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1. 已知开口向上的抛物线$y=ax^2 - 2x + |a| - 4$经过点$(0,-3)$。
(1)确定此抛物线的表达式。
(2)当$x$取何值时，$y$有最小值？并求出这个最小值。
(1)确定此抛物线的表达式。
(2)当$x$取何值时，$y$有最小值？并求出这个最小值。
答案
(1)由抛物线经过(0,-3),得|a|-4=-3,
∴|a|=1,即a=±1.
∵抛物线开口向上,
∴a=1.
∴抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3$.
(2)
∵$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴当x=1时,y有最小值-4.
∴|a|=1,即a=±1.
∵抛物线开口向上,
∴a=1.
∴抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3$.
(2)
∵$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴当x=1时,y有最小值-4.
解析
【分析】
(1)要确定抛物线的表达式，需先求出参数a的值。已知抛物线经过点(0,-3)，根据函数图像上的点的坐标满足函数解析式的性质，将x=0、y=-3代入表达式可先求出|a|的值；再结合抛物线开口向上时二次项系数a＞0的性质，就能确定a的具体取值，进而得到抛物线的表达式。
(2)开口向上的抛物线顶点处的函数值为最小值，我们可以通过配方法将求得的二次函数一般式转化为顶点式，直接读取顶点横坐标和对应的函数最小值，即可解决问题。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2 - 2x + |a| - 4$经过点$(0,-3)$，
∴ 将$x=0$，$y=-3$代入解析式，得$|a| - 4 = -3$，
解得$|a|=1$，即$a=1$或$a=-1$。
又
∵ 抛物线开口向上，
∴ 二次项系数$a＞0$，故$a=1$。
∴ 此抛物线的表达式为$y=x^2 - 2x - 3$。
(2)对抛物线表达式进行配方：
$y=x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 = (x-1)^2 - 4$，
∵ 抛物线开口向上，顶点处y取最小值，
∴ 当$x=1$时，y有最小值，最小值为$-4$。
【答案】
(1) $y=x^2 - 2x - 3$；(2) 当$x=1$时，y有最小值，最小值为$-4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像性质，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查点为函数图像上的点与解析式的关系、二次项系数和开口方向的关联，以及配方法转化一般式求最值的方法，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.85
(1)要确定抛物线的表达式，需先求出参数a的值。已知抛物线经过点(0,-3)，根据函数图像上的点的坐标满足函数解析式的性质，将x=0、y=-3代入表达式可先求出|a|的值；再结合抛物线开口向上时二次项系数a＞0的性质，就能确定a的具体取值，进而得到抛物线的表达式。
(2)开口向上的抛物线顶点处的函数值为最小值，我们可以通过配方法将求得的二次函数一般式转化为顶点式，直接读取顶点横坐标和对应的函数最小值，即可解决问题。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2 - 2x + |a| - 4$经过点$(0,-3)$，
∴ 将$x=0$，$y=-3$代入解析式，得$|a| - 4 = -3$，
解得$|a|=1$，即$a=1$或$a=-1$。
又
∵ 抛物线开口向上，
∴ 二次项系数$a＞0$，故$a=1$。
∴ 此抛物线的表达式为$y=x^2 - 2x - 3$。
(2)对抛物线表达式进行配方：
$y=x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 = (x-1)^2 - 4$，
∵ 抛物线开口向上，顶点处y取最小值，
∴ 当$x=1$时，y有最小值，最小值为$-4$。
【答案】
(1) $y=x^2 - 2x - 3$；(2) 当$x=1$时，y有最小值，最小值为$-4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像性质，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查点为函数图像上的点与解析式的关系、二次项系数和开口方向的关联，以及配方法转化一般式求最值的方法，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.85
2. 已知二次函数图象经过点$(2,-3)$，对称轴为直线$x=1$，抛物线与$x$轴的两个交点之间的距离为 4，求这个二次函数的表达式.
答案
∵抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4,对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的两交点分别为(-1,0),(3,0).
设这个二次函数的表达式为$y=a(x+1)·(x-3)$.
∵二次函数的图象经过点(2,-3),
∴$(2+1)×(2-3)a=-3$,解得a=1.
∴这个二次函数的表达式为$y=(x+1)·(x-3)$,即$y=x^2-2x-3$.
