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9.(2025·连云港月考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一(如图)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是
$\dfrac{80}{π}$
平方尺.(结果用含$π$的式子表示)答案
9. $\dfrac{80}{π}$
解析
【分析】
我们首先明确这个米堆是完整圆锥的四分之一，第一步先利用已知的底部弧长，它是完整圆锥底面圆周长的1/4，通过弧长公式求出圆锥的底面半径r。接下来分析遮挡的墙面：米堆靠在屋内互相垂直的两个墙面上，两个墙面被米堆遮挡的部分都是直角三角形，直角边分别为米堆的高和圆锥底面半径，将两个直角三角形的面积相加就能得到总遮挡面积，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 设该米堆对应的完整圆锥的底面半径为r，已知米堆底部的弧长为8尺，该弧长是完整圆锥底面圆周长的1/4，因此列方程：
$\frac{1}{4} × 2π r = 8$
化简得 $\frac{π r}{2}=8$，解得 $r=\frac{16}{π}$ 尺。
2. 米堆依托墙角两个互相垂直的墙面，两个墙面上被遮挡的区域均为直角三角形，每个直角三角形的两条直角边长度分别为米堆的高h=5尺、圆锥底面半径r。
单个直角三角形的面积为 $S_1=\frac{1}{2} × r × h$，总遮挡面积为两个直角三角形面积之和：
$S=2S_1 = r × h$
3. 代入$r=\frac{16}{π}$，h=5，计算得：
$S=\frac{16}{π} × 5 = \frac{80}{π}$
【答案】
$\dfrac{80}{π}$
【知识点】
弧长公式，圆锥几何特征
【点评】
本题结合《九章算术》的古代数学背景命题，核心考察对1/4圆锥结构的理解，易错点是误将遮挡面积当成圆锥侧面积或者扇形面积，只要明确两个墙面的遮挡区域是两个全等的直角三角形，就能快速完成计算。
【难度系数】
0.5
我们首先明确这个米堆是完整圆锥的四分之一，第一步先利用已知的底部弧长，它是完整圆锥底面圆周长的1/4，通过弧长公式求出圆锥的底面半径r。接下来分析遮挡的墙面：米堆靠在屋内互相垂直的两个墙面上，两个墙面被米堆遮挡的部分都是直角三角形，直角边分别为米堆的高和圆锥底面半径，将两个直角三角形的面积相加就能得到总遮挡面积，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 设该米堆对应的完整圆锥的底面半径为r，已知米堆底部的弧长为8尺，该弧长是完整圆锥底面圆周长的1/4，因此列方程：
$\frac{1}{4} × 2π r = 8$
化简得 $\frac{π r}{2}=8$，解得 $r=\frac{16}{π}$ 尺。
2. 米堆依托墙角两个互相垂直的墙面，两个墙面上被遮挡的区域均为直角三角形，每个直角三角形的两条直角边长度分别为米堆的高h=5尺、圆锥底面半径r。
单个直角三角形的面积为 $S_1=\frac{1}{2} × r × h$，总遮挡面积为两个直角三角形面积之和：
$S=2S_1 = r × h$
3. 代入$r=\frac{16}{π}$，h=5，计算得：
$S=\frac{16}{π} × 5 = \frac{80}{π}$
【答案】
$\dfrac{80}{π}$
【知识点】
弧长公式，圆锥几何特征
【点评】
本题结合《九章算术》的古代数学背景命题，核心考察对1/4圆锥结构的理解，易错点是误将遮挡面积当成圆锥侧面积或者扇形面积，只要明确两个墙面的遮挡区域是两个全等的直角三角形，就能快速完成计算。
【难度系数】
0.5
10.(2025·清江浦区月考)小明假期去我校周边的森林公园郊游,带了一顶大型圆锥形帐篷,它的底面直径是6 m,高是4 m.
