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一、选择题
1. 方程组$\begin{cases}3x + 2y = 7, \\4x - y = 13\end{cases}$的解是 （ ）
A.$\begin{cases}x = -1, \\y = 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 3, \\y = -1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = -3, \\y = -1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = -1, \\y = -3\end{cases}$
1. 方程组$\begin{cases}3x + 2y = 7, \\4x - y = 13\end{cases}$的解是 （ ）
A.$\begin{cases}x = -1, \\y = 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 3, \\y = -1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = -3, \\y = -1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = -1, \\y = -3\end{cases}$
答案
1.B
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组求解的基础选择题，可根据方程特点选择简便的解题方法：观察到第二个方程中y的系数为-1，绝对值较小，适合用代入消元法求解，步骤为：先将第二个方程变形，用含x的代数式表示y；再将其代入第一个方程消去y，得到关于x的一元一次方程并求解x；最后将x的值代回求出y即可。也可直接将选项代入两个方程验证，同时满足两个方程的即为正确解。
【解析】
先给方程组标号：$\begin{cases}3x + 2y = 7&① \\4x - y = 13&②\end{cases}$
方法一：代入消元法
由②移项可得：$y = 4x - 13$ ③
把③代入①得：$3x + 2(4x - 13) = 7$
展开计算：$3x + 8x - 26 = 7$
合并同类项：$11x = 33$
解得：$x = 3$
把$x=3$代入③得：$y = 4×3 - 13 = -1$
因此方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\y = -1\end{cases}$
方法二：代入验证法
将各选项依次代入两个方程验证：
A选项：代入①得$3×(-1)+2×3=3≠7$，不符合，排除；
B选项：代入①得$3×3+2×(-1)=7$，成立；代入②得$4×3-(-1)=13$，成立，符合要求；
C选项：代入①得$3×(-3)+2×(-1)=-11≠7$，不符合，排除；
D选项：代入①得$3×(-1)+2×(-3)=-9≠7$，不符合，排除。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法；代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础考察题型，核心考查消元思想的应用，选择系数简单的未知数进行消元可简化计算，选择题也可通过代入验证的方法快速得到答案。
【难度系数】
0.9
这是一道二元一次方程组求解的基础选择题，可根据方程特点选择简便的解题方法：观察到第二个方程中y的系数为-1，绝对值较小，适合用代入消元法求解，步骤为：先将第二个方程变形，用含x的代数式表示y；再将其代入第一个方程消去y，得到关于x的一元一次方程并求解x；最后将x的值代回求出y即可。也可直接将选项代入两个方程验证，同时满足两个方程的即为正确解。
【解析】
先给方程组标号：$\begin{cases}3x + 2y = 7&① \\4x - y = 13&②\end{cases}$
方法一：代入消元法
由②移项可得：$y = 4x - 13$ ③
把③代入①得：$3x + 2(4x - 13) = 7$
展开计算：$3x + 8x - 26 = 7$
合并同类项：$11x = 33$
解得：$x = 3$
把$x=3$代入③得：$y = 4×3 - 13 = -1$
因此方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\y = -1\end{cases}$
方法二：代入验证法
将各选项依次代入两个方程验证：
A选项：代入①得$3×(-1)+2×3=3≠7$，不符合，排除；
B选项：代入①得$3×3+2×(-1)=7$，成立；代入②得$4×3-(-1)=13$，成立，符合要求；
C选项：代入①得$3×(-3)+2×(-1)=-11≠7$，不符合，排除；
D选项：代入①得$3×(-1)+2×(-3)=-9≠7$，不符合，排除。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法；代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础考察题型，核心考查消元思想的应用，选择系数简单的未知数进行消元可简化计算，选择题也可通过代入验证的方法快速得到答案。
【难度系数】
0.9
2. 下列不是二元一次方程组的是（
A.$\begin{cases} x+y=4, \\ 2x-y=4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4x+3y=6, \\ 2x+y=4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x + 5y = 25, \\ x + 10y = 25 \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} x+y=4, \\ 2x-y=4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4x+3y=6, \\ 2x+y=4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x + 5y = 25, \\ x + 10y = 25 \end{cases}$
答案
2.C
解析
【分析】
