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【典例1】(教材P118T7变式)已知$a+b=6$，$ab=4$，求$a^2 -6ab +b^2$的值。
答案
解:$\because a+b=6$,
$\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=36$,
又$\because ab=4,\therefore a^2+b^2=36-8=28$,
$\therefore a^2-6ab+b^2=28-24=4$.
$\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=36$,
又$\because ab=4,\therefore a^2+b^2=36-8=28$,
$\therefore a^2-6ab+b^2=28-24=4$.
变式.已知$a-b=3,ab=2$,求$(a+b)^2$的值.
答案
解:$\because a-b=3$,
$\therefore (a-b)^2=9$,
$\therefore a^2+b^2-2ab=9$,
$\therefore a^2+b^2=9+4=13$,
$\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=17$.
$\therefore (a-b)^2=9$,
$\therefore a^2+b^2-2ab=9$,
$\therefore a^2+b^2=9+4=13$,
$\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=17$.
【典例2】已知$a-\frac{2}{a}=4$。
(1)求$a^2+\frac{4}{a^2}$的值；
(2)求$(a+\frac{2}{a})^2$的值。
(1)求$a^2+\frac{4}{a^2}$的值；
(2)求$(a+\frac{2}{a})^2$的值。
答案
解:(1)$\because (a-\frac{2}{a})^2=a^2+\frac{4}{a^2}-4=16$,
$\therefore a^2+\frac{4}{a^2}=20$.
(2)$(a+\frac{2}{a})^2$
$=a^2+\frac{4}{a^2}+4$
$=24$.
$\therefore a^2+\frac{4}{a^2}=20$.
(2)$(a+\frac{2}{a})^2$
$=a^2+\frac{4}{a^2}+4$
$=24$.
变式1.已知$a+\frac{1}{a}=5$。
(1)求$a^2+\frac{1}{a^2}$的值；
(2)求$(a-\frac{1}{a})^2$的值。
(1)求$a^2+\frac{1}{a^2}$的值；
(2)求$(a-\frac{1}{a})^2$的值。
答案
解:(1)$\because a+\frac{1}{a}=5$,
$\therefore (a+\frac{1}{a})^2=25$,
$\therefore a^2+\frac{1}{a^2}=23$.
(2)$(a-\frac{1}{a})^2$
$=a^2+\frac{1}{a^2}-2$
$=21$.
$\therefore (a+\frac{1}{a})^2=25$,
$\therefore a^2+\frac{1}{a^2}=23$.
(2)$(a-\frac{1}{a})^2$
$=a^2+\frac{1}{a^2}-2$
$=21$.
变式2.已知$x+\frac{1}{x}=4$。
(1)求$x^4+\frac{1}{x^4}$的值；
(2)求$x^3+\frac{1}{x^3}$的值。
(1)求$x^4+\frac{1}{x^4}$的值；
(2)求$x^3+\frac{1}{x^3}$的值。
答案
解:(1)$\because x+\frac{1}{x}=4,\therefore (x+\frac{1}{x})^2=16$,
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=14,\therefore (x^2+\frac{1}{x^2})^2=196$,
$\therefore x^4+\frac{1}{x^4}=194$.
(2)$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})-(x+\frac{1}{x})$
$=4×14-4$
$=52$.
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=14,\therefore (x^2+\frac{1}{x^2})^2=196$,
$\therefore x^4+\frac{1}{x^4}=194$.
(2)$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})-(x+\frac{1}{x})$
$=4×14-4$
$=52$.
【典例3】已知$(x-518)(x-512)=-12$，求$(x-518)^2 + (x-512)^2$的值。
答案
解:设$x-518=a,x-512=b$,
$ab=-12$,
$\therefore b-a=6,\therefore (b-a)^2=36$
$⇒ a^2+b^2-2ab=36$,
$a^2+b^2=36-24=12$,
$\therefore (x-518)^2+(x-512)^2=12$.
$ab=-12$,
$\therefore b-a=6,\therefore (b-a)^2=36$
$⇒ a^2+b^2-2ab=36$,
$a^2+b^2=36-24=12$,
$\therefore (x-518)^2+(x-512)^2=12$.
变式.已知$(2026-x)(2024-x)=2025$,求$(2026-x)^2+(2024-x)^2$的值.
答案
解:设$a=2026-x,b=2024-x$,
$a-b=2,ab=2025$,
$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
$=4+4050$
$=4054$
$a-b=2,ab=2025$,
$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
$=4+4050$
$=4054$
