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1.(真题·杭州余杭)根据以下学习素材,完成下列两个任务:
学习素材
素材一
某校组织学生去农场进行学农实践,体验草莓采摘、包装和销售。同学们了解到该农场在包装草莓时,通常会采用精包装和简包装两种包装方式。
素材二
精包装
每盒2斤,每盒售价25元
简包装
每盒3斤,每盒售价35元
问题解决
任务一
在活动中,学生共卖出了700斤草莓,销售总收入为8500元,请问精包装和简包装各销售了多少盒?
任务二
现在需要对75斤草莓进行分装,既有精包装也有简包装,且恰好将这75斤草莓整盒分装完。每个精包装盒的成本为1元,每个简包装盒的成本为0.5元。若要将购买包装盒的成本控制在18元以内,请你设计出一种符合要求的分装方案,并说明理由。
学习素材
素材一
某校组织学生去农场进行学农实践,体验草莓采摘、包装和销售。同学们了解到该农场在包装草莓时,通常会采用精包装和简包装两种包装方式。
素材二
精包装
每盒2斤,每盒售价25元
简包装
每盒3斤,每盒售价35元
问题解决
任务一
在活动中,学生共卖出了700斤草莓,销售总收入为8500元,请问精包装和简包装各销售了多少盒?
任务二
现在需要对75斤草莓进行分装,既有精包装也有简包装,且恰好将这75斤草莓整盒分装完。每个精包装盒的成本为1元,每个简包装盒的成本为0.5元。若要将购买包装盒的成本控制在18元以内,请你设计出一种符合要求的分装方案,并说明理由。
答案
任务一:设精包装销售了x盒,简包装销售了y盒。根据题意得$\begin{cases}2x+3y=700,\\25x+35y=8500,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=200,\\y=100。\end{cases}$答:精包装销售了200盒,简包装销售了100盒。
任务二:分装成3盒精包装,23盒简包装或分装成6盒精包装,21盒简包装。理由如下:设可以分装成m盒精包装,则分装成$\frac{75-2m}{3}$盒简包装,根据题意得$m+0.5×\frac{75-2m}{3}≤18$,解得$m≤\frac{33}{4}$,又因为m,$\frac{75-2m}{3}$均为正整数,所以m可以为3或6,所以共有2种分装方案,方案1:分装成3盒精包装,23盒简包装;方案2:分装成6盒精包装,21盒简包装。
任务二:分装成3盒精包装,23盒简包装或分装成6盒精包装,21盒简包装。理由如下:设可以分装成m盒精包装,则分装成$\frac{75-2m}{3}$盒简包装,根据题意得$m+0.5×\frac{75-2m}{3}≤18$,解得$m≤\frac{33}{4}$,又因为m,$\frac{75-2m}{3}$均为正整数,所以m可以为3或6,所以共有2种分装方案,方案1:分装成3盒精包装,23盒简包装;方案2:分装成6盒精包装,21盒简包装。
解析
【分析】
本题分为两个任务，均为实际应用问题。任务一需提取题目中“总重量”“总收入”两个等量关系，设两个未知数建立二元一次方程组求解；任务二需先设精包装的盒数，用含该未知数的式子表示简包装的盒数，再根据包装盒成本限制建立一元一次不等式，结合“两种包装盒数均为正整数”的实际意义，找出符合条件的解，确定分装方案。
【解析】
任务一：
设精包装销售了$x$盒，简包装销售了$y$盒。
根据总重量为700斤，得方程：$2x + 3y = 700$；
根据销售总收入为8500元，得方程：$25x + 35y = 8500$。
联立方程组：$\begin{cases}2x + 3y = 700 \\25x + 35y = 8500 \\\end{cases}$
化简第二个方程，两边除以5得：$5x + 7y = 1700$；
由第一个方程变形得：$x = \frac{700 - 3y}{2}$，代入化简后的方程：
$5×\frac{700 - 3y}{2} + 7y = 1700$，两边乘2消分母得：$5(700 - 3y) + 14y = 3400$；
计算得：$3500 - 15y + 14y = 3400$，解得$y = 100$；
将$y = 100$代入$x = \frac{700 - 3y}{2}$，得$x = 200$。
任务二：
设分装成$m$盒精包装，则简包装的盒数为$\frac{75 - 2m}{3}$盒（$m$、$\frac{75 - 2m}{3}$均为正整数）。
