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1. 如图,数轴上点 $ O $ 为坐标原点, $ O, A $ 两点的距离为 24,一动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,按以下规律跳动:第 1 次跳落到 $ AO $ 的中点 $ A_1 $处,第 2 次从点 $ A_1 $ 跳动到 $ A_1O $ 的中点 $ A_2 $处,第 3 次从点 $ A_2 $ 跳动到 $ A_2O $ 的中点 $ A_3 $处. 按照这样的规律继续跳动到点 $ A_4 $,$ A_5,A_6,\dots,A_n $ ($ n ≥ 3 $, $ n $ 是整数)处,则经过这样 2026 次跳动后的点 $ A_{2026} $ 与 $ A_1A_2 $的中点的距离是（
A.$ 9-3×\dfrac{1}{2^{2022}} $
B.$ 9-3×\dfrac{1}{2^{2023}} $
C.$ 12-3×\dfrac{1}{2^{2023}} $
D.$ 12-3×\dfrac{1}{2^{2022}} $
B
）A.$ 9-3×\dfrac{1}{2^{2022}} $
B.$ 9-3×\dfrac{1}{2^{2023}} $
C.$ 12-3×\dfrac{1}{2^{2023}} $
D.$ 12-3×\dfrac{1}{2^{2022}} $
答案
1. B 提示:因为数轴上O,A两点的距离为24,所以点A表示的数为24,则点A₁表示的数为$24×\dfrac{1}{2}=12$,点A₂表示的数为$24×(\dfrac{1}{2})^2=6$,点A₃表示的数为$24×(\dfrac{1}{2})^3$,点A₄表示的数为$24×(\dfrac{1}{2})^4$,所以经过这样2026次跳动后的点$A_{2026}$表示的数为$24×(\dfrac{1}{2})^{2026}$.又因为$A_1A_2$的中点表示的数为$\dfrac{12+6}{2}=9$,所以经过这样2026次跳动后的点$A_{2026}$与$A_1A_2$的中点的距离为$9-24×(\dfrac{1}{2})^{2026}=9-3×\dfrac{1}{2^{2023}}$.
解析
【分析】
我们可以按照三步思路来解题：第一步，已知O是原点，OA长度为24，先确定点A对应的数值为24，依次推导前几次跳动后A₁、A₂、A₃对应的数，总结出第n次跳动后Aₙ的通用数值规律；第二步，根据中点公式计算A₁A₂的中点对应的数值；第三步，利用数轴上两点距离的计算规则，用数值更大的中点值减去A₂₀₂₆的数值，再对指数部分做约分化简，就能得到最终结果。注意所有落点都在O和A之间，A₂₀₂₆的数值远小于9，直接用大数减小数即可得到距离。
【解析】
解：
1. 推导落点的数值规律
已知O为数轴原点，OA=24，因此点A表示的数为24：
第1次跳动到AO中点A₁，A₁对应的数为$24×\frac{1}{2}=12$
第2次跳动到A₁O中点A₂，A₂对应的数为$24×(\frac{1}{2})^2=6$
第3次跳动到A₂O中点A₃，A₃对应的数为$24×(\frac{1}{2})^3$
以此类推，可得第n次跳动后，点$A_n$对应的数为$24×(\frac{1}{2})^n$，因此2026次跳动后，$A_{2026}$对应的数为$24×(\frac{1}{2})^{2026}$。
2. 计算A₁A₂的中点数值
A₁对应12，A₂对应6，根据中点计算公式，A₁A₂的中点对应的数为$\frac{12+6}{2}=9$。
3. 计算两点的距离
由于$A_{2026}$在原点O和A₂之间，数值小于9，因此两点距离为中点数值减去$A_{2026}$的数值：
