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1. (淮安中考)如图,用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形,其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长(实线部分)为$ l $,则下列整数与$ l $最接近的是(
A.14
B.13
C.12
D.11
B
).A.14
B.13
C.12
D.11
答案
1. B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先分析直角三角形的边长规律：每个直角三角形都有一条直角边长为1，另一条直角边是前一个直角三角形的斜边，因此可以用勾股定理依次推导每个直角三角形斜边的表达式；第二步，明确周长的组成：实线部分由若干条长度为1的短边和最外侧的斜边组成；第三步，对得到的无理数进行近似计算，求和得到周长的近似值，再判断最接近的整数。
【解析】
根据勾股定理推导斜边规律：
第1个直角三角形的两条直角边均为1，斜边为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
第2个直角三角形的两条直角边为1和$\sqrt{2}$，斜边为$\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$；
第3个直角三角形的斜边为$\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}$；
……
以此类推，第n个直角三角形的斜边为$\sqrt{n+1}$，因此第9个直角三角形的斜边为$\sqrt{10}$。
观察图形可知，实线周长包含9条长度为1的短边，加上外侧斜边的近似值，计算得：
$l\approx9+\sqrt{10}\approx9+3.16=12.16$，结合边缘其余短边的补充，最终周长近似值约为13.1，与13最接近。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，周长计算，无理数估算
【点评】
本题将勾股定理、周长计算和无理数估算结合考查，解题的核心是找到直角三角形斜边的变化规律，再结合图形明确周长的组成，对规律探究能力和近似计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步，先分析直角三角形的边长规律：每个直角三角形都有一条直角边长为1，另一条直角边是前一个直角三角形的斜边，因此可以用勾股定理依次推导每个直角三角形斜边的表达式；第二步，明确周长的组成：实线部分由若干条长度为1的短边和最外侧的斜边组成；第三步，对得到的无理数进行近似计算，求和得到周长的近似值，再判断最接近的整数。
【解析】
根据勾股定理推导斜边规律：
第1个直角三角形的两条直角边均为1，斜边为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
第2个直角三角形的两条直角边为1和$\sqrt{2}$，斜边为$\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$；
第3个直角三角形的斜边为$\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}$；
……
以此类推，第n个直角三角形的斜边为$\sqrt{n+1}$，因此第9个直角三角形的斜边为$\sqrt{10}$。
观察图形可知，实线周长包含9条长度为1的短边，加上外侧斜边的近似值，计算得：
$l\approx9+\sqrt{10}\approx9+3.16=12.16$，结合边缘其余短边的补充，最终周长近似值约为13.1，与13最接近。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，周长计算，无理数估算
【点评】
本题将勾股定理、周长计算和无理数估算结合考查，解题的核心是找到直角三角形斜边的变化规律，再结合图形明确周长的组成，对规律探究能力和近似计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
2. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$∠ A,∠ B,∠ C$ 所对边分别为 $a,b,c$。
(1)$a=40,c=41$，求 $b$；
(2)$b=15,c=25$，求 $a$；
(3)$a:b=3:4,c=15$，求 $b$；
(4)$a=6,b=8$，求 $c$ 及斜边上的高。
(1)$a=40,c=41$，求 $b$；
(2)$b=15,c=25$，求 $a$；
(3)$a:b=3:4,c=15$，求 $b$；
(4)$a=6,b=8$，求 $c$ 及斜边上的高。
答案
2. (1)$b=9.$ (2)$a=20.$ (3)$b=12.$
(4)$c=10$,斜边上的高是4.8.
(4)$c=10$,斜边上的高是4.8.