要判断哪个选项不是二元一次方程组，首先需要明确二元一次方程组的三个判定标准：①方程组中总共含有2个不同的未知数；②每个方程都是整式方程（即分母中不含未知数）；③每个方程中含未知数的项的次数都是1。解题时只需将每个选项对照这三个标准逐一核对，不符合要求的即为答案。
【解析】
首先明确二元一次方程组的定义：共含有2个未知数，每个方程都是整式方程，且含未知数的项的次数都是1的方程组叫做二元一次方程组。
对各选项逐一判断：
A选项：方程组含x、y两个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项的次数都是1，属于二元一次方程组，不符合题意；
B选项：方程组含x、y两个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项的次数都是1，属于二元一次方程组，不符合题意；
C选项：第一个方程中$\dfrac{1}{x}$的分母含未知数x，不是整式方程，不符合二元一次方程组的要求，符合题意；
D选项：方程组含x、y两个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项的次数都是1，属于二元一次方程组，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对二元一次方程组判定条件的掌握，易错点是容易忽略“整式方程”的要求，仅从未知数的个数和次数判断，解题时要注意分母含未知数的方程不属于整式方程，自然不满足二元一次方程组的定义。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项不是二元一次方程组，首先需要明确二元一次方程组的三个判定标准：①方程组中总共含有2个不同的未知数；②每个方程都是整式方程（即分母中不含未知数）；③每个方程中含未知数的项的次数都是1。解题时只需将每个选项对照这三个标准逐一核对，不符合要求的即为答案。
【解析】
首先明确二元一次方程组的定义：共含有2个未知数，每个方程都是整式方程，且含未知数的项的次数都是1的方程组叫做二元一次方程组。
对各选项逐一判断：
A选项：方程组含x、y两个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项的次数都是1，属于二元一次方程组，不符合题意；
B选项：方程组含x、y两个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项的次数都是1，属于二元一次方程组，不符合题意；
C选项：第一个方程中$\dfrac{1}{x}$的分母含未知数x，不是整式方程，不符合二元一次方程组的要求，符合题意；
D选项：方程组含x、y两个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项的次数都是1，属于二元一次方程组，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对二元一次方程组判定条件的掌握，易错点是容易忽略“整式方程”的要求，仅从未知数的个数和次数判断，解题时要注意分母含未知数的方程不属于整式方程，自然不满足二元一次方程组的定义。
【难度系数】
0.8
3.若方程$mx -2y=3x+4$是关于$x,y$的二元一次方程,则$m$的取值范围是 (
A.$m≠0$
B.$m≠3$
C.$m≠-3$
D.$m≠2$
B
)A.$m≠0$
B.$m≠3$
C.$m≠-3$
D.$m≠2$
答案
3.B
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先需明确二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。解题时先把原方程整理为含x、y的标准形式，合并x的同类项后，要保证方程同时含有x和y两个未知数，那么x的系数不能为0（若系数为0，方程就只剩y一个未知数，不符合二元一次方程的要求），据此列不等式求解即可。
【解析】
先对原方程移项、合并同类项：
将含x的项移到等号左侧，得 $mx - 3x - 2y = 4$
合并同类项，得 $(m-3)x - 2y = 4$
因为该方程是关于x、y的二元一次方程，所以x的系数不能为0，即：
$m - 3 ≠ 0$
解得 $m ≠ 3$
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】
二元一次方程的定义；合并同类项；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是掌握二元一次方程的判定条件，易错点是未先整理方程直接判断系数导致出错，熟练掌握相关概念即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
要确定m的取值范围，首先需明确二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。解题时先把原方程整理为含x、y的标准形式，合并x的同类项后，要保证方程同时含有x和y两个未知数，那么x的系数不能为0（若系数为0，方程就只剩y一个未知数，不符合二元一次方程的要求），据此列不等式求解即可。
【解析】
先对原方程移项、合并同类项：
将含x的项移到等号左侧，得 $mx - 3x - 2y = 4$
合并同类项，得 $(m-3)x - 2y = 4$
因为该方程是关于x、y的二元一次方程，所以x的系数不能为0，即：
$m - 3 ≠ 0$
解得 $m ≠ 3$
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】
二元一次方程的定义；合并同类项；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是掌握二元一次方程的判定条件，易错点是未先整理方程直接判断系数导致出错，熟练掌握相关概念即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
4. 已知$x,y$满足方程组$\begin{cases}x+m=4, \\ y-5=m,\end{cases}$则无论$m$取何值，$x,y$恒有关系式（ ）
A.$x+y=1$
B.$x+y=-1$
C.$x+y=9$
D.$x+y=-9$
A.$x+y=1$
B.$x+y=-1$
C.$x+y=9$
D.$x+y=-9$
答案
4.C
解析
【分析】
我们的目标是得到不含参数m的x与y的关系式，核心思路是消去两个方程中的m。可以通过代入消元法：先从一个方程中用含x的式子表示m，再代入另一个方程消去m；也可以用加减消元法，直接将两个方程变形后相加消去m，最终整理得到x和y的关系式即可。
【解析】
方法1：代入消元法
由方程$x+m=4$，移项得$m=4-x$。
