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8. 如图,数轴上表示数$1,\sqrt{2}$的点分别为$A,B,A$是$BC$的中点,则点$C$表示的数是(
A.$\sqrt{2}-1$
B.$1-\sqrt{2}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}-2$
C
).A.$\sqrt{2}-1$
B.$1-\sqrt{2}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}-2$
答案
8. C 【点拨】本题考查实数与数轴.
【解析】
∵ 表示数$1,\sqrt{2}$的点分别为$A,B$,
∴ $AB=\sqrt{2}-1$.
∵ A是BC的中点,
∴ $AC=AB=\sqrt{2}-1$,
∴ 点C表示的数是$1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$.故选C.
【解析】
∵ 表示数$1,\sqrt{2}$的点分别为$A,B$,
∴ $AB=\sqrt{2}-1$.
∵ A是BC的中点,
∴ $AC=AB=\sqrt{2}-1$,
∴ 点C表示的数是$1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$.故选C.
9. 对于实数$a,b$,定义$\max\{a,b\}$的含义为:当$a ＜ b$时,$\max\{a,b\} = b$;当$a ＞ b$时,$\max\{a,b\} = a$.例如:$\max\{-1,2\} = 2$.已知$\max\{a,\sqrt{30}\} = \sqrt{30}$,$\max\{\sqrt{30},b\} = b$,且$a$和$b$为两个连续的正整数,则$2a - b$的值为(
A.1
B.2
C.3
D.4
D
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
9. D 【点拨】本题考查实数的大小比较,无理数的估算,以及新定义的理解与应用.
【解析】
∵ $\max\{a,\sqrt{30}\}=\sqrt{30}$,$\max\{\sqrt{30},b\}=b$,
∴ $a＜\sqrt{30}＜b$.
∵ $a,b$是两个连续的正整数,且$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$,即$5＜\sqrt{30}＜6$,
∴ $a=5,b=6$,
∴ $2a-b=2×5-6=4$.故选D.
【解析】
∵ $\max\{a,\sqrt{30}\}=\sqrt{30}$,$\max\{\sqrt{30},b\}=b$,
∴ $a＜\sqrt{30}＜b$.
∵ $a,b$是两个连续的正整数,且$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$,即$5＜\sqrt{30}＜6$,
∴ $a=5,b=6$,
∴ $2a-b=2×5-6=4$.故选D.
10. 如图1是长方形纸带，$∠ DEF = 23°$,将纸带沿EF折叠成图2,再沿BF折叠成图3,则图3中$∠ CFE$的度数是(
A.$97°$
B.$105°$
C.$107°$
D.$111°$
D
).A.$97°$
B.$105°$
C.$107°$
D.$111°$
答案
10. D 【点拨】本题考查折叠的性质,平行线的性质.
【解析】如图,
∵ 纸带是长方形的,
∴ $EH// GF$,
∴ $∠1=∠EFG$.根据折叠可知,$∠1=∠2$,
∴ $∠EFG=∠2$.由题意知,$∠1=23°$,
∴ $∠2=∠EFG=23°$,
∴ $∠DGF=23°+23°=46°$.在梯形FCDG中,$∠GFC=180°-46°=134°$,
∴ 题3中$∠CFE=∠GFC-∠GFE=134°-23°=111°$.故选D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11. $\sqrt{9}$的平方根是________.
11. $\sqrt{9}$的平方根是________.
答案
11. $\pm\sqrt{3}$ 【点拨】本题考查平方根的定义,注意先将$\sqrt{9}$化简是解题的关键.
【解析】
∵ $\sqrt{9}=3$,3的平方根是$\pm\sqrt{3}$,
∴ $\sqrt{9}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$.故答案为$\pm\sqrt{3}$.
【解析】
∵ $\sqrt{9}=3$,3的平方根是$\pm\sqrt{3}$,
∴ $\sqrt{9}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$.故答案为$\pm\sqrt{3}$.
12. 如图是我们常用的折叠式小刀,刀柄外形是将一个直角梯形挖去一个小半圆,其中刀片的两条边缘线可看成两条平行线段,转动刀片时会形成∠1与∠2.若∠1=68°,则∠2=
$22°$
.答案
12. $22°$ 【点拨】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理.
【解析】如图,延长AB交CD于点E.由题意,得$AF// CD$,$∠ABD=∠DBE=90°$,
∴ $∠BED=∠1=68°$,
∴ $∠2=180°-∠DBE-∠BED=180°-90°-68°=22°$.故答案为$22°$.
13. 如果角α和角β的两边分别平行，且满足$2α=β+30°$，则角α的度数是
$30°$或$70°$
.答案
13. $30°$或$70°$ 【点拨】本题考查平行线的性质和角度的计算,关键是根据题意分情况讨论.
【解析】根据角α和角β的两边分别平行,分两种情况:①当$α=β$时,将$β=α$代入$2α=β+30°$,得$2α=α+30°$,解得$α=30°$,满足题意;②当$α+β=180°$时,则$β=180°-α$,将$β=180°-α$代入$2α=β+30°$,得$2α=180°-α+30°$,解得$α=70°$,此时$β=110°$,满足题意.综上所述,角α的度数是$30°$或$70°$.故答案为$30°$或$70°$.
