1. 如图，$△ ABC$中，$BO,CO$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$，$OE // AB$交$BC$于点$E$，$OF // AC$交$BC$于点$F$，若$BC=12$，$AB=8$，$AC=6$，则$△ OEF$的周长是 ()


A.12
B.8
C.6
D.20

1. A

【分析】
解题时我们可以结合已知条件推导等腰三角形，再通过等线段代换求解周长，具体思路如下：首先，题目给出了角平分线和平行线两个条件，二者结合可推出相等的角，进而得到等腰三角形；其次，将△OEF的三边分别转化为BC边上的线段，即可直接用已知的BC长度求出周长。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠EBO，
又
∵OE//AB，
∴∠ABO=∠EOB（两直线平行，内错角相等），
∴∠EBO=∠EOB，
∴EB=EO（等角对等边）。
同理，
∵CO平分∠ACB，
∴∠ACO=∠FCO，
又
∵OF//AC，
∴∠ACO=∠FOC（两直线平行，内错角相等），
∴∠FCO=∠FOC，
∴FC=FO（等角对等边）。
∴△OEF的周长 = OE + EF + FO = EB + EF + FC = BC，
已知BC=12，因此△OEF的周长为12。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是构造等腰三角形的典型考题，核心是掌握“角平分线+平行线”推出等腰三角形的模型，通过等线段代换简化计算，无需单独求解△OEF各边的长度即可得出结果。
【难度系数】
0.7

2.(2024·贵港期末)如图,在$△ ABC$中,点D在AB上,点E在AC的延长线上,且$BD=CE$,连接DE交BC于点F,F恰为DE的中点.求证:$AB=AC$.

证明:过点 D 作 $DM// AC$ 交 BC 于 M. $\therefore ∠ DMB=∠ ACB,∠ FDM=∠ E. \because F$ 是 DE 的中点, $\therefore DF = EF$. 在 $△ DMF$ 和 $△ ECF$ 中,$\begin{cases}∠ FDM=∠ E,\\DF=EF,\\∠ DFM=∠ EFC,\end{cases}$$\therefore △ DMF≌△ ECF(\mathrm{ASA}). \therefore MD=CE. \because BD=CE, \therefore MD=BD. \therefore ∠ B=∠ DMB. \because ∠ DMB=∠ ACB, \therefore ∠ B=∠ ACB, \therefore AB=AC.$

【分析】
要证明$AB=AC$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明$∠ B=∠ ACB$即可。现有已知条件为$F$是$DE$中点、$BD=CE$，当前图形中没有直接可证的全等三角形，因此需要构造辅助线：过点$D$作$DM// AC$交$BC$于$M$，一方面可通过平行线的性质得到相等的角，结合$F$是中点的条件证明$△ DMF$和$△ ECF$全等，将$CE$转化为$MD$，结合$BD=CE$得到$MD=BD$，进而推出$∠ B=∠ DMB$，再通过平行线的性质把$∠ DMB$和$∠ ACB$建立等量关系，最终推导得到$∠ B=∠ ACB$，完成证明。
【解析】
证明：过点$D$作$DM// AC$交$BC$于$M$。
$\therefore ∠ DMB=∠ ACB,∠ FDM=∠ E$。
$\because F$是$DE$的中点，$\therefore DF = EF$。
在$△ DMF$和$△ ECF$中，
$\begin{cases}∠ FDM=∠ E,\\DF=EF,\\∠ DFM=∠ EFC,\end{cases}$
$\therefore △ DMF≌△ ECF(\mathrm{ASA})$。
$\therefore MD=CE$。
$\because BD=CE$，$\therefore MD=BD$。
$\therefore ∠ B=∠ DMB$。
$\because ∠ DMB=∠ ACB$，$\therefore ∠ B=∠ ACB$，
$\therefore AB=AC$。
【答案】
证明过程如上，最终可证得$AB=AC$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是典型的构造辅助线证明几何结论的题型，核心是通过作平行线构造全等三角形，将分散的已知条件（边相等、中点）建立关联，进而转化为角的等量关系完成等腰三角形的证明，掌握常见的辅助线构造方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6

3. 如图，$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$CE ⊥ AD$于$E$. 求证：$∠ ACE = ∠ B + ∠ ECD$.

