1. (2024·自贡中考) 如图,在平面直角坐标系中,点$D(4,-2)$,将$\mathrm{Rt}△ OCD$绕点$O$逆时针旋转$90°$到$△ OAB$位置,则点$B$坐标为().


A.$(2,4)$
B.$(4,2)$
C.$(-4,-2)$
D.$(-2,4)$

1.A [解析]
∵D(4,-2),
∴OC=4,CD=2.将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置，则有OA=OC=4,AB=CD=2,
∴B(2,4).故选A.

变式 1.1 (2024·吉林中考)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为$(-4,0)$,点 C 的坐标为$(0,2)$.以 OA,OC 为边作长方形 OABC,若将长方形OABC 绕点 O 顺时针旋转$90^{\circ }$,得到长方形$OA'B'C'$,则点$B'$的坐标为().

A.$(-4,-2)$
B.$(-4,2)$
C.$(2,4)$
D.$(4,2)$

变式1.1 C [解析]根据题意得到OA=4,OC=2,根据长方形的性质得到BC=OA=4.由旋转得到OC'=OC=2,B'C'=BC=4,于是得到点B'的坐标为(2,4).故选C.

2. (2024·常州期末改编)如图,在$△ ABC$中,点$A$的坐标为$(0,1)$,点$B$的坐标为$(0,4)$,点$C$的坐标为$(4,3)$,点$D$在第二象限,且$△ ABD$与$△ ABC$关于$y$轴对称,点$D$的坐标是.

2. (-4,3) [解析]
∵△ABD和△ABC关于y轴对称，
∴点D的坐标是(-4,3).

变式 2.1 在平面直角坐标系中, $O$ 为原点, 点$A(0,2),B(-2,0),C(4,0).$

(1) 如图(1),则三角形 $ABC$ 的面积为;
(2) 如图(2),将点 $B$ 向右平移 7 个单位长度,再向上平移 4 个单位长度,得到对应点 $D$,则$△ ACD$的面积为.

变式2.1 (1)6 [解析]
∵O为原点,点A(0,2),B(-2,0),C(4,0),
∴OA=2,OB=2,OC=4,
∴BC=OB+OC=6,
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· OA=\frac{1}{2}×6×2=6$.
(2)9 [解析]
∵将点B向右平移7个单位长度,再向上平移4个单位长度,B(-2,0),
∴得到点D坐标为(5,4).
如图,连接OD,过点D作DE⊥y轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F.

∵D(5,4),
∴DE=5,DF=4,
∴$S_{△ ACD}=S_{△ OAD}+S_{△ OCD}-S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}OA· DE+\frac{1}{2}OC· DF-\frac{1}{2}OA· OC$
$=\frac{1}{2}×2×5+\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×2×4=9$.

变式2.2 在平面直角坐标系中，三角形$ABC$的三个顶点的坐标分别是$A(2,-1),B(-1,-3)$，$C(-1,2)$.将三角形$ABC$平移至三角形$OB_1C_1$的位置，点$A,B,C$的对应点分别是点$O,B_1,C_1$，点$O$为原点.
(1)若点$P(2m+4,-2)$在$BC$上边，则$m=$；
(2)点$B_1,C_1$的坐标分别为，；
(3)求点$C_1$与点$B_1$之间的距离；
(4)试求三角形$ABC$的面积.

变式2.2 (1)$-\frac{5}{2}$ (2)$(-3,-2)$ $(-3,3)$
(3)点$C_1$与点$B_1$之间的距离为$3-(-2)=5$.
(4)三角形$ABC$的面积为$\frac{1}{2}×5×(2+1)=\frac{15}{2}$.
→以BC为底边求△ABC的面积