(1)按每人的活动面积是$3\ \mathrm{m}^2$计算,该帐篷估计最多可住
(2)该帐篷采用性价比比较高的涤纶布制作,估计至少需要多少平方米的涤纶布?(结果中包含$π$,材料包含底部)
(1)按每人的活动面积是$3\ \mathrm{m}^2$计算,该帐篷估计最多可住
9
人;($π$取3.14估算)(2)该帐篷采用性价比比较高的涤纶布制作,估计至少需要多少平方米的涤纶布?(结果中包含$π$,材料包含底部)
答案
10. (1)9
(2) 解: $\because$ 圆锥高 $h=4\ \mathrm{m}$, 半径 $r=6÷ 2=3(\mathrm{m})$,根据勾股定理, 得母线长 $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5(\mathrm{m})$,$\therefore$ 圆锥形帐篷的侧面积为 $π × 3× 5=15π(\mathrm{m}^{2})$,底面积为 $π × 3^{2}=9π(\mathrm{m}^{2})$,$15π+9π=24π(\mathrm{m}^{2})$.答:至少需要 $24π$ 平方米的涤纶布.
(2) 解: $\because$ 圆锥高 $h=4\ \mathrm{m}$, 半径 $r=6÷ 2=3(\mathrm{m})$,根据勾股定理, 得母线长 $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5(\mathrm{m})$,$\therefore$ 圆锥形帐篷的侧面积为 $π × 3× 5=15π(\mathrm{m}^{2})$,底面积为 $π × 3^{2}=9π(\mathrm{m}^{2})$,$15π+9π=24π(\mathrm{m}^{2})$.答:至少需要 $24π$ 平方米的涤纶布.
解析
【分析】
这道题是结合生活场景的圆锥相关计算问题，我们可以分两小问逐步思考：
1. 第一问要算最多可住的人数，首先明确人的活动区域是圆锥的底面，所以第一步先求出圆锥的底面积，再用底面积除以每人的活动面积3㎡，注意人数必须是正整数，对结果取整数部分即可。
2. 第二问求所需涤纶布的总面积，题目说明材料包含底部，所以总面积是圆锥侧面积加上底面积。首先我们已知圆锥的高和底面直径，先算出底面半径，再利用圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形的关系，通过勾股定理求出母线长，之后代入圆锥侧面积公式和底面积公式，求和就能得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算圆锥底面半径：$r = 6÷2 = 3\ \mathrm{m}$
圆锥底面积：$S_{\mathrm{底}}=π r^2 = 3.14×3^2 = 28.26\ \mathrm{m}^2$
可容纳人数：$28.26÷3 = 9.42$，人数不能为小数，取整数部分得最多可住9人。
(2) 已知圆锥高$h=4\ \mathrm{m}$，底面半径$r=3\ \mathrm{m}$，由勾股定理计算母线长$l$：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{m}$
圆锥侧面积：$S_{\mathrm{侧}}=π r l = π×3×5=15π\ \mathrm{m}^2$
圆锥底面积：$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×3^2=9π\ \mathrm{m}^2$
所需涤纶布总面积：$S_{\mathrm{总}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=15π+9π=24π\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) 至少需要$\boldsymbol{24π}$平方米的涤纶布
【知识点】
圆锥底面积计算，圆锥侧面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于基础的圆锥实际应用题，易错点有两处：一是第一问计算出9.42后不能四舍五入取10，要结合实际场景对人数做去尾处理；二是第二问要注意题目明确说明包含底部，不要遗漏底面积的计算，同时要牢记圆锥母线需要通过勾股定理推导得到，不能直接用高或者底面直径代替母线。
【难度系数】
0.7
这道题是结合生活场景的圆锥相关计算问题，我们可以分两小问逐步思考：
1. 第一问要算最多可住的人数，首先明确人的活动区域是圆锥的底面，所以第一步先求出圆锥的底面积，再用底面积除以每人的活动面积3㎡，注意人数必须是正整数，对结果取整数部分即可。
2. 第二问求所需涤纶布的总面积，题目说明材料包含底部，所以总面积是圆锥侧面积加上底面积。首先我们已知圆锥的高和底面直径，先算出底面半径，再利用圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形的关系，通过勾股定理求出母线长，之后代入圆锥侧面积公式和底面积公式，求和就能得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算圆锥底面半径：$r = 6÷2 = 3\ \mathrm{m}$
圆锥底面积：$S_{\mathrm{底}}=π r^2 = 3.14×3^2 = 28.26\ \mathrm{m}^2$
可容纳人数：$28.26÷3 = 9.42$，人数不能为小数，取整数部分得最多可住9人。
(2) 已知圆锥高$h=4\ \mathrm{m}$，底面半径$r=3\ \mathrm{m}$，由勾股定理计算母线长$l$：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{m}$
圆锥侧面积：$S_{\mathrm{侧}}=π r l = π×3×5=15π\ \mathrm{m}^2$
圆锥底面积：$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×3^2=9π\ \mathrm{m}^2$
所需涤纶布总面积：$S_{\mathrm{总}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=15π+9π=24π\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) 至少需要$\boldsymbol{24π}$平方米的涤纶布
【知识点】
圆锥底面积计算，圆锥侧面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于基础的圆锥实际应用题，易错点有两处：一是第一问计算出9.42后不能四舍五入取10，要结合实际场景对人数做去尾处理；二是第二问要注意题目明确说明包含底部，不要遗漏底面积的计算，同时要牢记圆锥母线需要通过勾股定理推导得到，不能直接用高或者底面直径代替母线。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在半径为$\sqrt{3}$的圆形纸片中,剪出一个圆心角为$60°$的扇形(图中的阴影部分).
