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13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则ED的长是
（第13题）
$\sqrt{5}$
。（第13题）答案
13.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
要求ED的长度，首先利用同圆半径相等的性质，连接辅助线AD，得到AD=AB，可先从网格中得到AB、AE的长度。观察图形可知△AED是直角三角形，直角顶点为E，因此可借助勾股定理，已知斜边AD和直角边AE的长度，即可求出另一条直角边ED的长度。
【解析】
解：连接AD，
∵AD、AB都是以A为圆心的圆的半径，
∴AD = AB。
由网格中每个小正方形边长为1可得：AB=3，AE=2，且∠E=90°，
在Rt△AED中，根据勾股定理：
$AE^2 + ED^2 = AD^2$，
代入数值得：$2^2 + ED^2 = 3^2$，
即$4 + ED^2 = 9$，
解得$ED^2 = 5$，
∵ED为线段长度，大于0，
∴$ED = \sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
圆的半径相等；勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质和勾股定理的综合应用，解题的关键是正确作出辅助线AD，构造直角三角形，结合网格的边长特征计算求解，难度不大，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要求ED的长度，首先利用同圆半径相等的性质，连接辅助线AD，得到AD=AB，可先从网格中得到AB、AE的长度。观察图形可知△AED是直角三角形，直角顶点为E，因此可借助勾股定理，已知斜边AD和直角边AE的长度，即可求出另一条直角边ED的长度。
【解析】
解：连接AD，
∵AD、AB都是以A为圆心的圆的半径，
∴AD = AB。
由网格中每个小正方形边长为1可得：AB=3，AE=2，且∠E=90°，
在Rt△AED中，根据勾股定理：
$AE^2 + ED^2 = AD^2$，
代入数值得：$2^2 + ED^2 = 3^2$，
即$4 + ED^2 = 9$，
解得$ED^2 = 5$，
∵ED为线段长度，大于0，
∴$ED = \sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
圆的半径相等；勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质和勾股定理的综合应用，解题的关键是正确作出辅助线AD，构造直角三角形，结合网格的边长特征计算求解，难度不大，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
在正方形ABCD中，点E在直线BC上，$CE=\sqrt{2}AD$，连接AE，则$∠ EAD=$
112.5或22.5
度。答案
14.112.5或22.5
解析
【分析】
解题时首先注意条件“点E在直线BC上”，直线可以向两端无限延伸，因此E有两种位置：①在BC的延长线上（远离B的一侧）；②在CB的延长线上（远离C的一侧），需分类讨论。其次利用正方形的性质可知对角线长度是边长的√2倍，结合CE=√2AD可得CE等于正方形对角线AC的长度，即△ACE为等腰三角形，再结合正方形内角、对角线平分内角的性质，分别计算两种情况下的∠EAD即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长为a，则AD=AB=BC=a，由勾股定理得正方形对角线AC=√(AB²+BC²)=√2 a，因此CE=√2 AD=√2 a=AC。
情况1：点E在BC的延长线上
∵AC是正方形的对角线，平分∠BCD和∠BAD，
∴∠ACB=45°，则∠ACE=180°-∠ACB=135°。
在△ACE中，AC=CE，△ACE为等腰三角形，根据三角形内角和为180°，得：
∠CAE=∠CEA=(180°-∠ACE)÷2=(180°-135°)÷2=22.5°
又
∵∠CAD=45°（AC平分直角∠BAD），
∴∠EAD=∠CAD - ∠CAE=45°-22.5°=22.5°。
情况2：点E在CB的延长线上
此时∠ACE=∠ACB=45°，在等腰△ACE中，AC=CE，因此：
∠CAE=∠CEA=(180°-∠ACE)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°
∠BAE=∠CAE - ∠BAC=67.5°-45°=22.5°
因此∠EAD=∠BAD + ∠BAE=90°+22.5°=112.5°。
综上，∠EAD的度数为22.5°或112.5°。
【答案】
22.5或112.5