$\begin{aligned}距离&=9 - 24×(\frac{1}{2})^{2026}\\&=9-\frac{24}{2^{2026}}\\&=9-3×\frac{1}{2^{2023}}\end{aligned}$
最终结果对应选项B。
【答案】B
【知识点】数轴两点距离，规律探究，有理数乘方化简
【点评】本题是数轴结合数字规律的中档题型，核心是从特殊落点的数值推导通项公式，再结合数轴距离规则计算，易错点集中在高次指数的约分化简，不少同学处理$24/2^{2026}$时容易搞错指数对应关系，解题时先枚举前几项确认规律再代入计算就能避免失误。
【难度系数】0.4
我们可以按照三步思路来解题：第一步，已知O是原点，OA长度为24，先确定点A对应的数值为24，依次推导前几次跳动后A₁、A₂、A₃对应的数，总结出第n次跳动后Aₙ的通用数值规律；第二步，根据中点公式计算A₁A₂的中点对应的数值；第三步，利用数轴上两点距离的计算规则，用数值更大的中点值减去A₂₀₂₆的数值，再对指数部分做约分化简，就能得到最终结果。注意所有落点都在O和A之间，A₂₀₂₆的数值远小于9，直接用大数减小数即可得到距离。
【解析】
解：
1. 推导落点的数值规律
已知O为数轴原点，OA=24，因此点A表示的数为24：
第1次跳动到AO中点A₁，A₁对应的数为$24×\frac{1}{2}=12$
第2次跳动到A₁O中点A₂，A₂对应的数为$24×(\frac{1}{2})^2=6$
第3次跳动到A₂O中点A₃，A₃对应的数为$24×(\frac{1}{2})^3$
以此类推，可得第n次跳动后，点$A_n$对应的数为$24×(\frac{1}{2})^n$，因此2026次跳动后，$A_{2026}$对应的数为$24×(\frac{1}{2})^{2026}$。
2. 计算A₁A₂的中点数值
A₁对应12，A₂对应6，根据中点计算公式，A₁A₂的中点对应的数为$\frac{12+6}{2}=9$。
3. 计算两点的距离
由于$A_{2026}$在原点O和A₂之间，数值小于9，因此两点距离为中点数值减去$A_{2026}$的数值：
$\begin{aligned}距离&=9 - 24×(\frac{1}{2})^{2026}\\&=9-\frac{24}{2^{2026}}\\&=9-3×\frac{1}{2^{2023}}\end{aligned}$
最终结果对应选项B。
【答案】B
【知识点】数轴两点距离，规律探究，有理数乘方化简
【点评】本题是数轴结合数字规律的中档题型，核心是从特殊落点的数值推导通项公式，再结合数轴距离规则计算，易错点集中在高次指数的约分化简，不少同学处理$24/2^{2026}$时容易搞错指数对应关系，解题时先枚举前几项确认规律再代入计算就能避免失误。
【难度系数】0.4
2. 如图,点$O$在直线$AB$上,过点$O$作射线$OC,∠ BOC=100°$,一直角三角板的直角顶点与点$O$重合,边$OM$与$OB$重合,边$ON$在直线$AB$的下方.若三角板绕点$O$按每秒$10°$的速度按逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第$t\ \mathrm{s}$时,直线$ON$恰好平分锐角$∠ AOC$,则$t$的值为
5或23
.答案
2. 5 或 23 提示:因为$∠BOC=100°$,所以$∠AOC=80°$.如图1,当直线ON恰好平分锐角$∠AOC$时,$∠BON=\dfrac{1}{2}∠AOC=40°$,此时,三角板旋转的角度为$90°-40°=50°$,所以$t=50°÷10°=5$;如图2,当ON在$∠AOC$的内部且平分$∠AOC$时,三角板旋转的角度为$360°-90°-40°=230°$,所以$t=230°÷10°=23$.综上,$t$的值为5或23.
