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1.某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，用户居民每月应交水费y(单位：元)是用水量x(单位：吨)的函数，其图象如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)自来水公司的收费标准是什么？
(3)若某户居民交水费28元，该月用水多少吨？
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)自来水公司的收费标准是什么？
(3)若某户居民交水费28元，该月用水多少吨？
答案
1.解:(1)当0≤x≤5时,设y=ax,把(5,12)代入y=ax,得5a=12,
∴a=2.4,
∴y=2.4x;当x＞5时,设y=kx+b,把(5,12),(8,21.6)代入,得$\begin{cases}5k+b=12,\\8k+b=21.6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3.2,\\b=-4,\end{cases}$
∴y=3.2x-4,
∴y关于x的函数解析式为$y=\begin{cases}2.4x(0≤ x≤5),\\3.2x-4(x＞5);\end{cases}$
(2)由(1)解析式得出:当x≤5时,自来水公司的收费标准是每吨2.4元.当x＞5时,自来水公司的收费标准是每吨3.2元;
(3)令y=28,得3.2x-4=28,解得x=10,则该月用水10吨.
∴a=2.4,
∴y=2.4x;当x＞5时,设y=kx+b,把(5,12),(8,21.6)代入,得$\begin{cases}5k+b=12,\\8k+b=21.6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3.2,\\b=-4,\end{cases}$
∴y=3.2x-4,
∴y关于x的函数解析式为$y=\begin{cases}2.4x(0≤ x≤5),\\3.2x-4(x＞5);\end{cases}$
(2)由(1)解析式得出:当x≤5时,自来水公司的收费标准是每吨2.4元.当x＞5时,自来水公司的收费标准是每吨3.2元;
(3)令y=28,得3.2x-4=28,解得x=10,则该月用水10吨.
解析
【分析】
本题是分段一次函数的实际应用问题，解题思路如下：1. 求函数解析式：观察图像可知函数分为两段，①当$0≤ x≤5$时，函数是过原点的正比例函数，设解析式为$y=ax$，代入已知点$(5,12)$即可求出系数$a$；②当$x＞5$时，函数是普通一次函数，设解析式为$y=kx+b$，代入已知的两个点$(5,12)$和$(8,21.6)$，解二元一次方程组求出$k$和$b$即可得到分段解析式。2. 求收费标准：两段函数中$x$的系数就是对应区间每吨水的价格，结合解析式的实际意义回答即可。3. 已知水费求用水量：首先判断28元对应的用水量区间，5吨水费仅12元，28＞12，因此属于$x＞5$的区间，代入对应解析式解方程即可求出用水量。
【解析】
(1) 分两种情况求解析式：
① 当$0≤ x≤5$时，设函数解析式为$y=ax$，将点$(5,12)$代入得：
$5a=12$，解得$a=2.4$，因此此时解析式为$y=2.4x$；
② 当$x＞5$时，设函数解析式为$y=kx+b$，将点$(5,12)$、$(8,21.6)$分别代入得方程组：
$\begin{cases}5k+b=12\\8k+b=21.6\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$3k=9.6$，解得$k=3.2$，将$k=3.2$代入$5k+b=12$得：$16+b=12$，解得$b=-4$，因此此时解析式为$y=3.2x-4$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\begin{cases}2.4x&(0≤ x≤5)\\3.2x-4&(x＞5)\end{cases}$。
(2) 根据分段解析式的实际意义可得：
当用水量不超过5吨时，每吨水收费2.4元；当用水量超过5吨时，超出部分每吨水收费3.2元。
(3) 首先判断水费28元对应的区间：当$x=5$时，水费为12元，$28＞12$，因此用水量超过5吨，代入$y=3.2x-4$得：
$3.2x-4=28$
移项得：$3.2x=32$
解得：$x=10$
【答案】
(1) $y=\begin{cases}2.4x&(0≤ x≤5)\\3.2x-4&(x＞5)\end{cases}$
(2) 每月用水量不超过5吨时，每吨收费2.4元；超过5吨时，超过部分每吨收费3.2元。
(3) 10吨
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，分段函数，一次函数的实际应用
【点评】