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“直线BC”的两种延伸方向，仅考虑E在线段BC延长线上的情况导致漏解。解题时要注意区分“直线”和“线段”的范围，结合几何图形的性质分情况计算即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先注意条件“点E在直线BC上”，直线可以向两端无限延伸，因此E有两种位置：①在BC的延长线上（远离B的一侧）；②在CB的延长线上（远离C的一侧），需分类讨论。其次利用正方形的性质可知对角线长度是边长的√2倍，结合CE=√2AD可得CE等于正方形对角线AC的长度，即△ACE为等腰三角形，再结合正方形内角、对角线平分内角的性质，分别计算两种情况下的∠EAD即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长为a，则AD=AB=BC=a，由勾股定理得正方形对角线AC=√(AB²+BC²)=√2 a，因此CE=√2 AD=√2 a=AC。
情况1：点E在BC的延长线上
∵AC是正方形的对角线，平分∠BCD和∠BAD，
∴∠ACB=45°，则∠ACE=180°-∠ACB=135°。
在△ACE中，AC=CE，△ACE为等腰三角形，根据三角形内角和为180°，得：
∠CAE=∠CEA=(180°-∠ACE)÷2=(180°-135°)÷2=22.5°
又
∵∠CAD=45°（AC平分直角∠BAD），
∴∠EAD=∠CAD - ∠CAE=45°-22.5°=22.5°。
情况2：点E在CB的延长线上
此时∠ACE=∠ACB=45°，在等腰△ACE中，AC=CE，因此：
∠CAE=∠CEA=(180°-∠ACE)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°
∠BAE=∠CAE - ∠BAC=67.5°-45°=22.5°
因此∠EAD=∠BAD + ∠BAE=90°+22.5°=112.5°。
综上，∠EAD的度数为22.5°或112.5°。
【答案】
22.5或112.5
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“直线BC”的两种延伸方向，仅考虑E在线段BC延长线上的情况导致漏解。解题时要注意区分“直线”和“线段”的范围，结合几何图形的性质分情况计算即可。
【难度系数】
0.6
15.如图,将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使得点B落在CD上的点Q处,折痕为AP;再将△PCQ,△ADQ分别沿PQ,AQ折叠,此时点C,D落在AP上的同一点R处.当四边形APCD是平行四边形时,$\frac{AB}{QR}$的值是
$\sqrt{3}$
.答案
15.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题要先结合折叠的性质梳理对应边、对应角的相等关系，再结合平行四边形的性质推导角度和线段关系：首先由折叠推出∠AQP为直角，且∠DAQ=∠QAP=∠PAB、R是AP中点；再利用平行线的性质求出∠QAP=30°，最后通过直角三角形的性质和勾股定理建立AB、QR与AP的数量关系，即可求出比值。
【解析】
解：根据折叠的性质可得：
1. 第一次折叠：$AB=AQ$，$∠ B=∠ AQP$，$∠ BAP=∠ QAP$；
2. 后两次折叠：$∠ DQA=∠ AQR$，$∠ CQP=∠ PQR$，$AD=AR$，$PC=PR$，$∠ D=∠ ARQ$，$∠ C=∠ PRQ$。
∵ $∠ ARQ+∠ PRQ=180°$，
∴ $∠ D+∠ C=180°$，与平行四边形邻角互补的性质一致。
∵ 四边形$APCD$是平行四边形，
∴ $AD=PC$，$AD// PC$。
结合$AD=AR$，$PC=PR$，可得$AR=PR$，即$R$是$AP$的中点。
∵ $∠ DQA+∠ AQR+∠ RQP+∠ PQC=180°$，
∴ $2(∠ AQR+∠ RQP)=180°$，即$∠ AQP=90°$，$△ AQP$是直角三角形。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$QR=\frac{1}{2}AP$，即$AP=2QR$。
∵ $AD// PC$（即$AD// BC$），
∴ $∠ DAB+∠ B=180°$，
又
∵ $∠ B=∠ AQP=90°$，
∴ $∠ DAB=90°$。
由折叠可知$∠ DAQ=∠ QAP=∠ BAP$，因此$∠ QAP=\frac{1}{3}∠ DAB=30°$。
在$Rt△ AQP$中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，因此$PQ=\frac{1}{2}AP$。
由勾股定理得：$AQ^2+PQ^2=AP^2$，代入$PQ=\frac{1}{2}AP$，
得$AQ^2+(\frac{1}{2}AP)^2=AP^2$，解得$AQ=\frac{\sqrt{3}}{2}AP$。
∵ $AB=AQ$，$AP=2QR$，代入得$AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×2QR=\sqrt{3}QR$，
∴ $\frac{AB}{QR}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
折叠的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是几何变换综合题，核心是利用折叠前后图形全等的性质找到相等的边和角，再结合平行四边形和直角三角形的性质推导特殊角度与线段关系，需要学生具备较强的图形分析能力，梳理清楚各角、各边的关联即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