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 二次函数图象关于对称轴对称，已知抛物线与x轴两个交点的距离为4、对称轴为直线$x=1$，因此两个交点到对称轴的距离均为$4÷2=2$，由此可算出两个交点的横坐标为$1-2=-1$和$1+2=3$，得到交点坐标$(-1,0)$和$(3,0)$；2. 已知抛物线与x轴的两个交点，选择交点式设二次函数表达式可简化计算；3. 将已知点$(2,-3)$代入所设表达式，求出待定系数$a$，整理即可得到最终解析式。
【解析】
∵抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，对称轴为直线$x=1$，
∴两个交点到对称轴的距离为$4÷2=2$，
∴抛物线与x轴的两交点坐标分别为$(-1,0)$、$(3,0)$。
设这个二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$），
∵二次函数图象经过点$(2,-3)$，将$x=2$，$y=-3$代入表达式得：
$a×(2+1)×(2-3)=-3$
即$-3a=-3$，解得$a=1$。
将$a=1$代入所设表达式，得$y=(x+1)(x-3)$，整理为$y=x^2-2x-3$。
【答案】
$y=x^2-2x-3$
【知识点】
二次函数的对称性，待定系数法求解析式，二次函数交点式
【点评】
本题的解题关键是利用二次函数的对称性快速确定抛物线与x轴的交点坐标，根据已知条件灵活选择交点式设解析式，能大幅降低计算难度，需要熟练掌握不同形式二次函数解析式的适用场景。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：1. 二次函数图象关于对称轴对称，已知抛物线与x轴两个交点的距离为4、对称轴为直线$x=1$，因此两个交点到对称轴的距离均为$4÷2=2$，由此可算出两个交点的横坐标为$1-2=-1$和$1+2=3$，得到交点坐标$(-1,0)$和$(3,0)$；2. 已知抛物线与x轴的两个交点，选择交点式设二次函数表达式可简化计算；3. 将已知点$(2,-3)$代入所设表达式，求出待定系数$a$，整理即可得到最终解析式。
【解析】
∵抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，对称轴为直线$x=1$，
∴两个交点到对称轴的距离为$4÷2=2$，
∴抛物线与x轴的两交点坐标分别为$(-1,0)$、$(3,0)$。
设这个二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$），
∵二次函数图象经过点$(2,-3)$，将$x=2$，$y=-3$代入表达式得：
$a×(2+1)×(2-3)=-3$
即$-3a=-3$，解得$a=1$。
将$a=1$代入所设表达式，得$y=(x+1)(x-3)$，整理为$y=x^2-2x-3$。
【答案】
$y=x^2-2x-3$
【知识点】
二次函数的对称性，待定系数法求解析式，二次函数交点式
【点评】
本题的解题关键是利用二次函数的对称性快速确定抛物线与x轴的交点坐标，根据已知条件灵活选择交点式设解析式，能大幅降低计算难度，需要熟练掌握不同形式二次函数解析式的适用场景。
【难度系数】
0.7
3. 已知二次函数$y=x^2+bx+c$中，函数$y$与自变量$x$的部分对应值如下表：
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当函数值$y$随$x$的增大而增大时，$x$的取值范围是________.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当函数值$y$随$x$的增大而增大时，$x$的取值范围是________.
答案
(1)根据题意,得当x=0时,y=5;当x=1时,y=2,
∴$\begin{cases} c=5, \\ 1+b+c=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} b=-4, \\ c=5. \end{cases}$
∴该二次函数的表达式为$y=x^2-4x+5$.
(2)$x＞2$ 解析:
∵$y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$,
∴抛物线的对称轴是直线x=2,且开口向上,
∴当函数值y随x的增大而增大时,x的取值范围是$x＞2$.
∴$\begin{cases} c=5, \\ 1+b+c=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} b=-4, \\ c=5. \end{cases}$
∴该二次函数的表达式为$y=x^2-4x+5$.
(2)$x＞2$ 解析:
∵$y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$,
∴抛物线的对称轴是直线x=2,且开口向上,
∴当函数值y随x的增大而增大时,x的取值范围是$x＞2$.
解析
【分析】
(1) 要确定二次函数$y=x^2+bx+c$的表达式，式中仅含b、c两个未知参数，只需从表格中选取两组x与y的对应值代入解析式，即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，就能得到函数表达式。
(2) 求y随x增大而增大的x范围时，先将第一问得到的解析式配方为顶点式，明确抛物线的开口方向和对称轴，结合二次函数增减性规律：开口向上的抛物线，对称轴右侧y随x增大而增大，即可得出对应的x取值范围。
【解析】
(1) 由表格数据可得：当$x=0$时，$y=5$；当$x=1$时，$y=2$，将两组值代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} c=5 \\ 1+b+c=2 \end{cases}$
把$c=5$代入第二个方程，解得$b=-4$，因此二次函数的表达式为$y=x^2-4x+5$。
(2) 将$y=x^2-4x+5$配方变形：
$y=x^2-4x+4+1=(x-2)^2+1$
可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，根据二次函数性质，开口向上时对称轴右侧y随x增大而增大，因此x的取值范围是$x＞2$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+5$
(2) $x＞2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的增减性；二次函数的对称轴
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查待定系数法求解析式和二次函数性质的应用，掌握二次函数的基本特征即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定二次函数$y=x^2+bx+c$的表达式，式中仅含b、c两个未知参数，只需从表格中选取两组x与y的对应值代入解析式，即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，就能得到函数表达式。
(2) 求y随x增大而增大的x范围时，先将第一问得到的解析式配方为顶点式，明确抛物线的开口方向和对称轴，结合二次函数增减性规律：开口向上的抛物线，对称轴右侧y随x增大而增大，即可得出对应的x取值范围。
【解析】
(1) 由表格数据可得：当$x=0$时，$y=5$；当$x=1$时，$y=2$，将两组值代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} c=5 \\ 1+b+c=2 \end{cases}$
把$c=5$代入第二个方程，解得$b=-4$，因此二次函数的表达式为$y=x^2-4x+5$。
(2) 将$y=x^2-4x+5$配方变形：
$y=x^2-4x+4+1=(x-2)^2+1$
可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，根据二次函数性质，开口向上时对称轴右侧y随x增大而增大，因此x的取值范围是$x＞2$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+5$
(2) $x＞2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的增减性；二次函数的对称轴
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查待定系数法求解析式和二次函数性质的应用，掌握二次函数的基本特征即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
4. 已知$y-1$与$(x+1)^2$成正比例，且当$x=3$时，$y=9$。
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式，并判断它是二次函数吗？
(2)函数有最大值还是最小值？是多少？
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式，并判断它是二次函数吗？
(2)函数有最大值还是最小值？是多少？
答案
(1)
∵$y-1$与$(x+1)^2$成正比例,
∴设$y-1=k(x+1)^2(k≠0)$,
即$y=k(x+1)^2+1$.