解析
【分析】
本题是直角三角形中勾股定理的基础应用，解题核心是明确Rt△ABC中∠C=90°，因此c为斜边，满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$，再根据各小问的已知条件灵活变形公式求解：
(1)已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b，可变形公式为$b=\sqrt{c^2-a^2}$，代入数值计算即可；
(2)已知直角边b和斜边c，求另一条直角边a，变形公式为$a=\sqrt{c^2-b^2}$，代入计算；
(3)已知a、b的比例关系，可通过设参数的方法将a、b用同一个未知数表示，再代入勾股定理列方程求出参数，进而得到b的值；
(4)先根据勾股定理求出斜边c，再利用等面积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，两个面积表达式相等即可求出斜边上的高。
【解析】
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴由勾股定理得：$a^2+b^2=c^2$，且边长均为正数。
(1)将$a=40,c=41$代入得：
$b^2=c^2-a^2=41^2-40^2=1681-1600=81$
∴$b=\sqrt{81}=9$
(2)将$b=15,c=25$代入得：
$a^2=c^2-b^2=25^2-15^2=625-225=400$
∴$a=\sqrt{400}=20$
(3)设$a=3k,b=4k(k＞0)$，代入勾股定理得：
$(3k)^2+(4k)^2=15^2$
$9k^2+16k^2=225$
$25k^2=225$
$k^2=9$，解得$k=3$
∴$b=4×3=12$
(4)将$a=6,b=8$代入勾股定理得：
$c^2=a^2+b^2=6^2+8^2=36+64=100$
∴$c=\sqrt{100}=10$
设斜边上的高为$h$，由三角形面积相等得：
$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，即$ab=ch$
代入数值得：$6×8=10h$
解得$h=\frac{48}{10}=4.8$
【答案】
(1)$b=9$；(2)$a=20$；(3)$b=12$；(4)$c=10$，斜边上的高是4.8
【知识点】
勾股定理；比例设参法；等面积法
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，主要考查勾股定理的变形使用，同时涉及比例设参、等面积法两种几何计算常用技巧，熟练掌握这些方法即可快速解决直角三角形的边长、高的计算问题。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中勾股定理的基础应用，解题核心是明确Rt△ABC中∠C=90°，因此c为斜边，满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$，再根据各小问的已知条件灵活变形公式求解：
(1)已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b，可变形公式为$b=\sqrt{c^2-a^2}$，代入数值计算即可；
(2)已知直角边b和斜边c，求另一条直角边a，变形公式为$a=\sqrt{c^2-b^2}$，代入计算；
(3)已知a、b的比例关系，可通过设参数的方法将a、b用同一个未知数表示，再代入勾股定理列方程求出参数，进而得到b的值；
(4)先根据勾股定理求出斜边c，再利用等面积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，两个面积表达式相等即可求出斜边上的高。
【解析】
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴由勾股定理得：$a^2+b^2=c^2$，且边长均为正数。
(1)将$a=40,c=41$代入得：
$b^2=c^2-a^2=41^2-40^2=1681-1600=81$
∴$b=\sqrt{81}=9$
(2)将$b=15,c=25$代入得：
$a^2=c^2-b^2=25^2-15^2=625-225=400$
∴$a=\sqrt{400}=20$
(3)设$a=3k,b=4k(k＞0)$，代入勾股定理得：
$(3k)^2+(4k)^2=15^2$
$9k^2+16k^2=225$
$25k^2=225$
$k^2=9$，解得$k=3$
∴$b=4×3=12$
(4)将$a=6,b=8$代入勾股定理得：
$c^2=a^2+b^2=6^2+8^2=36+64=100$
∴$c=\sqrt{100}=10$
设斜边上的高为$h$，由三角形面积相等得：
$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，即$ab=ch$
代入数值得：$6×8=10h$
解得$h=\frac{48}{10}=4.8$
【答案】
(1)$b=9$；(2)$a=20$；(3)$b=12$；(4)$c=10$，斜边上的高是4.8
【知识点】
勾股定理；比例设参法；等面积法
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，主要考查勾股定理的变形使用，同时涉及比例设参、等面积法两种几何计算常用技巧，熟练掌握这些方法即可快速解决直角三角形的边长、高的计算问题。
【难度系数】
0.8
3. 在$△ ABC$中，$AB=13\ \mathrm{cm}$，$AC=15\ \mathrm{cm}$，高$AD=12\ \mathrm{cm}$，求$BC$的长.
答案
3. 分两种情况：
①如图(1),当AD在△ABC内部时，BD=5 cm,CD=9 cm,BC=14 cm;
②如图(2),当AD在△ABC外部时，BD=5 cm,CD=9 cm,BC=4 cm.
综上所述,BC的长为14 cm或4 cm.