解题要先结合折叠的性质梳理对应边、对应角的相等关系，再结合平行四边形的性质推导角度和线段关系：首先由折叠推出∠AQP为直角，且∠DAQ=∠QAP=∠PAB、R是AP中点；再利用平行线的性质求出∠QAP=30°，最后通过直角三角形的性质和勾股定理建立AB、QR与AP的数量关系，即可求出比值。
【解析】
解：根据折叠的性质可得：
1. 第一次折叠：$AB=AQ$，$∠ B=∠ AQP$，$∠ BAP=∠ QAP$；
2. 后两次折叠：$∠ DQA=∠ AQR$，$∠ CQP=∠ PQR$，$AD=AR$，$PC=PR$，$∠ D=∠ ARQ$，$∠ C=∠ PRQ$。
∵ $∠ ARQ+∠ PRQ=180°$，
∴ $∠ D+∠ C=180°$，与平行四边形邻角互补的性质一致。
∵ 四边形$APCD$是平行四边形，
∴ $AD=PC$，$AD// PC$。
结合$AD=AR$，$PC=PR$，可得$AR=PR$，即$R$是$AP$的中点。
∵ $∠ DQA+∠ AQR+∠ RQP+∠ PQC=180°$，
∴ $2(∠ AQR+∠ RQP)=180°$，即$∠ AQP=90°$，$△ AQP$是直角三角形。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$QR=\frac{1}{2}AP$，即$AP=2QR$。
∵ $AD// PC$（即$AD// BC$），
∴ $∠ DAB+∠ B=180°$，
又
∵ $∠ B=∠ AQP=90°$，
∴ $∠ DAB=90°$。
由折叠可知$∠ DAQ=∠ QAP=∠ BAP$，因此$∠ QAP=\frac{1}{3}∠ DAB=30°$。
在$Rt△ AQP$中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，因此$PQ=\frac{1}{2}AP$。
由勾股定理得：$AQ^2+PQ^2=AP^2$，代入$PQ=\frac{1}{2}AP$，
得$AQ^2+(\frac{1}{2}AP)^2=AP^2$，解得$AQ=\frac{\sqrt{3}}{2}AP$。
∵ $AB=AQ$，$AP=2QR$，代入得$AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×2QR=\sqrt{3}QR$，
∴ $\frac{AB}{QR}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
折叠的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是几何变换综合题，核心是利用折叠前后图形全等的性质找到相等的边和角，再结合平行四边形和直角三角形的性质推导特殊角度与线段关系，需要学生具备较强的图形分析能力，梳理清楚各角、各边的关联即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
16.如图，P是正方形ABCD内一点，$PA=2\sqrt{3}$，$PB=\sqrt{2}$，$∠ APB=135°$，则PC的长是
4
。答案
16.4
解析
【分析】
解决正方形内一点的线段求值问题，可利用正方形四边相等的特点，通过旋转将分散的已知线段、角度条件整合到同一个三角形中。本题可将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与BC重合，得到△CBP'，先构造等腰直角△PBP'求出PP'的长度，再证明△PP'C是直角三角形，最后用勾股定理求出PC的长度。
【解析】
将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与BC重合，得到△CBP'，连接PP'。
由旋转的性质可知：
$BP=BP'=\sqrt{2}$，$P'C=PA=2\sqrt{3}$，$∠ PBP'=90°$，$∠ BP'C=∠ APB=135°$。
∵$△ PBP'$中，$BP=BP'$，$∠ PBP'=90°$，
∴$△ PBP'$是等腰直角三角形，
∴$∠ BP'P=45°$，$PP'=\sqrt{BP^2+BP'^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2$。
∵$∠ PP'C=∠ BP'C-∠ BP'P=135°-45°=90°$，
∴$△ PP'C$是直角三角形。
在$Rt△ PP'C$中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{PP'^2+P'C^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
4
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形中线段求值的典型题型，旋转法是解决这类问题的常用技巧，通过旋转可以快速将分散的条件集中，构造特殊三角形求解，解题时要注意旋转前后对应边、对应角相等的性质应用。
【难度系数】
0.6