本题以生活中的阶梯水费问题为背景，考查分段一次函数的应用，解题的关键是正确识别图像的分段区间，结合待定系数法求出对应区间的函数解析式，在求解实际问题时，要先判断数值所属的区间，再代入对应解析式计算，避免混淆分段条件导致错误。
【难度系数】
0.7
本题是分段一次函数的实际应用问题，解题思路如下：1. 求函数解析式：观察图像可知函数分为两段，①当$0≤ x≤5$时，函数是过原点的正比例函数，设解析式为$y=ax$，代入已知点$(5,12)$即可求出系数$a$；②当$x＞5$时，函数是普通一次函数，设解析式为$y=kx+b$，代入已知的两个点$(5,12)$和$(8,21.6)$，解二元一次方程组求出$k$和$b$即可得到分段解析式。2. 求收费标准：两段函数中$x$的系数就是对应区间每吨水的价格，结合解析式的实际意义回答即可。3. 已知水费求用水量：首先判断28元对应的用水量区间，5吨水费仅12元，28＞12，因此属于$x＞5$的区间，代入对应解析式解方程即可求出用水量。
【解析】
(1) 分两种情况求解析式：
① 当$0≤ x≤5$时，设函数解析式为$y=ax$，将点$(5,12)$代入得：
$5a=12$，解得$a=2.4$，因此此时解析式为$y=2.4x$；
② 当$x＞5$时，设函数解析式为$y=kx+b$，将点$(5,12)$、$(8,21.6)$分别代入得方程组：
$\begin{cases}5k+b=12\\8k+b=21.6\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$3k=9.6$，解得$k=3.2$，将$k=3.2$代入$5k+b=12$得：$16+b=12$，解得$b=-4$，因此此时解析式为$y=3.2x-4$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\begin{cases}2.4x&(0≤ x≤5)\\3.2x-4&(x＞5)\end{cases}$。
(2) 根据分段解析式的实际意义可得：
当用水量不超过5吨时，每吨水收费2.4元；当用水量超过5吨时，超出部分每吨水收费3.2元。
(3) 首先判断水费28元对应的区间：当$x=5$时，水费为12元，$28＞12$，因此用水量超过5吨，代入$y=3.2x-4$得：
$3.2x-4=28$
移项得：$3.2x=32$
解得：$x=10$
【答案】
(1) $y=\begin{cases}2.4x&(0≤ x≤5)\\3.2x-4&(x＞5)\end{cases}$
(2) 每月用水量不超过5吨时，每吨收费2.4元；超过5吨时，超过部分每吨收费3.2元。
(3) 10吨
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，分段函数，一次函数的实际应用
【点评】
本题以生活中的阶梯水费问题为背景，考查分段一次函数的应用，解题的关键是正确识别图像的分段区间，结合待定系数法求出对应区间的函数解析式，在求解实际问题时，要先判断数值所属的区间，再代入对应解析式计算，避免混淆分段条件导致错误。
【难度系数】
0.7
2.随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升.某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50 000元购买甲型健身器材的数量和用56 000元购买乙型健身器材的数量相同.
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元.
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元.
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
答案
2.解:(1)设甲型健身器材的单价为x元,则乙型健身器材的单价为(x+300)元,$\frac{50\ 000}{x}=\frac{56\ 000}{x+300},x=$2 500,经检验,x=2 500是原方程的根.此时x+300=2 800.答:甲型健身器材的价格为2 500元,乙型健身器材的价格为2 800元;
(2)设甲型健身器材购买了a台,则a≤3(20-a),即a≤15,且a为正整数,设采购费用为w元,则w=2 800(20-a)+2 500a=-300a+56 000,由k=-300＜0,得w随a的增大而减小,故当a=15时,w取得最小值,且最小值为w=-300×15+56 000=51 500(元),故购买甲型健身器材15台,购买乙型健身器材5台时,费用最低,最低费用是51 500元.
(2)设甲型健身器材购买了a台,则a≤3(20-a),即a≤15,且a为正整数,设采购费用为w元,则w=2 800(20-a)+2 500a=-300a+56 000,由k=-300＜0,得w随a的增大而减小,故当a=15时,w取得最小值,且最小值为w=-300×15+56 000=51 500(元),故购买甲型健身器材15台,购买乙型健身器材5台时,费用最低,最低费用是51 500元.