【解析】根据角α和角β的两边分别平行,分两种情况:①当$α=β$时,将$β=α$代入$2α=β+30°$,得$2α=α+30°$,解得$α=30°$,满足题意;②当$α+β=180°$时,则$β=180°-α$,将$β=180°-α$代入$2α=β+30°$,得$2α=180°-α+30°$,解得$α=70°$,此时$β=110°$,满足题意.综上所述,角α的度数是$30°$或$70°$.故答案为$30°$或$70°$.
14. 如图,直角三角形ABC的边长AB=6 cm,AC=4 cm,将三角形ABC平移得到三角形$A_1B_1C_1$,边$A_1B_1$分别交AC,BC于点E,F,当E为AC的中点时,$A_1E=FB_1=1.5$ cm,则图中阴影部分的面积为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
14. $9\ \mathrm{cm^2}$ 【点拨】本题考查平移的性质,得出梯形ABFE的面积即阴影部分面积是解题的关键.
【解析】由平移可知,$EF// AB$,$A_1B_1=AB=6\ \mathrm{cm}$,$S_{△ ABC}=S_{△ A_1B_1C_1}$,
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{梯形}ABFE}$.
∵ E是AC的中点,$A_1E=FB_1=1.5\ \mathrm{cm}$,
∴ $AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2(\mathrm{cm})$,$EF=A_1B_1-A_1E-FB_1=6-1.5-1.5=3(\mathrm{cm})$,
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{梯形}ABFE}=\frac{1}{2}(EF+AB)· AE=\frac{1}{2}×(3+6)×2=9(\mathrm{cm^2})$.故答案为$9\ \mathrm{cm^2}$.
【解析】由平移可知,$EF// AB$,$A_1B_1=AB=6\ \mathrm{cm}$,$S_{△ ABC}=S_{△ A_1B_1C_1}$,
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{梯形}ABFE}$.
∵ E是AC的中点,$A_1E=FB_1=1.5\ \mathrm{cm}$,
∴ $AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2(\mathrm{cm})$,$EF=A_1B_1-A_1E-FB_1=6-1.5-1.5=3(\mathrm{cm})$,
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{梯形}ABFE}=\frac{1}{2}(EF+AB)· AE=\frac{1}{2}×(3+6)×2=9(\mathrm{cm^2})$.故答案为$9\ \mathrm{cm^2}$.
15. 有下列说法:①同位角相等;②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③对顶角的平分线在一条直线.
答案
解：
① 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，未限定两直线平行的条件，该说法错误；
② 该结论成立的前提是“在同一平面内”，缺少限定条件，该说法错误；
③ 对顶角相等，两个对顶角被各自的平分线平分后得到的角对应相等，可推得两条平分线的夹角为180°，因此对顶角的平分线在同一条直线上，该说法正确。
综上，正确的说法为③。
① 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，未限定两直线平行的条件，该说法错误；
② 该结论成立的前提是“在同一平面内”，缺少限定条件，该说法错误；
③ 对顶角相等，两个对顶角被各自的平分线平分后得到的角对应相等，可推得两条平分线的夹角为180°，因此对顶角的平分线在同一条直线上，该说法正确。
综上，正确的说法为③。
直线上;④若$a// b,b// c$,则$a// c$;⑤若$a⊥ b,b⊥ c$,则$a⊥ c$.其中,正确的说法是
③④
.(填序号)答案
15. ③④ 【点拨】本题考查平行线的判定与性质,垂直的性质,对顶角.
【解析】①两直线平行,同位角相等,故①错误;②在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故②错误;③对顶角的平分线在一条直线上,故③正确;④若$a// b$,$b// c$,则$a// c$,故④正确;⑤在同一平面内,若$a⊥ b$,$b⊥ c$,则$a// c$,故⑤错误.综上所述,正确的有③④.故答案为③④.
【解析】①两直线平行,同位角相等,故①错误;②在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故②错误;③对顶角的平分线在一条直线上,故③正确;④若$a// b$,$b// c$,则$a// c$,故④正确;⑤在同一平面内,若$a⊥ b$,$b⊥ c$,则$a// c$,故⑤错误.综上所述,正确的有③④.故答案为③④.
16. (6分)计算:
(1) $\sqrt{16} - (-1)^2 + \sqrt[3]{27}$；
(2) $\sqrt{(-4)^2} + \left|1 - \sqrt{2}\right| + \sqrt[3]{-8} - (-1)^{2024}$。
(1) $\sqrt{16} - (-1)^2 + \sqrt[3]{27}$；
(2) $\sqrt{(-4)^2} + \left|1 - \sqrt{2}\right| + \sqrt[3]{-8} - (-1)^{2024}$。
答案
16. 【点拨】本题考查实数的运算,熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的运算法则是解题的关键.
【解析】(1) $\sqrt{16}-(-1)^2+\sqrt[3]{27}$
$=4-1+3$
$=6$.
(2) $\sqrt{(-4)^2}+\left|1-\sqrt{2}\right|+\sqrt[3]{-8}-(-1)^{2024}$
$=4+\sqrt{2}-1+(-2)-1$
$=\sqrt{2}$.
【解析】(1) $\sqrt{16}-(-1)^2+\sqrt[3]{27}$
$=4-1+3$
$=6$.
(2) $\sqrt{(-4)^2}+\left|1-\sqrt{2}\right|+\sqrt[3]{-8}-(-1)^{2024}$
$=4+\sqrt{2}-1+(-2)-1$
$=\sqrt{2}$.