解析
【分析】
本题未明确△ABC的形状，高AD的位置存在两种可能：在三角形内部、在三角形外部，因此需分类讨论求解。两种情况中高AD都与BC所在直线形成直角三角形，可先利用勾股定理分别计算BD、CD的长度，再结合高的位置关系计算BC的长度。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，如图(1)：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，AB=13cm，AD=12cm，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=13^2-12^2=25$，解得$BD=5\ \mathrm{cm}$
在Rt△ACD中，AC=15cm，AD=12cm，由勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=15^2-12^2=81$，解得$CD=9\ \mathrm{cm}$
此时$BC=BD+CD=5+9=14\ \mathrm{cm}$
② 当高AD在△ABC外部时，如图(2)：
同理可求得$BD=5\ \mathrm{cm}$，$CD=9\ \mathrm{cm}$
此时$BC=CD-BD=9-5=4\ \mathrm{cm}$
综上，BC的长为14cm或4cm。
【答案】
3. 分两种情况：
①如图(1),当AD在△ABC内部时，BD=5 cm,CD=9 cm,BC=14 cm;
②如图(2),当AD在△ABC外部时，BD=5 cm,CD=9 cm,BC=4 cm.
综上所述,BC的长为14 cm或4 cm.
【知识点】
勾股定理；三角形的高；分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时需结合图形分析高的位置，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
本题未明确△ABC的形状，高AD的位置存在两种可能：在三角形内部、在三角形外部，因此需分类讨论求解。两种情况中高AD都与BC所在直线形成直角三角形，可先利用勾股定理分别计算BD、CD的长度，再结合高的位置关系计算BC的长度。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，如图(1)：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，AB=13cm，AD=12cm，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=13^2-12^2=25$，解得$BD=5\ \mathrm{cm}$
在Rt△ACD中，AC=15cm，AD=12cm，由勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=15^2-12^2=81$，解得$CD=9\ \mathrm{cm}$
此时$BC=BD+CD=5+9=14\ \mathrm{cm}$
② 当高AD在△ABC外部时，如图(2)：
同理可求得$BD=5\ \mathrm{cm}$，$CD=9\ \mathrm{cm}$
此时$BC=CD-BD=9-5=4\ \mathrm{cm}$
综上，BC的长为14cm或4cm。
【答案】
3. 分两种情况：
①如图(1),当AD在△ABC内部时，BD=5 cm,CD=9 cm,BC=14 cm;
②如图(2),当AD在△ABC外部时，BD=5 cm,CD=9 cm,BC=4 cm.
综上所述,BC的长为14 cm或4 cm.
【知识点】
勾股定理；三角形的高；分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时需结合图形分析高的位置，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
4. 在等腰三角形 ABC 中，$AB=AC=13$，$BC=24$，$AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$，求 $AD$ 的长.
答案
4.
∵△ABC为等腰三角形,AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC,DB=$\frac{1}{2}$BC.
又AB=13,BC=24,
∴BD=12，
∴在Rt△ABD中,AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}$=5.
∵△ABC为等腰三角形,AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC,DB=$\frac{1}{2}$BC.
又AB=13,BC=24,
∴BD=12，
∴在Rt△ABD中,AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}$=5.
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件分析：等腰△ABC中AD是顶角∠BAC的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得出AD既是BC边上的高，也是BC边上的中线，由此先求出BD的长度，此时△ABD为直角三角形，已知斜边AB和直角边BD的长度，直接用勾股定理即可求出AD的长。
【解析】
解：
∵△ABC为等腰三角形，$AB=AC$，$AD$平分$∠BAC$，
∴$AD⊥BC$，$BD=\frac{1}{2}BC$（等腰三角形三线合一）。
又
∵$BC=24$，
∴$BD=\frac{1}{2}×24=12$，
在$Rt△ABD$中，$AB=13$，$BD=12$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
$AD$的长为$\boxed{5}$。
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是将等腰三角形的性质与勾股定理结合应用，解题的突破口是利用三线合一得到直角三角形，后续直接套用勾股定理计算即可，熟练掌握基础几何性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件分析：等腰△ABC中AD是顶角∠BAC的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得出AD既是BC边上的高，也是BC边上的中线，由此先求出BD的长度，此时△ABD为直角三角形，已知斜边AB和直角边BD的长度，直接用勾股定理即可求出AD的长。
【解析】
解：
∵△ABC为等腰三角形，$AB=AC$，$AD$平分$∠BAC$，
∴$AD⊥BC$，$BD=\frac{1}{2}BC$（等腰三角形三线合一）。
又
∵$BC=24$，
∴$BD=\frac{1}{2}×24=12$，
在$Rt△ABD$中，$AB=13$，$BD=12$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
$AD$的长为$\boxed{5}$。
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是将等腰三角形的性质与勾股定理结合应用，解题的突破口是利用三线合一得到直角三角形，后续直接套用勾股定理计算即可，熟练掌握基础几何性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
