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1. 综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①所示.
①一张直径为 10 cm 的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为 7 cm 的圆锥形过滤漏斗.
第1题图
【实践操作】如图②.
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按图示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)? 用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留 $π$)
2. 根据素材解决问题.
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①所示.
①一张直径为 10 cm 的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为 7 cm 的圆锥形过滤漏斗.
第1题图
【实践操作】如图②.
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按图示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)? 用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留 $π$)
2. 根据素材解决问题.
答案
1. 解:(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁,理由如下:
由题意,得围成圆锥形滤纸的扇形圆心角$n_1$的度数为$180°$.
设圆锥形漏斗所对应的扇形圆心角的度数为$n_2°$.
根据题意,得$7π=\dfrac{n_2π×7}{180}$,解得$n_2=180$,$\therefore n_1=n_2$,
$\therefore$滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)如答图,过点$C$作$CF⊥ DE$于点$F$,由(1)知$CD=$$CE=5\ \mathrm{cm}$.
由题意,得圆锥形滤纸的底面周长为$\dfrac{1}{2}×10π=5π(\mathrm{cm})$,
$\therefore DE·π=5π\ \mathrm{cm}$,$\therefore DE=5\ \mathrm{cm}$.
$\because CF⊥ DE$,$CD=CE$,$\therefore DF=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$CF^2=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-(\dfrac{5}{2})^2}=$$\dfrac{5\sqrt{3}}{2}(\mathrm{cm})$,
$\therefore V=π·(\dfrac{5}{2})^2×\dfrac{5\sqrt{3}}{2}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{125\sqrt{3}}{24}π(\mathrm{cm}^3)$.
即滤纸围成圆锥形的体积是$\dfrac{125\sqrt{3}}{24}π\ \mathrm{cm}^3$.
2. 解:(1)设桥拱圆心为点$O$,则点$O$在$CD$的延长线上,延长$CD$到点$O$,连接$AO$,如答图①.
设桥拱的半径为$r\ \mathrm{m}$,则$OD=(r-4)\mathrm{m}$.
$\because OC⊥ AB$,$\therefore AD=BD=\dfrac{1}{2}AB=8\ \mathrm{m}$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ AOD$中,$OD^2+AD^2=OA^2$,
$\therefore (r-4)^2+8^2=r^2$,解得$r=10$,
$\therefore$圆形桥拱的半径为$10\ \mathrm{m}$.
(2)根据题图③中船的状态,货船不能通过圆形桥拱,至少要增加$10\ \mathrm{t}$货物才能通过.理由如下:
当$EH$是$\odot O$的弦时,设$EH$与$OC$的交点为$M$,连接$OE$,$OH$,如答图②.
$\because$四边形$EFGH$为矩形,
$\therefore EH// FG$.
$\because OC⊥ AB$,$\therefore OM⊥ EH$,
$\therefore EM=\dfrac{1}{2}EH=6\ \mathrm{m}$,
$\therefore OM=\sqrt{OE^2-EM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8(\mathrm{m})$.
$\because OD=OC-CD=10-4=6(\mathrm{m})$,
$\therefore DM=OM-OD=2\ \mathrm{m}＜2.1\ \mathrm{m}$,
$\therefore$根据题图③中船的状态,货船不能通过圆形桥拱.
$\because$货船的载重量每增加$1\ \mathrm{t}$,船身下降$0.01\ \mathrm{m}$,
$\therefore (2.1-2)÷0.01=10(\mathrm{t})$,
$\therefore$至少要增加$10\ \mathrm{t}$货物才能通过.