解决正方形内一点的线段求值问题，可利用正方形四边相等的特点，通过旋转将分散的已知线段、角度条件整合到同一个三角形中。本题可将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与BC重合，得到△CBP'，先构造等腰直角△PBP'求出PP'的长度，再证明△PP'C是直角三角形，最后用勾股定理求出PC的长度。
【解析】
将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与BC重合，得到△CBP'，连接PP'。
由旋转的性质可知：
$BP=BP'=\sqrt{2}$，$P'C=PA=2\sqrt{3}$，$∠ PBP'=90°$，$∠ BP'C=∠ APB=135°$。
∵$△ PBP'$中，$BP=BP'$，$∠ PBP'=90°$，
∴$△ PBP'$是等腰直角三角形，
∴$∠ BP'P=45°$，$PP'=\sqrt{BP^2+BP'^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2$。
∵$∠ PP'C=∠ BP'C-∠ BP'P=135°-45°=90°$，
∴$△ PP'C$是直角三角形。
在$Rt△ PP'C$中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{PP'^2+P'C^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
4
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形中线段求值的典型题型，旋转法是解决这类问题的常用技巧，通过旋转可以快速将分散的条件集中，构造特殊三角形求解，解题时要注意旋转前后对应边、对应角相等的性质应用。
【难度系数】
0.6
三、解答题
17. 解不等式：$\frac{2x - 1}{3} ≤ \frac{3x + 2}{4} - 1$，并把解集表示在数轴上。
17. 解不等式：$\frac{2x - 1}{3} ≤ \frac{3x + 2}{4} - 1$，并把解集表示在数轴上。
答案
17.解：$\frac{2x - 1}{3} ≤ \frac{3x + 2}{4} - 1$.
两边同时乘12,得4(2x-1)≤3(3x+2)-12.
整理,得$x≥2$.
∴不等式的解集为$x≥2$,解集在数轴上的表示如图所示.
解析
【分析】
本题是一元一次不等式求解类题目，解题思路遵循一元一次不等式的标准步骤：首先去分母，找到分母3和4的最小公倍数12，不等式两边同时乘12，注意右侧的常数项-1也要乘12，避免漏乘；接下来按去括号法则展开括号，再移项合并同类项，最后系数化为1，此处系数为负，需要注意不等号方向改变。得到解集后，数轴表示时要注意“≥”对应实心圆点，方向向右即可。
【解析】
解：$\frac{2x - 1}{3} ≤ \frac{3x + 2}{4} - 1$
1. 去分母：两边同时乘12（正数，不等号方向不变），得
$4(2x-1)≤3(3x+2)-12$
2. 去括号：
$8x - 4 ≤ 9x + 6 - 12$
3. 整理右侧常数项：
$8x - 4 ≤ 9x - 6$
4. 移项（移项要变号）：
$-4 + 6 ≤ 9x - 8x$
5. 合并同类项得：
$x ≥ 2$
解集在数轴上表示为：在2的位置画实心圆点，向右作射线即可。
【答案】
不等式的解集为$x≥2$，解集在数轴上的表示如图所示.
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的性质，解集的数轴表示
【点评】
本题是基础题型，重点考查解一元一次不等式的基本操作，需要注意去分母不要漏乘常数项，系数化为1时若系数为负要改变不等号方向，数轴表示解集时注意区分实心点和空心点的使用场景。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次不等式求解类题目，解题思路遵循一元一次不等式的标准步骤：首先去分母，找到分母3和4的最小公倍数12，不等式两边同时乘12，注意右侧的常数项-1也要乘12，避免漏乘；接下来按去括号法则展开括号，再移项合并同类项，最后系数化为1，此处系数为负，需要注意不等号方向改变。得到解集后，数轴表示时要注意“≥”对应实心圆点，方向向右即可。
【解析】
解：$\frac{2x - 1}{3} ≤ \frac{3x + 2}{4} - 1$
1. 去分母：两边同时乘12（正数，不等号方向不变），得
$4(2x-1)≤3(3x+2)-12$
2. 去括号：
$8x - 4 ≤ 9x + 6 - 12$
3. 整理右侧常数项：
$8x - 4 ≤ 9x - 6$
4. 移项（移项要变号）：
$-4 + 6 ≤ 9x - 8x$
5. 合并同类项得：
$x ≥ 2$
解集在数轴上表示为：在2的位置画实心圆点，向右作射线即可。
【答案】
不等式的解集为$x≥2$，解集在数轴上的表示如图所示.
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的性质，解集的数轴表示
【点评】
本题是基础题型，重点考查解一元一次不等式的基本操作，需要注意去分母不要漏乘常数项，系数化为1时若系数为负要改变不等号方向，数轴表示解集时注意区分实心点和空心点的使用场景。
【难度系数】
0.8
18.解不等式组：$\begin{cases}2x＜5, \\3(x+2)≥ x+4,\end{cases}$ 并在数轴上表示解集.
