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7 如图, A, B, C 为 $\odot O$ 上的三个点, $∠ AOB=4∠ BOC$. 若 $∠ ACB=60°$, 则 $∠ BAC$ 的度数为（
A.$20°$
B.$18°$
C.$15°$
D.$12°$
C
）A.$20°$
B.$18°$
C.$15°$
D.$12°$
答案
7. C
8 [2025 宜宾] 如图，$∠ BAC$ 是 $\odot O$ 的圆周角，$∠ BAC=40°$，则 $∠ OBC=$
50
$°$.答案
8. 50
9 如图, A B, C D 是 $\odot O$ 的弦, 延长 A B, C D 相交于点 P. 若 $∠ P=30°, ∠ A O C=80°$, 则 $\overset{\frown}{BD}$ 的度数是
$20°$
.答案
9. $20°$
10 转化与化归思想 如图，$AC$，$BC$ 为$\odot O$ 的两条弦，$D$，$G$ 分别为 $AC$，$BC$ 的中点，$\odot O$ 的半径为 2.
若$∠ C=45^{\circ }$，则 $DG$ 的长为
若$∠ C=45^{\circ }$，则 $DG$ 的长为
$\sqrt{2}$
.答案
10. $\sqrt{2}$ 【解析】连接 $AO,BO,AB$. 根据圆周角定理,得 $∠ AOB=$
$2∠ C=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中, 根据勾股定理, 可得 $AB=2\sqrt{2}$. 在
$△ CAB$ 中, 根据三角形的中位线定理, 可得 $DG=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$.
$2∠ C=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中, 根据勾股定理, 可得 $AB=2\sqrt{2}$. 在
$△ CAB$ 中, 根据三角形的中位线定理, 可得 $DG=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$.
11 如图,在四边形 A B C D 中,$AD=BC,∠ B=∠ D$,AD 不平行于 BC,过点 C 作 $CE// AD$,交$△ ABC$ 的外接圆$\odot O$ 于点 E,连接 AE,CO. 求证:
(1) 四边形 AECD 为平行四边形;
(2) CO 平分$∠ BCE$.
(1) 四边形 AECD 为平行四边形;
(2) CO 平分$∠ BCE$.
答案
11. (1) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC},\therefore ∠ B=∠ E.\because ∠ B=∠ D,\therefore ∠ E=∠ D.$
$\because CE// AD,\therefore ∠ D+∠ ECD=180°,\therefore ∠ E+∠ ECD=180°,$
$\therefore AE// CD,\therefore$ 四边形 $AECD$ 为平行四边形 (2) 如图, 连接 $OE$,
$OB. \because$ 四边形 $AECD$ 为平行四边形, $\therefore AD=EC.\because AD=BC,$
$\therefore EC=BC$. 又 $\because OC=OC,OE=OB,\therefore △ COE ≌ △ COB (\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ OCE=∠ OCB$, 即 $CO$ 平分 $∠ BCE$
12 如图,四边形 A B C D 的四个顶点均在 $\odot O$ 上, $B C / / A D, A C ⊥ B D, ∠ A O D=120°, A D=\sqrt{3}$.
(1) 求 $∠ C A O$ 的度数;
(2) $B C$ 的长为
(1) 求 $∠ C A O$ 的度数;
(2) $B C$ 的长为
1
.答案
12. (1) 如图, 设 $AC,BD$ 交于点 $E. \because AC⊥ BD,\therefore ∠ AED=90°.$
$\because BC// AD,\therefore ∠ DBC=∠ ADB.\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ DBC=$
$∠ DAC,\therefore ∠ ADB=∠ DAC,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中, $∠ ADB=$
$∠ DAC=45°.\because OA=OD,\therefore ∠ OAD=∠ ODA.\because$ 在 $△ OAD$ 中,
$∠ AOD=120°,\therefore ∠ OAD=30°,\therefore ∠ CAO=∠ DAC-∠ OAD=15°$
(2) 1 【解析】如图, 连接 $OB,OC$, 过点 $O$ 作 $OH⊥ AD$, 垂足为
$H.\because OA=OD,OH⊥ AD,\therefore AH=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}.\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ OHA$
中, $∠ OAH=30°,\therefore$ 易得 $OH=\frac{1}{2}OA$. 在 $\mathrm{Rt}△ OHA$ 中, 由勾股定
理, 得 $OH^2+AH^2=OA^2,\therefore (\frac{1}{2}OA)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=OA^2$, 解得 $OA=$
1(负值舍去). $\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ COD=2∠ DAC=90°$. 同理, 得
$∠ AOB=90°.\because ∠ AOD=120°,\therefore ∠ BOC=360°-90°-90°-$
$120°=60°.\because OB=OC,\therefore △ OBC$ 是等边三角形, $\therefore BC=OB.$
$\because OB=OA=1,\therefore BC=1.$
$\because BC// AD,\therefore ∠ DBC=∠ ADB.\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ DBC=$
$∠ DAC,\therefore ∠ ADB=∠ DAC,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中, $∠ ADB=$
$∠ DAC=45°.\because OA=OD,\therefore ∠ OAD=∠ ODA.\because$ 在 $△ OAD$ 中,
$∠ AOD=120°,\therefore ∠ OAD=30°,\therefore ∠ CAO=∠ DAC-∠ OAD=15°$
(2) 1 【解析】如图, 连接 $OB,OC$, 过点 $O$ 作 $OH⊥ AD$, 垂足为
$H.\because OA=OD,OH⊥ AD,\therefore AH=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}.\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ OHA$
中, $∠ OAH=30°,\therefore$ 易得 $OH=\frac{1}{2}OA$. 在 $\mathrm{Rt}△ OHA$ 中, 由勾股定
理, 得 $OH^2+AH^2=OA^2,\therefore (\frac{1}{2}OA)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=OA^2$, 解得 $OA=$
1(负值舍去). $\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ COD=2∠ DAC=90°$. 同理, 得
$∠ AOB=90°.\because ∠ AOD=120°,\therefore ∠ BOC=360°-90°-90°-$
$120°=60°.\because OB=OC,\therefore △ OBC$ 是等边三角形, $\therefore BC=OB.$
$\because OB=OA=1,\therefore BC=1.$