解析
【分析】
我们分模块梳理解题思路：
1. 第一问判断滤纸能否紧贴漏斗：首先分析折叠后的滤纸围成的圆锥，它的侧面是原直径10cm的圆形滤纸对折后得到的半圆，直接可得其侧面扇形圆心角为180°；接下来利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长的性质，代入漏斗的底面周长、母线长，通过扇形弧长公式计算漏斗对应的侧面扇形圆心角，若两个圆心角相等，说明侧面完全匹配，滤纸就能紧贴漏斗内壁。
2. 第二问求滤纸圆锥的体积：先通过半圆弧长得到滤纸圆锥的底面周长，算出底面半径，再结合母线长用勾股定理求出圆锥的高，代入圆锥体积公式即可算出结果。
3. 桥拱相关问题：第一小问利用垂径定理，设桥拱半径为r，结合勾股定理列方程求解半径；第二小问先算出对应船宽下桥拱距离水面的最大可通行高度，和船的现有高度对比，得到需要船身下降的高度，再结合每增1t货物船身下降0.01m的条件，换算出需要增加的货物重量即可。
【解析】
1. 解：(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
由题意，折叠后撑开围成圆锥形的滤纸，其侧面是原圆形滤纸的一半，可得围成圆锥形滤纸的扇形圆心角$n_1$的度数为$180°$。
设圆锥形漏斗所对应的扇形圆心角的度数为$n_2°$。
已知漏斗口直径为7cm，因此漏斗底面周长为$7π\ \mathrm{cm}$，漏斗母线长为7cm，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，代入得：
$7π=\dfrac{n_2π×7}{180}$，
解得$n_2=180$，
$\therefore n_1=n_2$，两个圆锥的侧面展开扇形完全一致，因此滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2)过点$C$作$CF⊥ DE$于点$F$，由(1)知滤纸圆锥的母线长$CD=CE=5\ \mathrm{cm}$。
由题意，得圆锥形滤纸的底面周长为$\dfrac{1}{2}×10π=5π(\mathrm{cm})$，
设滤纸圆锥底面直径为$DE$，则$DE·π=5π\ \mathrm{cm}$，解得$DE=5\ \mathrm{cm}$。
$\because CF⊥ DE$，$CD=CE$，由等腰三角形三线合一得$DF=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-(\dfrac{5}{2})^2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}(\mathrm{cm})$，
代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr^2h$：
$V=\dfrac{1}{3}·π·(\dfrac{5}{2})^2×\dfrac{5\sqrt{3}}{2}=\dfrac{125\sqrt{3}}{24}π(\mathrm{cm}^3)$。
2. 解：(1)设桥拱圆心为点$O$，则点$O$在$CD$的延长线上，延长$CD$到点$O$，连接$AO$。
设桥拱的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OD=(r-4)\mathrm{m}$。
$\because OC⊥ AB$，由垂径定理得$AD=BD=\dfrac{1}{2}AB=8\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得$OD^2+AD^2=OA^2$，代入得：
$(r-4)^2+8^2=r^2$，
解得$r=10$，即圆形桥拱的半径为$10\ \mathrm{m}$。
(2)货船不能直接通过圆形桥拱，至少要增加$10\ \mathrm{t}$货物才能通过，理由如下：
当$EH$是$\odot O$的弦时，设$EH$与$OC$的交点为$M$，连接$OE$,$OH$。
$\because$四边形$EFGH$为矩形，$\therefore EH// FG$。
$\because OC⊥ AB$，$\therefore OM⊥ EH$，由垂径定理得$EM=\dfrac{1}{2}EH=6\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△OEM$中，由勾股定理得$OM=\sqrt{OE^2-EM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8(\mathrm{m})$。
$\because OD=OC-CD=10-4=6(\mathrm{m})$，
$\therefore DM=OM-OD=2\ \mathrm{m}＜2.1\ \mathrm{m}$，因此当前状态下货船不能通过圆形桥拱。
已知货船的载重量每增加$1\ \mathrm{t}$，船身下降$0.01\ \mathrm{m}$，因此需要下降的高度差为$2.1-2=0.1\mathrm{m}$，对应需要增加的货物重量为$(2.1-2)÷0.01=10(\mathrm{t})$。
【答案】
1. 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由见解析；滤纸围成圆锥形的体积是$\dfrac{125\sqrt{3}}{24}π\ \mathrm{cm}^3$。
2. (1)圆形桥拱的半径为$10\ \mathrm{m}$；(2)当前状态货船不能通过，至少要增加$10\ \mathrm{t}$货物才能通过。
【知识点】
圆锥侧面展开图，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是结合生活实际的几何综合实践题，将滤纸折叠、漏斗装配、桥拱通航等生活化场景转化为几何模型求解，既考察了圆锥相关的周长、体积计算，也考察了垂径定理和勾股定理的实际应用，要求学生具备较好的知识迁移能力，能把实际问题抽象为熟悉的数学问题解决，对几何建模能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.45