(1)求这个扇形的半径;
(2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,求所围成圆锥的底面圆的半径.
第11题图
(1)求这个扇形的半径;
(2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,求所围成圆锥的底面圆的半径.
第11题图
答案
11. 解: (1) 如答图, 连接 $BC$,$OB$,$OC$, 过点 $O$ 作 $OD⊥ BC$,垂足为 $D$.
$\because ∠ BAC=60°$,$OB=OC=\sqrt{3}$,$AB=AC$,
$\therefore ∠ BOC=120°$,$∠ OBC=∠ OCB=30°$,
$△ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore BC=2BD=2× \sqrt{(\sqrt{3})^{2}-(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=3$,$AB=BC=AC$,$\therefore$ 这个扇形的半径为 3.
(2) 设圆锥底面圆的半径为 $r$,
根据题意, 得 $\dfrac{60× π × 3}{180}=2π r$, 解得 $r=\dfrac{1}{2}$.
故所围成圆锥的底面圆的半径为 $\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
我们先梳理解题思路：第(1)问要求阴影扇形的半径，也就是线段AB的长度，已知扇形的顶点A、端点B、C都在半径为√3的大圆O上，扇形圆心角∠BAC=60°。我们可以先连接OB、OC，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到∠BOC的度数，再结合等腰△OBC的边长OB=OC=√3，计算出弦BC的长度。又因为AB=AC，且顶角∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，AB=BC，即可得到扇形的半径。第(2)问，用扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长恰好等于圆锥底面圆的周长，我们先通过弧长公式算出扇形的弧长，再建立弧长和底面圆周长的等量关系，就能解出底面圆的半径。
【解析】
(1) 连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D。
∵ ∠BAC=60°，OB=OC=√3，AB=AC，
∴ 由圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，△ABC是等边三角形。
在Rt△BOD中，BD=√(OB²-OD²)=√[(√3)²-(√3/2)²]=3/2，
∴ BC=2BD=3，又AB=BC，因此这个扇形的半径为3。
(2) 设圆锥底面圆的半径为r，
根据扇形弧长公式，该阴影扇形的弧长为$\frac{60×π×3}{180}$，
由圆锥侧面展开的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，因此可得等式：
$\frac{60× π × 3}{180}=2π r$，
解得$r=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 这个扇形的半径为3；(2) 所围成圆锥的底面圆的半径为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
圆周角定理，弧长计算公式，圆锥侧面展开性质
【点评】
本题是圆与圆锥结合的常规基础题型，第一问的易错点是直接把大圆半径当成扇形半径，需要学生理清扇形顶点和大圆的位置关系，通过圆周角定理和弦长计算间接推导扇形半径；第二问核心考察圆锥侧面展开图的弧长与底面周长的等量关系，是中考几何小题的高频考点，整体逻辑清晰，只要掌握对应公式就可以顺利求解。
【难度系数】
0.6
我们先梳理解题思路：第(1)问要求阴影扇形的半径，也就是线段AB的长度，已知扇形的顶点A、端点B、C都在半径为√3的大圆O上，扇形圆心角∠BAC=60°。我们可以先连接OB、OC，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到∠BOC的度数，再结合等腰△OBC的边长OB=OC=√3，计算出弦BC的长度。又因为AB=AC，且顶角∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，AB=BC，即可得到扇形的半径。第(2)问，用扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长恰好等于圆锥底面圆的周长，我们先通过弧长公式算出扇形的弧长，再建立弧长和底面圆周长的等量关系，就能解出底面圆的半径。
