例1 计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\dots+\frac{1}{90}$。
点拨：观察题中的分数，可知分子都是1，分母都是两个相邻自然数（不为0）的积，那么这些分数就可以拆分成分子是1，分母是两个相邻自然数的分数相减的形式。如$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$……按照这种方法把每个分数进行拆分，再计算，可使计算变得简便。
解答：

$\begin{aligned}&\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\dots+\frac{1}{90}\\=&(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+\dots+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})\\=&1-\frac{1}{10}\\=&\frac{9}{10}\end{aligned}$

例2 学校社团招新，同学们报名了书法、绘画、手工三类社团。其中书法与手工社团的报名人数占总人数的$\frac{2}{3}$，绘画与手工社团的报名人数占总人数的$\frac{3}{4}$。手工社团的报名人数占总人数的几分之几？
点拨：方法一：已知“书法＋手工”“绘画＋手工”的占比，将这两个占比相加，此时手工社团的占比被计算了2次，而总人数占比为“1”（包含书法、绘画、手工各1次），因此用两者之和减去“1”，就能得到重复计算的手工社团占比。
方法二：先通过“1－书法与手工的占比”，求出绘画社团单独的占比；再利用“绘画与手工的占比－绘画社团的占比”，即可得到手工社团的占比。
解答：
方法一：
方法二：
方法点金
重叠问题的解法
方法一：先将含重叠部分的两个占比相加，再减去总占比（“1”），直接得出重叠部分。
方法二：先求非重叠部分，再用对应组占比减去这部分。

方法一：$\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-1=\frac{5}{12}$
方法二：$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ $\frac{3}{4}-\frac{1}{3}=\frac{5}{12}$
答：手工社团的报名人数占总人数的$\frac{5}{12}$。