解析
【分析】
首先从已知条件入手，先利用平角的性质算出∠AOC的度数：点O在直线AB上，∠AOB为180°，已知∠BOC=100°，因此可得∠AOC=80°。需要注意题目描述的是“直线ON”平分锐角∠AOC，并非射线ON，结合三角板逆时针旋转的全过程，存在两种符合条件的位置：第一种是ON仍在AB下方时，ON所在直线的反向延长线恰好是∠AOC的角平分线；第二种是ON旋转到AB上方，直接落在∠AOC的角平分线上。分别算出两种情况下三角板的总旋转角度，再用总旋转角度除以每秒10°的旋转速度，就能得到对应的t值，避免漏解。
【解析】
1. 计算∠AOC的度数：
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°，
已知∠BOC=100°，因此$∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 180° - 100° = 80°$。
2. 由直线ON平分锐角∠AOC，可得角平分线分出的小角度为$\frac{1}{2}∠ AOC = 40°$，分两类讨论：
情况1：ON在直线AB下方，ON的反向延长线为∠AOC的角平分线
此时∠BON=40°，初始状态下∠MON=90°，即初始时ON与OB在AB下方的夹角为90°，因此三角板逆时针旋转的总角度为$90° - 40° = 50°$，
结合旋转速度为每秒10°，得$t = 50° ÷ 10°/\mathrm{s} = 5\ \mathrm{s}$。
情况2：ON旋转到直线AB上方，直接落在∠AOC的角平分线上
此时三角板从初始位置逆时针旋转的总角度为$360° - 90° - 40° = 230°$，
因此$t = 230° ÷ 10°/\mathrm{s} = 23\ \mathrm{s}$。
综上，t的值为5或23。
【答案】
5或23
【知识点】
平角性质，角平分线定义，旋转的性质
【点评】
本题是动态几何的角度计算问题，最容易出现的错误是忽略“直线ON”的条件，只考虑射线ON直接平分∠AOC的单一情况导致漏解，解题时要完整梳理旋转的全过程，分类排查所有符合条件的位置，再通过旋转角度和速度的对应关系计算时间。
【难度系数】
0.5
首先从已知条件入手，先利用平角的性质算出∠AOC的度数：点O在直线AB上，∠AOB为180°，已知∠BOC=100°，因此可得∠AOC=80°。需要注意题目描述的是“直线ON”平分锐角∠AOC，并非射线ON，结合三角板逆时针旋转的全过程，存在两种符合条件的位置：第一种是ON仍在AB下方时，ON所在直线的反向延长线恰好是∠AOC的角平分线；第二种是ON旋转到AB上方，直接落在∠AOC的角平分线上。分别算出两种情况下三角板的总旋转角度，再用总旋转角度除以每秒10°的旋转速度，就能得到对应的t值，避免漏解。
【解析】
1. 计算∠AOC的度数：
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°，
已知∠BOC=100°，因此$∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 180° - 100° = 80°$。
2. 由直线ON平分锐角∠AOC，可得角平分线分出的小角度为$\frac{1}{2}∠ AOC = 40°$，分两类讨论：
情况1：ON在直线AB下方，ON的反向延长线为∠AOC的角平分线
此时∠BON=40°，初始状态下∠MON=90°，即初始时ON与OB在AB下方的夹角为90°，因此三角板逆时针旋转的总角度为$90° - 40° = 50°$，
结合旋转速度为每秒10°，得$t = 50° ÷ 10°/\mathrm{s} = 5\ \mathrm{s}$。
情况2：ON旋转到直线AB上方，直接落在∠AOC的角平分线上
此时三角板从初始位置逆时针旋转的总角度为$360° - 90° - 40° = 230°$，
因此$t = 230° ÷ 10°/\mathrm{s} = 23\ \mathrm{s}$。
综上，t的值为5或23。
【答案】
5或23
【知识点】
平角性质，角平分线定义，旋转的性质
【点评】
本题是动态几何的角度计算问题，最容易出现的错误是忽略“直线ON”的条件，只考虑射线ON直接平分∠AOC的单一情况导致漏解，解题时要完整梳理旋转的全过程，分类排查所有符合条件的位置，再通过旋转角度和速度的对应关系计算时间。
【难度系数】
0.5
3. 阅读材料:$3^{1}$的末尾数字是$3$,$3^{2}$的末尾数字是$9$,$3^{3}$的末尾数字是$7$,$3^{4}$的末尾数字是$1$,$3^{5}$的末尾数字是$3······$观察得到规律:$3^{4n+1}=(3^{4})^{n} × 3$($n$为非负整数),因为$3^{4}$的末尾数字是$1$,所以$(3^{4})^{n}$的末尾数字是$1$,所以$(3^{4})^{n} × 3$的末尾数字是$3$,同理可知,$3^{4n+2}$的末尾数字是$9$,$3^{4n+3}$的末尾数字是$7$.
解答下列问题：
(1)$3^{2\ 026}$的末尾数字是
(2) 判断$12^{2\ 024}+37^{2\ 026}$能否被$5$整除,并说明理由.
解答下列问题：
(1)$3^{2\ 026}$的末尾数字是
9
,$14^{2\ 026}$的末尾数字是6
;(2) 判断$12^{2\ 024}+37^{2\ 026}$能否被$5$整除,并说明理由.
