$=2\sqrt{3}-(7×2\sqrt{3}+4×3\sqrt{3})$
$=2\sqrt{3}-(14\sqrt{3}+12\sqrt{3})$
$=2\sqrt{3}-14\sqrt{3}-12\sqrt{3}$
$=(2-14-12)\sqrt{3}=-24\sqrt{3}$
(2) 化简得：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
原式$=3\sqrt{2}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4}×4\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}-\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$
(3) 先去绝对值：$\because\sqrt{3}＞1$，$\therefore|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，又$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
原式$=\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}=-1-\sqrt{3}$
(4) 化简得：$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
原式$=4\sqrt{2}-2×\frac{\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{4}$
$=(4\sqrt{2}-\frac{1}{4}\sqrt{2})+(-\frac{2}{3}\sqrt{3}+4\sqrt{3})$
$=\frac{15}{4}\sqrt{2}+\frac{10}{3}\sqrt{3}$
(5) 化简得：$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{0.125}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{\frac{9}{8}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{0.25}=\frac{1}{2}$，
原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}$
$=(\frac{2\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{3\sqrt{2}}{4})-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$
(6) 化简得：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\because\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，$\therefore|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$，
原式$=2\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}=\sqrt{2}$
【答案】
(1)$-24\sqrt{3}$；(2)$\sqrt{2}$；(3)$-1-\sqrt{3}$；(4)$\frac{15\sqrt{2}}{4}+\frac{10\sqrt{3}}{3}$；(5)$-\frac{1}{2}$；(6)$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；绝对值的性质
【点评】
本题属于二次根式加减的基础训练题，主要考察二次根式的化简能力和运算规则的掌握情况，解题时要注意去括号、去绝对值时的符号变化，合并同类二次根式时仅对系数做加减运算，被开方数保持不变。
【难度系数】
0.75
