12. 中考新考法 操作探究 [问题情境]小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图(1)，利用此图，可以验证勾股定理吗？
[初步运用](1)如图(1)，若$b=2a$，则小正方形面积$:$大正方形面积$=$。
(2)现将图(1)中上方的两直角三角形向内折叠，如图(2)，若$a=4$，$b=6$，则此时空白部分的面积为。
[迁移运用]用三张含$60°$角的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图(3)的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含$60°$角的三角形三边$a$，$b$，$c$之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程。(知识补充：如图(4)，含$60°$角的直角三角形的对边长$y:$斜边长$x=$定值$k$)

精题详解

[初步运用](1)$5:9$ (2)$28$
[迁移运用]结论:$a^2 + b^2 - ab = c^2$. 理由如下:
由题意,得大正三角形的面积$=3$个全等三角形的面积$+$小正三角形的面积,$\therefore \frac{1}{2}(a + b)·k(a + b) = 3×\frac{1}{2}b·ka + \frac{1}{2}c·ck$,$\therefore (a + b)^2 = 3ab + c^2$,$\therefore a^2 + b^2 - ab = c^2$.

13. 中考新考法 类比探究 (2025·南通海门区期末)在$△ ABC$中,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,且$c≥ b≥ a$.
(1)当$△ ABC$是锐角三角形时,小明猜想:$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.以下是他的证明过程:
如图(1),过点$A$作$AD⊥ CB$,垂足为$D$.
设$CD=x$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AD^{2}=b^{2}-x^{2}$,
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$AD^{2}=$①,
$\therefore b^{2}-x^{2}=$①.
化简,得$a^{2}+b^{2}-c^{2}=2ax$.
$\because a＞0,x＞0,\therefore$②$＞0$,
$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}＞0$,
$\therefore a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.
其中,①是,②是.
(2)如图(2),当$△ ABC$是钝角三角形时,猜想$a^{2}+b^{2}$与$c^{2}$之间的关系并证明.

(1)$c^2-(a-x)^2$ $2ax$
(2)$a^2 + b^2 ＜ c^2$. 证明如下:

如图,过点 $A$ 作 $AD⊥BC$ 的延长线,垂足为 $D$.
设 $CD = x$. $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ADC$ 中,$AD^2 = b^2 - x^2$,
在 $\mathrm{Rt}△ADB$ 中,$AD^2 = c^2 - (a + x)^2$,
$\therefore b^2 - x^2 = c^2 - (a + x)^2$,
化简,得 $a^2 + b^2 - c^2 = -2ax$.
$\because a ＞ 0$,$x ＞ 0$,$\therefore -2ax ＜ 0$,
$\therefore a^2 + b^2 - c^2 ＜ 0$,$\therefore a^2 + b^2 ＜ c^2$.