答案
18.解:$\begin{cases}2x＜5,①\\3(x+2)≥x+4,②\end{cases}$ 解不等式①,得$x＜\frac{5}{2}$.解不等式②,得$x≥-1$.
所以不等式组的解集为$-1≤x＜\frac{5}{2}$.
解集在数轴上表示如下：
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是“先分解，再求共”：首先分别求出两个一元一次不等式的解集，解不等式的步骤和一元一次方程类似，注意不等号方向的变化规则；再找两个解集的公共部分，可结合数轴或解集口诀判断；最后按照数轴表示规则（包含端点用实心点，不包含用空心圈，大于向右、小于向左）画出解集即可。
【解析】
将不等式组的两个式子分别标注为①、②：
$\begin{cases}2x＜5,①\\3(x+2)≥ x+4,②\end{cases}$
1. 解不等式①：
两边同时除以2，不等号方向不变，可得 $x＜\frac{5}{2}$。
2. 解不等式②：
先去括号，得 $3x+6≥x+4$；
移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧，得 $3x-x≥4-6$；
合并同类项，得 $2x≥-2$；
两边同时除以2，不等号方向不变，得 $x≥-1$。
3. 确定公共解集：
两个解集的公共部分为同时满足$x≥-1$和$x＜\frac{5}{2}$的范围，即$-1≤x＜\frac{5}{2}$。
4. 数轴表示：
在数轴上-1的位置画实心圆点，向右延伸；在$\frac{5}{2}$的位置画空心圆圈，向左延伸，重叠部分即为解集。
【答案】
解:$\begin{cases}2x＜5,①\\3(x+2)≥x+4,②\end{cases}$ 解不等式①,得$x＜\frac{5}{2}$.解不等式②,得$x≥-1$.
所以不等式组的解集为$-1≤x＜\frac{5}{2}$.
解集在数轴上表示如下：
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 数轴表示解集
【点评】
本题属于不等式章节的基础常规题，重点考查解一元一次不等式的基本运算能力，以及确定不等式组公共解集、用数轴表示解集的技能，是后续利用不等式组解决实际问题的基础。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是“先分解，再求共”：首先分别求出两个一元一次不等式的解集，解不等式的步骤和一元一次方程类似，注意不等号方向的变化规则；再找两个解集的公共部分，可结合数轴或解集口诀判断；最后按照数轴表示规则（包含端点用实心点，不包含用空心圈，大于向右、小于向左）画出解集即可。
【解析】
将不等式组的两个式子分别标注为①、②：
$\begin{cases}2x＜5,①\\3(x+2)≥ x+4,②\end{cases}$
1. 解不等式①：
两边同时除以2，不等号方向不变，可得 $x＜\frac{5}{2}$。
2. 解不等式②：
先去括号，得 $3x+6≥x+4$；
移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧，得 $3x-x≥4-6$；
合并同类项，得 $2x≥-2$；
两边同时除以2，不等号方向不变，得 $x≥-1$。
3. 确定公共解集：
两个解集的公共部分为同时满足$x≥-1$和$x＜\frac{5}{2}$的范围，即$-1≤x＜\frac{5}{2}$。
4. 数轴表示：
在数轴上-1的位置画实心圆点，向右延伸；在$\frac{5}{2}$的位置画空心圆圈，向左延伸，重叠部分即为解集。
【答案】
解:$\begin{cases}2x＜5,①\\3(x+2)≥x+4,②\end{cases}$ 解不等式①,得$x＜\frac{5}{2}$.解不等式②,得$x≥-1$.
所以不等式组的解集为$-1≤x＜\frac{5}{2}$.
解集在数轴上表示如下：
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 数轴表示解集
【点评】
本题属于不等式章节的基础常规题，重点考查解一元一次不等式的基本运算能力，以及确定不等式组公共解集、用数轴表示解集的技能，是后续利用不等式组解决实际问题的基础。
【难度系数】
0.8
19. 如图,在四边形ABCD中,已知∠B=90°,AB=BC=2,AD=1,CD=3.
(1)求∠DAB的度数;
(2)求四边形ABCD的面积.
(1)求∠DAB的度数;
(2)求四边形ABCD的面积.