将$m=4-x$代入方程$y-5=m$，可得：
$y-5=4-x$
移项整理得：$x+y=4+5$，即$x+y=9$。
方法2：加减消元法
记$\begin{cases}x+m=4&①\\ y-5=m&②\end{cases}$
将②移项得$y - m =5$ ③
①+③得：$x+m + y - m =4+5$
化简后得$x+y=9$。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质，消元法解方程组
【点评】
本题重点考查消元思想的应用，解题关键是消除无关参数m，得到x、y的直接关系，熟练掌握等式的基本性质和简单的消元方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
我们的目标是得到不含参数m的x与y的关系式，核心思路是消去两个方程中的m。可以通过代入消元法：先从一个方程中用含x的式子表示m，再代入另一个方程消去m；也可以用加减消元法，直接将两个方程变形后相加消去m，最终整理得到x和y的关系式即可。
【解析】
方法1：代入消元法
由方程$x+m=4$，移项得$m=4-x$。
将$m=4-x$代入方程$y-5=m$，可得：
$y-5=4-x$
移项整理得：$x+y=4+5$，即$x+y=9$。
方法2：加减消元法
记$\begin{cases}x+m=4&①\\ y-5=m&②\end{cases}$
将②移项得$y - m =5$ ③
①+③得：$x+m + y - m =4+5$
化简后得$x+y=9$。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质，消元法解方程组
【点评】
本题重点考查消元思想的应用，解题关键是消除无关参数m，得到x、y的直接关系，熟练掌握等式的基本性质和简单的消元方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5.一个两位数的十位数字与个位数字之和是7,如果把这个两位数加上45,那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数,那么这个两位数是 （
A.16
B.25
C.52
D.61
A
）A.16
B.25
C.52
D.61
答案
5.A
解析
【分析】
这是典型的数位类应用题，解题有两种思路：①方程法：先明确两位数的表示规则（两位数=十位数字×10+个位数字），设十位数字为未知数，根据两数之和为7表示出个位数字，再结合“原数+45=对调后新数”的等量关系列方程求解；②代入排除法：直接将选项代入题干的两个条件验证，快速排除错误选项。
【解析】
方法一（方程法）：
设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$7-x$。
原两位数可表示为：$10x + (7-x) = 9x +7$
个位和十位对调后的新两位数可表示为：$10(7-x) + x = 70 - 9x$
根据题意列方程：
$9x + 7 + 45 = 70 - 9x$
移项合并同类项得：$18x = 18$
解得：$x=1$
则个位数字为$7-1=6$，所以这个两位数是16。
方法二（代入验证法）：
依次验证各选项：
A.16：十位加个位$1+6=7$，$16+45=61$，正好是个位十位对调后的数，符合所有条件；
B.25：$25+45=70≠52$，不符合；
C.52：$52+45=97≠25$，不符合；
D.61：$61+45=106≠16$，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 两位数的表示方法
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题核心是掌握数位的意义，不同数位上的数字代表的实际数值不同，掌握两位数的正确表示是解题的关键，既可以用方程法按步骤求解，也可以用代入排除法快速得到答案，解题方法灵活。
【难度系数】
0.8
这是典型的数位类应用题，解题有两种思路：①方程法：先明确两位数的表示规则（两位数=十位数字×10+个位数字），设十位数字为未知数，根据两数之和为7表示出个位数字，再结合“原数+45=对调后新数”的等量关系列方程求解；②代入排除法：直接将选项代入题干的两个条件验证，快速排除错误选项。
【解析】
方法一（方程法）：
设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$7-x$。
原两位数可表示为：$10x + (7-x) = 9x +7$
个位和十位对调后的新两位数可表示为：$10(7-x) + x = 70 - 9x$
根据题意列方程：
$9x + 7 + 45 = 70 - 9x$
移项合并同类项得：$18x = 18$
解得：$x=1$
则个位数字为$7-1=6$，所以这个两位数是16。
方法二（代入验证法）：
依次验证各选项：
A.16：十位加个位$1+6=7$，$16+45=61$，正好是个位十位对调后的数，符合所有条件；
B.25：$25+45=70≠52$，不符合；
C.52：$52+45=97≠25$，不符合；
D.61：$61+45=106≠16$，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 两位数的表示方法
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题核心是掌握数位的意义，不同数位上的数字代表的实际数值不同，掌握两位数的正确表示是解题的关键，既可以用方程法按步骤求解，也可以用代入排除法快速得到答案，解题方法灵活。
【难度系数】
0.8
6. 关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 2a, \\ x - y = 4a\end{cases}$的解是二元一次方程$3x -5y -28=0$的一个解，则$a$等于（ ）
A.3
B.2
C.7
D.6
A.3
B.2
C.7
D.6
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先我们需要先求出给定二元一次方程组的解，用含参数a的式子表示x和y；再根据“方程组的解是二元一次方程3x-5y-28=0的一个解”，把表示x、y的式子代入这个方程，就能得到只含a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
第一步：解二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 2a&① \\ x - y = 4a&②\end{cases}$