把x=3,y=9代入,得$9=16k+1$,
解得$k=\frac{1}{2}$.
∴$y=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$.它是二次函数.
(2)$y=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$的图象是抛物线,开口向上,顶点坐标为(-1,1),
∴当x=-1时,函数有最小值1.
∵$y-1$与$(x+1)^2$成正比例,
∴设$y-1=k(x+1)^2(k≠0)$,
即$y=k(x+1)^2+1$.
把x=3,y=9代入,得$9=16k+1$,
解得$k=\frac{1}{2}$.
∴$y=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$.它是二次函数.
(2)$y=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$的图象是抛物线,开口向上,顶点坐标为(-1,1),
∴当x=-1时,函数有最小值1.
解析
【分析】
（1）解决第一问首先利用正比例关系的定义：若两个量A、B成正比例，可表示为$A=kB$（$k≠0$，k为常数）。已知$y-1$与$(x+1)^2$成正比例，因此先设出含参数k的关系式，再将$x=3$、$y=9$代入求出k的值，整理得到函数表达式后，根据二次函数的定义（最高次为二次的整式函数，且二次项系数不为0）判断函数类型。
（2）解决第二问需利用二次函数的性质：二次项系数$a＞0$时抛物线开口向上，函数有最小值；$a＜0$时抛物线开口向下，函数有最大值，最值为顶点的纵坐标。结合得到的顶点式函数，直接判断开口方向和顶点坐标即可求出最值。
【解析】
(1)
∵$y-1$与$(x+1)^2$成正比例，
∴设$y-1=k(x+1)^2$（$k≠0$），
整理得$y=k(x+1)^2+1$。
把$x=3$，$y=9$代入上式，得$9=k×(3+1)^2+1$，即$9=16k+1$，
解得$k=\frac{1}{2}$。
∴$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$，该函数最高次项为二次项，符合二次函数的定义，是二次函数。
(2) 二次函数$y=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$的二次项系数$\frac{1}{2}＞0$，图象是开口向上的抛物线，顶点坐标为$(-1,1)$，
∴当$x=-1$时，函数有最小值，最小值为1。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$，是二次函数；
(2) 函数有最小值，最小值为1。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的定义；二次函数的最值
【点评】
本题重点考查正比例关系的应用、二次函数的判定及基本性质，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，以及二次函数开口方向和最值的对应关系，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先利用正比例关系的定义：若两个量A、B成正比例，可表示为$A=kB$（$k≠0$，k为常数）。已知$y-1$与$(x+1)^2$成正比例，因此先设出含参数k的关系式，再将$x=3$、$y=9$代入求出k的值，整理得到函数表达式后，根据二次函数的定义（最高次为二次的整式函数，且二次项系数不为0）判断函数类型。
（2）解决第二问需利用二次函数的性质：二次项系数$a＞0$时抛物线开口向上，函数有最小值；$a＜0$时抛物线开口向下，函数有最大值，最值为顶点的纵坐标。结合得到的顶点式函数，直接判断开口方向和顶点坐标即可求出最值。
【解析】
(1)
∵$y-1$与$(x+1)^2$成正比例，
∴设$y-1=k(x+1)^2$（$k≠0$），
整理得$y=k(x+1)^2+1$。
把$x=3$，$y=9$代入上式，得$9=k×(3+1)^2+1$，即$9=16k+1$，
解得$k=\frac{1}{2}$。
∴$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$，该函数最高次项为二次项，符合二次函数的定义，是二次函数。
(2) 二次函数$y=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$的二次项系数$\frac{1}{2}＞0$，图象是开口向上的抛物线，顶点坐标为$(-1,1)$，
∴当$x=-1$时，函数有最小值，最小值为1。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$，是二次函数；
(2) 函数有最小值，最小值为1。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的定义；二次函数的最值
【点评】
本题重点考查正比例关系的应用、二次函数的判定及基本性质，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，以及二次函数开口方向和最值的对应关系，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