答案
3. (1) 9 6 提示:因为$3^{2\ 026}=3^{4×506+2}$,所以$3^{2\ 026}$的末尾数字为9.因为$14^1$的末尾数字是4,$14^2$的末尾数字是6,$14^3$的末尾数字是4……$14^{2n+1}$的末尾数字是4,$14^{2n}$的末尾数字是6,其中$n$为非负整数.因为$14^{2\ 026}=14^{2×1\ 013}$,所以$14^{2\ 026}$的末尾数字是6.
(2) 解:能. 理由:因为$12^1$的末尾数字是2,$12^2$的末尾数字是4,$12^3$的末尾数字是8,$12^4$的末尾数字是6,$12^5$的末尾数字是2……所以$12^{4n+1}$的末尾数字是2,$12^{4n+2}$的末尾数字是4,$12^{4n+3}$的末尾数字是8,$12^{4n}$的末尾数字是6,其中$n$为非负整数,所以$12^{2\ 024}=12^{4×506}$的末尾数字为6;同理可得,$37^{4n+1}$的末尾数字是7,$37^{4n+2}$的末尾数字是9,$37^{4n+3}$的末尾数字是3,$37^{4n}$的末尾数字是1,所以$37^{2\ 026}=37^{4×506+2}$的末尾数字是9,所以$12^{2\ 024}+37^{2\ 026}$的末尾数字是5,所以$12^{2\ 024}+37^{2\ 026}$能被5整除.
(2) 解:能. 理由:因为$12^1$的末尾数字是2,$12^2$的末尾数字是4,$12^3$的末尾数字是8,$12^4$的末尾数字是6,$12^5$的末尾数字是2……所以$12^{4n+1}$的末尾数字是2,$12^{4n+2}$的末尾数字是4,$12^{4n+3}$的末尾数字是8,$12^{4n}$的末尾数字是6,其中$n$为非负整数,所以$12^{2\ 024}=12^{4×506}$的末尾数字为6;同理可得,$37^{4n+1}$的末尾数字是7,$37^{4n+2}$的末尾数字是9,$37^{4n+3}$的末尾数字是3,$37^{4n}$的末尾数字是1,所以$37^{2\ 026}=37^{4×506+2}$的末尾数字是9,所以$12^{2\ 024}+37^{2\ 026}$的末尾数字是5,所以$12^{2\ 024}+37^{2\ 026}$能被5整除.
解析
【分析】
这道题的核心是利用正整数幂的末位数字的周期性规律求解，解题思路如下：①首先从给定材料中学习方法：先计算底数前若干次幂的末位数字，确定循环周期，再将指数改写为“周期×整数+余数”的形式，根据余数匹配对应的末位数字。②解答第(1)问时，直接套用材料给出的3的幂的末位周期为4的规律，拆分指数2026得到$3^{2026}$的末位；再观察14的幂的末位规律，发现其周期为2，判断2026为偶数即可得到对应末位。③解答第(2)问时，利用“末位为0或5的整数可以被5整除”的性质，分别求出两个加数的末位数字，相加后判断和的末位是否符合能被5整除的特征，即可完成验证。
【解析】
(1) 求$3^{2026}$的末尾数字：
已知3的正整数次幂的末位数字以3、9、7、1为循环，周期为4。
将指数2026拆分：$2026 = 4×506 + 2$，对应$3^{4n+2}$的形式，因此$3^{2026}$的末尾数字是9。
求$14^{2026}$的末尾数字：
观察14的正整数次幂的末位：$14^1$末位为4，$14^2$末位为6，$14^3$末位为4，$14^4$末位为6，可得末位以4、6循环，周期为2。
将指数2026拆分：$2026 = 2×1013$，对应$14^{2n}$的形式，因此$14^{2026}$的末尾数字是6。
(2) 判断$12^{2024}+37^{2026}$能否被5整除：
① 先求$12^{2024}$的末位数字：
观察12的正整数次幂的末位：$12^1$末位为2，$12^2$末位为4，$12^3$末位为8，$12^4$末位为6，$12^5$末位为2，可得末位以2、4、8、6循环，周期为4。
将指数2024拆分：$2024 = 4×506$，对应$12^{4n}$的形式，因此$12^{2024}$的末位数字是6。
② 再求$37^{2026}$的末位数字：