将①+②，得：$2x=6a$，解得$x=3a$。
把$x=3a$代入①，得：$3a + y = 2a$，解得$y=-a$。
第二步：把$x=3a$，$y=-a$代入方程$3x-5y-28=0$，得：
$3×3a -5×(-a) -28=0$
计算得：$9a +5a =28$
合并同类项得：$14a=28$
解得：$a=2$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法；二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是含参数的二元一次方程组的常规考法，解题关键是先以参数为已知数求解方程组，再将解代入第三个方程转化为一元一次方程求解，主要考察学生的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先我们需要先求出给定二元一次方程组的解，用含参数a的式子表示x和y；再根据“方程组的解是二元一次方程3x-5y-28=0的一个解”，把表示x、y的式子代入这个方程，就能得到只含a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
第一步：解二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 2a&① \\ x - y = 4a&②\end{cases}$
将①+②，得：$2x=6a$，解得$x=3a$。
把$x=3a$代入①，得：$3a + y = 2a$，解得$y=-a$。
第二步：把$x=3a$，$y=-a$代入方程$3x-5y-28=0$，得：
$3×3a -5×(-a) -28=0$
计算得：$9a +5a =28$
合并同类项得：$14a=28$
解得：$a=2$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法；二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是含参数的二元一次方程组的常规考法，解题关键是先以参数为已知数求解方程组，再将解代入第三个方程转化为一元一次方程求解，主要考察学生的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
7.端午节时,王老师用72元钱买了荷包和五彩绳,荷包的个数和五彩绳的条数和为20,其中荷包每个4元,五彩绳每条3元,设王老师买了荷包$x$个,五彩绳$y$条,根据题意,下面列出的方程组正确的是 (
A.$\begin{cases} x + y = 20, \\ 3x + 4y = 72 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 20, \\ 4x + 3y = 72 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 72, \\ 4x + 3y = 20 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 72, \\ 3x + 4y = 20 \end{cases}$
B
)A.$\begin{cases} x + y = 20, \\ 3x + 4y = 72 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 20, \\ 4x + 3y = 72 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 72, \\ 4x + 3y = 20 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 72, \\ 3x + 4y = 20 \end{cases}$
答案
7.B
解析
【分析】
解这道题的核心是先从题干中提取两个关键等量关系，再对应列方程：第一步，先找数量关系：已知荷包个数和五彩绳条数之和为20，所以第一个方程为x+y=20，据此可直接排除第一个方程为x+y=72的C、D选项；第二步，找总费用关系：总花费72元=荷包总费用+五彩绳总费用，根据“总价=单价×数量”，荷包每个4元，x个荷包总价为4x，五彩绳每条3元，y条五彩绳总价为3y，因此第二个方程为4x+3y=72，据此排除A选项即可得出正确答案。
【解析】
根据题意可得两个等量关系：
1. 荷包的个数 + 五彩绳的条数 = 20，即：$\boldsymbol{x + y = 20}$
2. 购买荷包的总费用 + 购买五彩绳的总费用 = 72元，其中荷包总费用为$4x$元，五彩绳总费用为$3y$元，即：$\boldsymbol{4x + 3y = 72}$
联立可得方程组$\begin{cases} x + y = 20, \\ 4x + 3y = 72 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组的实际应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题型，解题关键是准确提取题干中的数量和、总费用两个等量关系，分别列方程联立即可，是方程类应用题的常考基础题。
【难度系数】
0.9
解这道题的核心是先从题干中提取两个关键等量关系，再对应列方程：第一步，先找数量关系：已知荷包个数和五彩绳条数之和为20，所以第一个方程为x+y=20，据此可直接排除第一个方程为x+y=72的C、D选项；第二步，找总费用关系：总花费72元=荷包总费用+五彩绳总费用，根据“总价=单价×数量”，荷包每个4元，x个荷包总价为4x，五彩绳每条3元，y条五彩绳总价为3y，因此第二个方程为4x+3y=72，据此排除A选项即可得出正确答案。
【解析】
根据题意可得两个等量关系：
1. 荷包的个数 + 五彩绳的条数 = 20，即：$\boldsymbol{x + y = 20}$
2. 购买荷包的总费用 + 购买五彩绳的总费用 = 72元，其中荷包总费用为$4x$元，五彩绳总费用为$3y$元，即：$\boldsymbol{4x + 3y = 72}$
联立可得方程组$\begin{cases} x + y = 20, \\ 4x + 3y = 72 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组的实际应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题型，解题关键是准确提取题干中的数量和、总费用两个等量关系，分别列方程联立即可，是方程类应用题的常考基础题。
【难度系数】
0.9
