20.(8分)端午节是中国的传统节日,某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动,现从这两个年级各随机抽取100名学生的活动成绩(单位:分)绘制统计图表,信息如下:
某校七年级100名学生活动成绩统计表
|成绩(分)|6|7|8|9|10|
|----|----|----|----|----|----|
|人数(名)|10|30||20|20|20|
(1)请根据以上统计图表,完善下列表格信息。
某校七、八年级100名学生活动成绩分析表
| |平均数/分|中位数/分|众数/分|方差/分²|
|----|----|----|----|----|
|七年级|||7|1.69|
|八年级|8.1|8.5||1.19|
(2)你认为哪个年级的活动成绩较优秀,请根据表格中的统计量说明理由。

(1)8.1 8 9
解析:七年级的平均数为$\dfrac{1}{100}×(6×10+7×30+8×20+9×20+10×20)=8.1$分,根据统计表,七年级活动成绩的中位数为$\dfrac{8+8}{2}=8$分,根据扇形统计图,八年级活动成绩的众数为9分；
(2)八年级的活动成绩较优秀,理由如下,因为七八年级的平均数相同,但八年级的中位数和众数都比七年级高,八年级的方差小,成绩比七年级更稳定,所以八年级的活动成绩较优秀。

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需计算七年级的平均数、中位数和八年级的众数：①先确定七年级8分的人数，再用加权平均数公式求七年级平均数；②根据七年级成绩的人数分布，确定100个数据的中位数（为第50、51个数据的平均数）；③结合八年级成绩的扇形统计图，找出出现次数最多的成绩即众数。第(2)问需根据统计量分析成绩优劣，对比平均数（反映平均水平）、中位数（反映中间水平）、众数（反映多数水平）、方差（反映稳定性）的意义，据此判断。
【解析】
(1) ①计算七年级8分的人数：总人数100名，故8分人数为$100 - 10 - 30 - 20 - 20 = 20$名；
②七年级平均数：根据加权平均数公式，$\overline{x}_七=\frac{6×10 + 7×30 + 8×20 + 9×20 + 10×20}{100}=\frac{60 + 210 + 160 + 180 + 200}{100}=8.1$分；
③七年级中位数：100个数据的中位数为第50、51个数据的平均数，前两组（6分、7分）共$10+30=40$人，第50、51个数据均在8分组，故中位数为$\frac{8+8}{2}=8$分；
④八年级众数：根据扇形统计图，9分对应的人数占比最高，故众数为9分；
(2) 八年级的活动成绩较优秀，理由：七八年级的平均数均为8.1分，平均水平相同；但八年级的中位数（8.5分）高于七年级（8分），众数（9分）高于七年级（7分），且八年级的方差（1.19）小于七年级（1.69），说明八年级成绩更稳定，因此八年级的活动成绩更优秀。
【答案】
(1) 8.1；8；9
(2) 八年级的活动成绩较优秀，理由：七八年级平均数相同，八年级的中位数、众数均高于七年级，且方差更小，成绩更稳定，故八年级成绩更优秀。
【知识点】
加权平均数，中位数与众数，方差
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需熟练掌握加权平均数、中位数、众数、方差的计算方法，能结合统计量的意义分析数据的集中趋势和稳定性，是统计模块的基础题型，注重对基础知识点的掌握与应用。
【难度系数】
0.5

21.(8分)运动员在跳台跳水的某轮比赛中完成了难度系数为3.0的动作，7位裁判的打分如下:(单位:分):9.5,9.5,9.0,9.5,9.5,9.5,9.0。
(1)求这位运动员得分的中位数,众数;
(2)已知跳台跳水成绩的计分规则是:先去掉两个最高分和两个最低分,余下3名裁判员的分数之和乘以运动员所跳动作的难度系数,便得出该动作的实得分。
①请计算该运动员此轮比赛的成绩;
②结合所学的平均数知识,说明跳台跳水成绩的计分规则的科学合理性。

(1)将这组数据重新排列为9.0,9.0,9.5,9.5,9.5,9.5,9.5,所以这组数据的中位数为9.5分,众数为9.5分；
(2)①$(9.5+9.5+9.5)×3=85.5$(分)；
②跳台跳水成绩的计分规则的科学合理性:(Ⅰ)去掉两个最高分和两个最低分能有效消除极端评分(如裁判个人偏好或者评分失误等)对成绩的影响；(Ⅱ)乘以难度系数可以兼顾动作难度(权重),使得不同难度的动作在总分中占比不同。

【分析】
要解决这道题，需分步骤处理：（1）求中位数和众数时，先将数据排序，再根据定义确定：中位数是排序后中间位置的数（奇数个数据取第(n+1)/2个），众数是出现次数最多的数；（2）①计算成绩时，严格按规则去掉两个最高分和两个最低分，计算剩余分数和后乘难度系数；②说明规则合理性时，结合平均数易受极端值影响的特点，以及难度系数对动作难度的体现来分析。
【解析】
（1）将7位裁判的打分从小到大排列为：9.0，9.0，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5。共7个数据，中位数为排序后第4个数据，即9.5分；9.5出现5次，次数最多，故众数为9.5分。
（2）①排序后，两个最高分是9.5，9.5，两个最低分是9.0，9.0，剩余3个分数为9.5，9.5，9.5，其和为9.5×3=28.5分，乘以难度系数3，得28.5×3=85.5分。
②平均数易受极端值影响，去掉两个最高分和两个最低分，可减少个别裁判的极端评分（如个人偏好或失误）对成绩的干扰，使结果更公平；乘以难度系数，能体现不同动作的难度差异，让难度高的动作对应更高的权重，符合竞技体育的评分逻辑，因此规则科学合理。
【答案】
（1）中位数为9.5分，众数为9.5分；（2）①该运动员此轮比赛的成绩为85.5分；②跳台跳水成绩的计分规则的科学合理性：(Ⅰ)去掉两个最高分和两个最低分能有效消除极端评分(如裁判个人偏好或者评分失误等)对成绩的影响；(Ⅱ)乘以难度系数可以兼顾动作难度(权重),使得不同难度的动作在总分中占比不同。
【知识点】
中位数、众数、平均数
【点评】
本题结合跳水竞技的实际场景，考察统计量的计算与应用，既巩固了统计基础知识，又体现了数学在生活中的实用性，难度适中，有助于学生理解统计知识的实际价值。
【难度系数】
0.4