我们分模块梳理解题思路：
1. 第一问判断滤纸能否紧贴漏斗：首先分析折叠后的滤纸围成的圆锥，它的侧面是原直径10cm的圆形滤纸对折后得到的半圆，直接可得其侧面扇形圆心角为180°；接下来利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长的性质，代入漏斗的底面周长、母线长，通过扇形弧长公式计算漏斗对应的侧面扇形圆心角，若两个圆心角相等，说明侧面完全匹配，滤纸就能紧贴漏斗内壁。
2. 第二问求滤纸圆锥的体积：先通过半圆弧长得到滤纸圆锥的底面周长，算出底面半径，再结合母线长用勾股定理求出圆锥的高，代入圆锥体积公式即可算出结果。
3. 桥拱相关问题：第一小问利用垂径定理，设桥拱半径为r，结合勾股定理列方程求解半径；第二小问先算出对应船宽下桥拱距离水面的最大可通行高度，和船的现有高度对比，得到需要船身下降的高度，再结合每增1t货物船身下降0.01m的条件，换算出需要增加的货物重量即可。
【解析】
1. 解：(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
由题意，折叠后撑开围成圆锥形的滤纸，其侧面是原圆形滤纸的一半，可得围成圆锥形滤纸的扇形圆心角$n_1$的度数为$180°$。
设圆锥形漏斗所对应的扇形圆心角的度数为$n_2°$。
已知漏斗口直径为7cm，因此漏斗底面周长为$7π\ \mathrm{cm}$，漏斗母线长为7cm，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，代入得：
$7π=\dfrac{n_2π×7}{180}$，
解得$n_2=180$，
$\therefore n_1=n_2$，两个圆锥的侧面展开扇形完全一致，因此滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2)过点$C$作$CF⊥ DE$于点$F$，由(1)知滤纸圆锥的母线长$CD=CE=5\ \mathrm{cm}$。
由题意，得圆锥形滤纸的底面周长为$\dfrac{1}{2}×10π=5π(\mathrm{cm})$，
设滤纸圆锥底面直径为$DE$，则$DE·π=5π\ \mathrm{cm}$，解得$DE=5\ \mathrm{cm}$。
$\because CF⊥ DE$，$CD=CE$，由等腰三角形三线合一得$DF=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-(\dfrac{5}{2})^2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}(\mathrm{cm})$，
代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr^2h$：
$V=\dfrac{1}{3}·π·(\dfrac{5}{2})^2×\dfrac{5\sqrt{3}}{2}=\dfrac{125\sqrt{3}}{24}π(\mathrm{cm}^3)$。
2. 解：(1)设桥拱圆心为点$O$，则点$O$在$CD$的延长线上，延长$CD$到点$O$，连接$AO$。
设桥拱的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OD=(r-4)\mathrm{m}$。
$\because OC⊥ AB$，由垂径定理得$AD=BD=\dfrac{1}{2}AB=8\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得$OD^2+AD^2=OA^2$，代入得：
$(r-4)^2+8^2=r^2$，
解得$r=10$，即圆形桥拱的半径为$10\ \mathrm{m}$。
(2)货船不能直接通过圆形桥拱，至少要增加$10\ \mathrm{t}$货物才能通过，理由如下：
当$EH$是$\odot O$的弦时，设$EH$与$OC$的交点为$M$，连接$OE$,$OH$。
$\because$四边形$EFGH$为矩形，$\therefore EH// FG$。
$\because OC⊥ AB$，$\therefore OM⊥ EH$，由垂径定理得$EM=\dfrac{1}{2}EH=6\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△OEM$中，由勾股定理得$OM=\sqrt{OE^2-EM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8(\mathrm{m})$。
$\because OD=OC-CD=10-4=6(\mathrm{m})$，
$\therefore DM=OM-OD=2\ \mathrm{m}＜2.1\ \mathrm{m}$，因此当前状态下货船不能通过圆形桥拱。
已知货船的载重量每增加$1\ \mathrm{t}$，船身下降$0.01\ \mathrm{m}$，因此需要下降的高度差为$2.1-2=0.1\mathrm{m}$，对应需要增加的货物重量为$(2.1-2)÷0.01=10(\mathrm{t})$。
【答案】
1. 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由见解析；滤纸围成圆锥形的体积是$\dfrac{125\sqrt{3}}{24}π\ \mathrm{cm}^3$。
2. (1)圆形桥拱的半径为$10\ \mathrm{m}$；(2)当前状态货船不能通过，至少要增加$10\ \mathrm{t}$货物才能通过。
【知识点】
圆锥侧面展开图，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是结合生活实际的几何综合实践题，将滤纸折叠、漏斗装配、桥拱通航等生活化场景转化为几何模型求解，既考察了圆锥相关的周长、体积计算，也考察了垂径定理和勾股定理的实际应用，要求学生具备较好的知识迁移能力，能把实际问题抽象为熟悉的数学问题解决，对几何建模能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.45