答案
19.解:(1)连接AC，
∵∠B=90°,AB=BC=2，
∴$AC=2\sqrt{2},∠BAC=45°$,
∵AD=1,CD=3，
∴$AD^2+AC^2=1^2+(2\sqrt{2})^2=9,CD^2=9$,
∴$AD^2+AC^2=CD^2$,
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC=90°,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°.
(2)在Rt△ABC中,$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·BC·AB=\frac{1}{2}×2×2=2$,在Rt△ADC中,$S_{△ADC}=\frac{1}{2}·AD·AC=\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}=2+\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1)求解∠DAB的度数时，由于四边形是不规则图形，已知∠B为直角，AB、BC长度已知，因此优先通过连接AC将四边形分割为两个三角形。首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，同时得到∠BAC=45°；再在△ADC中，结合已知的AD、CD长度，用勾股定理的逆定理判断△ADC为直角三角形，得到∠DAC=90°，将两个角相加即可得到∠DAB的度数。
(2)求解四边形ABCD的面积时，已经将四边形分割为两个直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积，求和即可得到四边形的总面积。
【解析】
(1) 连接AC，
∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°，
∵AD=1，CD=3，
∴$AD^2+AC^2=1^2+(2\sqrt{2})^2=9$，$CD^2=3^2=9$，
∴$AD^2+AC^2=CD^2$，
由勾股定理的逆定理可得△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+45°=135°。
(2) 分别计算两个三角形的面积：
在Rt△ABC中，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AB·BC=\frac{1}{2}×2×2=2$，
在Rt△ADC中，$S_{△ADC}=\frac{1}{2}·AD·AC=\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}=2+\sqrt{2}$。
【答案】
19.解:(1)连接AC，
∵∠B=90°,AB=BC=2，
∴$AC=2\sqrt{2},∠BAC=45°$,
∵AD=1,CD=3，
∴$AD^2+AC^2=1^2+(2\sqrt{2})^2=9,CD^2=9$,
∴$AD^2+AC^2=CD^2$,
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC=90°,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°.
(2)在Rt△ABC中,$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·BC·AB=\frac{1}{2}×2×2=2$,在Rt△ADC中,$S_{△ADC}=\frac{1}{2}·AD·AC=\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}=2+\sqrt{2}$.
【知识点】
勾股定理；勾股定理逆定理；割补法求面积
【点评】
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，体现了转化思想在几何计算中的作用，将不规则四边形通过作辅助线转化为可计算的直角三角形是解题的核心思路，属于几何计算的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
(1)求解∠DAB的度数时，由于四边形是不规则图形，已知∠B为直角，AB、BC长度已知，因此优先通过连接AC将四边形分割为两个三角形。首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，同时得到∠BAC=45°；再在△ADC中，结合已知的AD、CD长度，用勾股定理的逆定理判断△ADC为直角三角形，得到∠DAC=90°，将两个角相加即可得到∠DAB的度数。
(2)求解四边形ABCD的面积时，已经将四边形分割为两个直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积，求和即可得到四边形的总面积。
【解析】
(1) 连接AC，
∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°，
∵AD=1，CD=3，
∴$AD^2+AC^2=1^2+(2\sqrt{2})^2=9$，$CD^2=3^2=9$，
∴$AD^2+AC^2=CD^2$，
由勾股定理的逆定理可得△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+45°=135°。
(2) 分别计算两个三角形的面积：
在Rt△ABC中，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AB·BC=\frac{1}{2}×2×2=2$，
在Rt△ADC中，$S_{△ADC}=\frac{1}{2}·AD·AC=\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}=2+\sqrt{2}$。
【答案】
19.解:(1)连接AC，
∵∠B=90°,AB=BC=2，
∴$AC=2\sqrt{2},∠BAC=45°$,
∵AD=1,CD=3，
∴$AD^2+AC^2=1^2+(2\sqrt{2})^2=9,CD^2=9$,
∴$AD^2+AC^2=CD^2$,
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC=90°,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°.
(2)在Rt△ABC中,$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·BC·AB=\frac{1}{2}×2×2=2$,在Rt△ADC中,$S_{△ADC}=\frac{1}{2}·AD·AC=\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}=2+\sqrt{2}$.
【知识点】
勾股定理；勾股定理逆定理；割补法求面积
【点评】
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，体现了转化思想在几何计算中的作用，将不规则四边形通过作辅助线转化为可计算的直角三角形是解题的核心思路，属于几何计算的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