解析
【分析】
(1)第一问属于分式方程应用问题，解题核心是找到等量关系：用50000元购买甲型器材的数量=用56000元购买乙型器材的数量。已知甲型单价比乙型低300元，可设甲型单价为x元，乙型单价为(x+300)元，结合“数量=总价÷单价”列分式方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性。
(2)第二问属于一次函数最值应用问题，首先根据“甲型购买数量不超过乙型的3倍”列不等式，求出甲型购买数量的取值范围；再设总采购费用为w元，结合两种器材的单价列出w关于甲型购买数量的一次函数表达式，根据一次函数的增减性即可确定费用最少时的采购方案。
【解析】
(1)设甲型健身器材的单价为x元，则乙型健身器材的单价为(x+300)元，根据题意列方程：
$\frac{50000}{x}=\frac{56000}{x+300}$
交叉相乘得：$50000(x+300)=56000x$
化简得：$50x+15000=56x$
解得：$x=2500$
经检验，$x=2500$是原分式方程的根，且符合实际意义。
此时乙型单价为$x+300=2500+300=2800$（元）。
(2)设购买甲型健身器材a台，则购买乙型健身器材$(20-a)$台，根据题意得：
$a≤3(20-a)$
解得：$a≤15$，其中a为正整数。
设总采购费用为w元，则：
$w=2500a + 2800(20-a)$
化简得：$w=-300a + 56000$
∵$k=-300＜0$，
∴w随a的增大而减小，
∴当a取最大值15时，w取得最小值，
最小值为$w=-300×15 + 56000=51500$（元）。
【答案】
(1)甲型健身器材单价为2500元，乙型健身器材单价为2800元；
(2)购买甲型健身器材15台时采购费用最少，最少采购费用是51500元。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数最值应用
【点评】
本题是贴合生活实际的综合应用题，综合考查了分式方程、一元一次不等式和一次函数的核心知识点，侧重考查学生从题干提取有效关系、结合数学知识解决实际问题的能力，是初中数学常见的应用类题型。
【难度系数】
0.7
(1)第一问属于分式方程应用问题，解题核心是找到等量关系：用50000元购买甲型器材的数量=用56000元购买乙型器材的数量。已知甲型单价比乙型低300元，可设甲型单价为x元，乙型单价为(x+300)元，结合“数量=总价÷单价”列分式方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性。
(2)第二问属于一次函数最值应用问题，首先根据“甲型购买数量不超过乙型的3倍”列不等式，求出甲型购买数量的取值范围；再设总采购费用为w元，结合两种器材的单价列出w关于甲型购买数量的一次函数表达式，根据一次函数的增减性即可确定费用最少时的采购方案。
【解析】
(1)设甲型健身器材的单价为x元，则乙型健身器材的单价为(x+300)元，根据题意列方程：
$\frac{50000}{x}=\frac{56000}{x+300}$
交叉相乘得：$50000(x+300)=56000x$
化简得：$50x+15000=56x$
解得：$x=2500$
经检验，$x=2500$是原分式方程的根，且符合实际意义。
此时乙型单价为$x+300=2500+300=2800$（元）。
(2)设购买甲型健身器材a台，则购买乙型健身器材$(20-a)$台，根据题意得：
$a≤3(20-a)$
解得：$a≤15$，其中a为正整数。
设总采购费用为w元，则：
$w=2500a + 2800(20-a)$
化简得：$w=-300a + 56000$
∵$k=-300＜0$，
∴w随a的增大而减小，
∴当a取最大值15时，w取得最小值，
最小值为$w=-300×15 + 56000=51500$（元）。
【答案】
(1)甲型健身器材单价为2500元，乙型健身器材单价为2800元；
(2)购买甲型健身器材15台时采购费用最少，最少采购费用是51500元。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数最值应用
【点评】
本题是贴合生活实际的综合应用题，综合考查了分式方程、一元一次不等式和一次函数的核心知识点，侧重考查学生从题干提取有效关系、结合数学知识解决实际问题的能力，是初中数学常见的应用类题型。
【难度系数】
0.7