根据包装盒成本不超过18元，列不等式：
$1× m + 0.5×\frac{75 - 2m}{3} ≤ 18$；
解不等式：两边乘3得$3m + 0.5(75 - 2m) ≤ 54$，展开合并得$2m ≤ 16.5$，即$m ≤ 8.25$；
结合实际意义，$m$为正整数，且$75 - 2m$需能被3整除（因75是3的倍数，故$2m$是3的倍数），因此$m$可取3、6（$m=9$时超过成本限制）；
对应简包装盒数：$m=3$时，$\frac{75 - 6}{3}=23$；$m=6$时，$\frac{75 - 12}{3}=21$。
【答案】
任务一：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒；
任务二：符合要求的分装方案有两种，方案1：分装成3盒精包装，23盒简包装；方案2：分装成6盒精包装，21盒简包装。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，整数解实际应用
【点评】
本题结合实际生产生活中的分装、销售场景，考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，需学生准确提取等量/不等关系，同时关注实际问题中未知数为正整数的隐含条件，难度适中，能有效考查学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.6
本题分为两个任务，均为实际应用问题。任务一需提取题目中“总重量”“总收入”两个等量关系，设两个未知数建立二元一次方程组求解；任务二需先设精包装的盒数，用含该未知数的式子表示简包装的盒数，再根据包装盒成本限制建立一元一次不等式，结合“两种包装盒数均为正整数”的实际意义，找出符合条件的解，确定分装方案。
【解析】
任务一：
设精包装销售了$x$盒，简包装销售了$y$盒。
根据总重量为700斤，得方程：$2x + 3y = 700$；
根据销售总收入为8500元，得方程：$25x + 35y = 8500$。
联立方程组：$\begin{cases}2x + 3y = 700 \\25x + 35y = 8500 \\\end{cases}$
化简第二个方程，两边除以5得：$5x + 7y = 1700$；
由第一个方程变形得：$x = \frac{700 - 3y}{2}$，代入化简后的方程：
$5×\frac{700 - 3y}{2} + 7y = 1700$，两边乘2消分母得：$5(700 - 3y) + 14y = 3400$；
计算得：$3500 - 15y + 14y = 3400$，解得$y = 100$；
将$y = 100$代入$x = \frac{700 - 3y}{2}$，得$x = 200$。
任务二：
设分装成$m$盒精包装，则简包装的盒数为$\frac{75 - 2m}{3}$盒（$m$、$\frac{75 - 2m}{3}$均为正整数）。
根据包装盒成本不超过18元，列不等式：
$1× m + 0.5×\frac{75 - 2m}{3} ≤ 18$；
解不等式：两边乘3得$3m + 0.5(75 - 2m) ≤ 54$，展开合并得$2m ≤ 16.5$，即$m ≤ 8.25$；
结合实际意义，$m$为正整数，且$75 - 2m$需能被3整除（因75是3的倍数，故$2m$是3的倍数），因此$m$可取3、6（$m=9$时超过成本限制）；
对应简包装盒数：$m=3$时，$\frac{75 - 6}{3}=23$；$m=6$时，$\frac{75 - 12}{3}=21$。
【答案】
任务一：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒；
任务二：符合要求的分装方案有两种，方案1：分装成3盒精包装，23盒简包装；方案2：分装成6盒精包装，21盒简包装。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，整数解实际应用
【点评】
本题结合实际生产生活中的分装、销售场景，考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，需学生准确提取等量/不等关系，同时关注实际问题中未知数为正整数的隐含条件，难度适中，能有效考查学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.6