【解析】
(1) 连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D。
∵ ∠BAC=60°，OB=OC=√3，AB=AC，
∴ 由圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，△ABC是等边三角形。
在Rt△BOD中，BD=√(OB²-OD²)=√[(√3)²-(√3/2)²]=3/2，
∴ BC=2BD=3，又AB=BC，因此这个扇形的半径为3。
(2) 设圆锥底面圆的半径为r，
根据扇形弧长公式，该阴影扇形的弧长为$\frac{60×π×3}{180}$，
由圆锥侧面展开的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，因此可得等式：
$\frac{60× π × 3}{180}=2π r$，
解得$r=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 这个扇形的半径为3；(2) 所围成圆锥的底面圆的半径为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
圆周角定理，弧长计算公式，圆锥侧面展开性质
【点评】
本题是圆与圆锥结合的常规基础题型，第一问的易错点是直接把大圆半径当成扇形半径，需要学生理清扇形顶点和大圆的位置关系，通过圆周角定理和弦长计算间接推导扇形半径；第二问核心考察圆锥侧面展开图的弧长与底面周长的等量关系，是中考几何小题的高频考点，整体逻辑清晰，只要掌握对应公式就可以顺利求解。
【难度系数】
0.6
12. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥,它的底面圆直径 $ED$ 与母线 $AD$ 的长度之比为 $1:2$. 制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料,其中 $AB=AC,AD⊥ BC$. 将扇形 $AEF$ 围成圆锥时,$AE,AF$ 恰好重合.
(1)求这种加工材料的顶角$∠ BAC$的度数;
(2)若圆锥底面圆的直径 $ED$ 为 5 cm,求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积.(结果保留 $π$)
(1)求这种加工材料的顶角$∠ BAC$的度数;
(2)若圆锥底面圆的直径 $ED$ 为 5 cm,求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积.(结果保留 $π$)
答案
12. 解: (1) 设 $∠ BAC=n°$.
由题意, 得 $π · DE=\dfrac{nπ · AD}{180}$,$AD=2DE$,
解得 $n=90$,$\therefore ∠ BAC=90°$.
(2) $\because AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$AD⊥ BC$,
$\therefore DB=DC=AD$,
$\therefore BC=2AD$.
$\because AD=2DE=10\ \mathrm{cm}$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=\dfrac{1}{2}BC· AD-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\dfrac{1}{2}× 20× 10-\dfrac{90π × 10^{2}}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^{2}$.
由题意, 得 $π · DE=\dfrac{nπ · AD}{180}$,$AD=2DE$,
解得 $n=90$,$\therefore ∠ BAC=90°$.
(2) $\because AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$AD⊥ BC$,
$\therefore DB=DC=AD$,
$\therefore BC=2AD$.
$\because AD=2DE=10\ \mathrm{cm}$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=\dfrac{1}{2}BC· AD-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\dfrac{1}{2}× 20× 10-\dfrac{90π × 10^{2}}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^{2}$.