证明:延长 CE 交 AB 于点 F. $\because AD$ 平分 $∠ BAC, \therefore ∠ BAD=∠ CAD. \because CE⊥ AD, \therefore ∠ AEC=∠ AEF=90°$. 又 $AE=AE, \therefore △ AEC≌△ AEF(\mathrm{ASA}). \therefore ∠ ACE=∠ AFE$. 又 $∠ AFE=∠ B+∠ DCE, \therefore ∠ ACE=∠ B+∠ ECD.$

【分析】
要证明∠ACE=∠B+∠ECD，可通过构造全等三角形实现角的等量转化：已知AD是∠BAC的角平分线，且CE⊥AD，角平分线与垂线同时出现时，可延长CE交AB于点F，先证明△AEC与△AEF全等，得到∠ACE=∠AFE，再利用三角形外角的性质，将∠AFE转化为∠B与∠ECD的和，通过等量代换即可完成证明。
【解析】
证明：延长CE交AB于点F。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠AEF=90°。
又
∵AE=AE，
∴△AEC≌△AEF（ASA）。
∴∠ACE=∠AFE。
∵∠AFE是△BFC的外角，根据三角形外角的性质可得∠AFE=∠B+∠DCE，
通过等量代换即可得∠ACE=∠B+∠ECD。
【答案】
证明:延长 CE 交 AB 于点 F. $\because AD$ 平分 $∠ BAC, \therefore ∠ BAD=∠ CAD. \because CE⊥ AD, \therefore ∠ AEC=∠ AEF=90°$. 又 $AE=AE, \therefore △ AEC≌△ AEF(\mathrm{ASA}). \therefore ∠ ACE=∠ AFE$. 又 $∠ AFE=∠ B+∠ DCE, \therefore ∠ ACE=∠ B+∠ ECD.$
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的几何辅助线构造类题型，解题关键是掌握“角平分线+角平分线的垂线”的模型特征，通过延长垂线构造全等三角形实现角的转化，再结合三角形外角性质建立待证角的等量关系，熟练掌握该模型可极大提升同类几何题的解题效率。
【难度系数】
0.6

4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=90°$，$BE$是角平分线，$CD⊥ BE$交$BE$的延长线于点$D$。求证：$BE=2CD$。

证明:延长 BA,CD 相交于点 Q. $\because ∠ CAQ=∠ BDQ=90°, \therefore ∠ ACQ+∠ Q=90°, ∠ ABE+∠ Q=90°. \therefore ∠ ACQ=∠ ABE$. 在$△ ABE$ 和$△ ACQ$ 中,$\begin{cases}∠ ABE=∠ ACQ,\\AB=AC,\\∠ BAE=∠ CAQ,\end{cases}$$\therefore △ ABE≌△ ACQ(\mathrm{ASA}). \therefore BE=CQ. \because BD$ 平分 $∠ ABC, ∠ BDC=∠ BDQ=90°, \therefore ∠ Q=∠ BCQ. \therefore BQ=BC$. 又 $\because BD⊥ CQ, \therefore CD=DQ=\frac{1}{2}CQ. \therefore BE=CQ=2CD.$

【分析】
要证明BE=2CD这类线段倍分关系，通常可将短线段加倍或长线段折半，转化为证明两条线段相等。观察已知条件：BE是∠ABC的角平分线，且CD⊥BE，符合“角平分线+垂线”的特征，可先延长BA、CD交于点Q，构造等腰△BCQ，利用等腰三角形三线合一得到CQ=2CD，再通过证明△ABE≌△ACQ得到BE=CQ，即可推导出结论。
【解析】
证明：延长BA，CD相交于点Q。
$\because ∠CAQ=∠BDQ=90°, \therefore ∠ACQ+∠Q=90°, ∠ABE+∠Q=90°, \therefore ∠ACQ=∠ABE$。
在$△ ABE$ 和$△ ACQ$ 中,
$\begin{cases}∠ ABE=∠ ACQ,\\AB=AC,\\∠ BAE=∠ CAQ,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACQ(\mathrm{ASA})$，$\therefore BE=CQ$。
$\because BD$ 平分 $∠ ABC, ∠ BDC=∠ BDQ=90°, \therefore ∠ Q=∠ BCQ, \therefore BQ=BC$。
又 $\because BD⊥ CQ, \therefore CD=DQ=\frac{1}{2}CQ$，$\therefore BE=CQ=2CD$。
【答案】
$BE=2CD$
【知识点】
1.全等三角形的判定与性质
2.等腰三角形三线合一
3.角平分线的性质
【点评】
本题是线段倍分关系证明的典型题，解题关键是掌握“角平分线与垂线共存时，延长构造等腰三角形”的辅助线作法，结合全等三角形的性质即可完成推导，能有效考察几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6