观察37的正整数次幂的末位：$37^1$末位为7，$37^2$末位为9，$37^3$末位为3，$37^4$末位为1，$37^5$末位为7，可得末位以7、9、3、1循环，周期为4。
将指数2026拆分：$2026 = 4×506 + 2$，对应$37^{4n+2}$的形式，因此$37^{2026}$的末位数字是9。
③ 验证整除性：
两个数的末位相加得$6+9=15$，因此$12^{2024}+37^{2026}$的末尾数字是5。根据能被5整除的数的特征：末位为0或5的整数可以被5整除，因此$12^{2024}+37^{2026}$能被5整除。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；$\boldsymbol{6}$ (2) 能，理由如上
【知识点】
幂的末位循环规律，5的整除特征
【点评】
本题属于材料引导型的规律探究题，先通过示例给出解题方法，要求学生自主迁移应用到不同底数的幂运算场景中，既考察学生的阅读理解能力，也锻炼了归纳类比的数学思维，解题的易错点是拆分指数时计算错误，导致匹配到错误的末位数字，计算时注意核对指数和周期的整除关系即可避免失误。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是利用正整数幂的末位数字的周期性规律求解，解题思路如下：①首先从给定材料中学习方法：先计算底数前若干次幂的末位数字，确定循环周期，再将指数改写为“周期×整数+余数”的形式，根据余数匹配对应的末位数字。②解答第(1)问时，直接套用材料给出的3的幂的末位周期为4的规律，拆分指数2026得到$3^{2026}$的末位；再观察14的幂的末位规律，发现其周期为2，判断2026为偶数即可得到对应末位。③解答第(2)问时，利用“末位为0或5的整数可以被5整除”的性质，分别求出两个加数的末位数字，相加后判断和的末位是否符合能被5整除的特征，即可完成验证。
【解析】
(1) 求$3^{2026}$的末尾数字：
已知3的正整数次幂的末位数字以3、9、7、1为循环，周期为4。
将指数2026拆分：$2026 = 4×506 + 2$，对应$3^{4n+2}$的形式，因此$3^{2026}$的末尾数字是9。
求$14^{2026}$的末尾数字：
观察14的正整数次幂的末位：$14^1$末位为4，$14^2$末位为6，$14^3$末位为4，$14^4$末位为6，可得末位以4、6循环，周期为2。
将指数2026拆分：$2026 = 2×1013$，对应$14^{2n}$的形式，因此$14^{2026}$的末尾数字是6。
(2) 判断$12^{2024}+37^{2026}$能否被5整除：
① 先求$12^{2024}$的末位数字：
观察12的正整数次幂的末位：$12^1$末位为2，$12^2$末位为4，$12^3$末位为8，$12^4$末位为6，$12^5$末位为2，可得末位以2、4、8、6循环，周期为4。
将指数2024拆分：$2024 = 4×506$，对应$12^{4n}$的形式，因此$12^{2024}$的末位数字是6。
② 再求$37^{2026}$的末位数字：
观察37的正整数次幂的末位：$37^1$末位为7，$37^2$末位为9，$37^3$末位为3，$37^4$末位为1，$37^5$末位为7，可得末位以7、9、3、1循环，周期为4。
将指数2026拆分：$2026 = 4×506 + 2$，对应$37^{4n+2}$的形式，因此$37^{2026}$的末位数字是9。
③ 验证整除性：
两个数的末位相加得$6+9=15$，因此$12^{2024}+37^{2026}$的末尾数字是5。根据能被5整除的数的特征：末位为0或5的整数可以被5整除，因此$12^{2024}+37^{2026}$能被5整除。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；$\boldsymbol{6}$ (2) 能，理由如上
【知识点】
幂的末位循环规律，5的整除特征
【点评】
本题属于材料引导型的规律探究题，先通过示例给出解题方法，要求学生自主迁移应用到不同底数的幂运算场景中，既考察学生的阅读理解能力，也锻炼了归纳类比的数学思维，解题的易错点是拆分指数时计算错误，导致匹配到错误的末位数字，计算时注意核对指数和周期的整除关系即可避免失误。
【难度系数】
0.7