解析
【分析】
我们分两小问逐步梳理解题思路：
1. 第一问求顶角∠BAC：首先明确圆锥侧面展开图的核心等量关系——圆锥底面圆的周长等于对应侧面扇形的弧长。题目已知底面直径ED和母线AD的比为1:2，即AD=2ED，我们设顶角为n°，分别表示出扇形AEF的弧长和底面圆的周长，列等式代入AD=2ED的条件，就能解出n的数值，得到∠BAC的度数。
2. 第二问求阴影部分面积：阴影部分是大等腰三角形ABC减去扇形AEF的剩余部分，因此先计算△ABC的面积，再减去扇形AEF的面积即可。已知ED=5cm，先算出母线AD=2ED=10cm，结合第一问得到的∠BAC=90°，以及AD⊥BC、AB=AC的条件，推出△ABC是等腰直角三角形，得到BC=2AD，算出三角形面积，再用扇形面积公式算出圆心角90°、半径为AD的扇形面积，两者作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 设∠BAC = n°。
根据圆锥侧面展开的性质，圆锥底面圆的周长等于扇形AEF的弧长，可得：
底面圆周长为$C = π · ED$，扇形AEF的弧长为$l = \frac{nπ · AD}{180}$，
因此列等式：$π · ED = \frac{nπ · AD}{180}$。
由题意已知$AD = 2ED$，将其代入上式，两边同时约去非零项$π · ED$，得：
$1 = \frac{2n}{180}$，解得$n=90$，即$∠ BAC = 90°$。
(2) 已知$ED=5\ \mathrm{cm}$，由$AD=2ED$，得$AD=10\ \mathrm{cm}$。
因为$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，根据等腰直角三角形三线合一的性质，可得D是BC中点，且$BD=DC=AD=10\ \mathrm{cm}$，因此$BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$。
计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AD = \frac{1}{2} × 20 × 10 = 100\ \mathrm{cm}^2$。
计算扇形AEF的面积：$S_{\mathrm{扇形}AEF} = \frac{90π · AD^2}{360} = \frac{90π × 10^2}{360} = 25π\ \mathrm{cm}^2$。
因此阴影部分面积：$S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ABC} - S_{\mathrm{扇形}AEF} = (100 - 25π)\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $∠ BAC=90°$；(2) 阴影部分面积为$(100-25π)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥侧面展开图，扇形弧长计算，扇形面积计算
【点评】
本题结合冰淇淋外包装的生活场景命题，核心考察立体图形到平面展开图的转化思维，解题关键是抓住“圆锥底面周长等于侧面扇形弧长”的核心等量关系，同时结合等腰直角三角形的性质完成面积计算，题型常规难度适中，能有效巩固学生对圆锥相关知识点的掌握。
【难度系数】
0.65
我们分两小问逐步梳理解题思路：
1. 第一问求顶角∠BAC：首先明确圆锥侧面展开图的核心等量关系——圆锥底面圆的周长等于对应侧面扇形的弧长。题目已知底面直径ED和母线AD的比为1:2，即AD=2ED，我们设顶角为n°，分别表示出扇形AEF的弧长和底面圆的周长，列等式代入AD=2ED的条件，就能解出n的数值，得到∠BAC的度数。
2. 第二问求阴影部分面积：阴影部分是大等腰三角形ABC减去扇形AEF的剩余部分，因此先计算△ABC的面积，再减去扇形AEF的面积即可。已知ED=5cm，先算出母线AD=2ED=10cm，结合第一问得到的∠BAC=90°，以及AD⊥BC、AB=AC的条件，推出△ABC是等腰直角三角形，得到BC=2AD，算出三角形面积，再用扇形面积公式算出圆心角90°、半径为AD的扇形面积，两者作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 设∠BAC = n°。
根据圆锥侧面展开的性质，圆锥底面圆的周长等于扇形AEF的弧长，可得：
底面圆周长为$C = π · ED$，扇形AEF的弧长为$l = \frac{nπ · AD}{180}$，
因此列等式：$π · ED = \frac{nπ · AD}{180}$。
由题意已知$AD = 2ED$，将其代入上式，两边同时约去非零项$π · ED$，得：
$1 = \frac{2n}{180}$，解得$n=90$，即$∠ BAC = 90°$。
(2) 已知$ED=5\ \mathrm{cm}$，由$AD=2ED$，得$AD=10\ \mathrm{cm}$。
因为$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，根据等腰直角三角形三线合一的性质，可得D是BC中点，且$BD=DC=AD=10\ \mathrm{cm}$，因此$BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$。
计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AD = \frac{1}{2} × 20 × 10 = 100\ \mathrm{cm}^2$。
计算扇形AEF的面积：$S_{\mathrm{扇形}AEF} = \frac{90π · AD^2}{360} = \frac{90π × 10^2}{360} = 25π\ \mathrm{cm}^2$。
因此阴影部分面积：$S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ABC} - S_{\mathrm{扇形}AEF} = (100 - 25π)\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $∠ BAC=90°$；(2) 阴影部分面积为$(100-25π)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥侧面展开图，扇形弧长计算，扇形面积计算
【点评】
本题结合冰淇淋外包装的生活场景命题，核心考察立体图形到平面展开图的转化思维，解题关键是抓住“圆锥底面周长等于侧面扇形弧长”的核心等量关系，同时结合等腰直角三角形的性质完成面积计算，题型常规难度适中，能有效巩固学生对圆锥相关知识点的掌握。
【难度系数】
0.65
