5.（2025·兰州模拟）如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=108°$，$AB=AC$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$D$。
求证：$BC=CD+AB$。

证明:在 BC 边上取点 E,使 $BE=AB$,连接 ED. $\because BD$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ ABD=∠ CBD$. 在 $△ ABD$ 和 $△ EBD$ 中,$\begin{cases}AB=EB,\\∠ ABD=∠ CBD,\\BD=BD.\end{cases}$$\therefore △ ABD≌△ EBD. \therefore ∠ A=∠ BED=108°. \therefore ∠ DEC=180°-∠ BED=72°. \because AB=AC, ∠ A=108°, \therefore ∠ C=∠ ABC=\frac{180°-∠ A}{2}=36°, \therefore ∠ EDC=180°-∠ DEC-∠ C=72°=∠ DEC. \therefore CD=CE. \because BC=BE+CE, BE=AB, \therefore BC=AB+CD.$

【分析】
要证明线段和差关系$BC=CD+AB$，通常采用截长补短法求解。本题中$BD$是$∠ ABC$的角平分线，适合采用截长法：在较长边$BC$上截取一段等于$AB$，再证明剩余段等于$CD$即可。具体思路如下：①在$BC$上取点$E$使$BE=AB$，结合角平分线条件构造全等三角形$△ ABD$和$△ EBD$；②利用全等三角形的性质得到对应角相等，再结合等腰$△ ABC$的内角计算$∠ DEC$、$∠ EDC$的度数；③通过等角对等边证明$CE=CD$，最后结合$BC=BE+CE$即可推导结论。
【解析】
证明：在$BC$边上取点$E$，使 $BE=AB$，连接$ED$。
$\because BD$ 平分 $∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$。
在 $△ ABD$ 和 $△ EBD$ 中，
$\begin{cases}AB=EB,\\∠ ABD=∠ CBD,\\BD=BD.\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ EBD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ A=∠ BED=108°$，
$\therefore ∠ DEC=180°-∠ BED=72°$。
$\because AB=AC$，$∠ A=108°$，
$\therefore ∠ C=∠ ABC=\frac{180°-∠ A}{2}=36°$，
$\therefore ∠ EDC=180°-∠ DEC-∠ C=72°=∠ DEC$，
$\therefore CD=CE$。
$\because BC=BE+CE$，$BE=AB$，
$\therefore BC=AB+CD$。
【答案】
$BC=CD+AB$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质；2. 等腰三角形的判定与性质；3. 角平分线的定义
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心考查截长补短的辅助线构造方法，同时结合了全等三角形、等腰三角形的性质和角度计算，需要熟练掌握几何辅助线的构造思路，能通过角度推导得到边的等量关系。
【难度系数】
0.6

6. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC = 2∠ C, AD ⊥ BC$, 垂足为 $D$. 若 $BD=2, CD=8$, 求 $AB$ 的长(用两种不同方法).

6. 解:(方法一:截长法)在 CD 上截取 $DE=BD=2$,连接 AE. $\because AD⊥ BC, \therefore AB=AE. \therefore ∠ AEB=∠ ABC=2∠ C. \because ∠ AEB=∠ C+∠ EAC, \therefore ∠ C=∠ EAC. \therefore AE=EC=CD-DE=6. \therefore AB=6$.(方法二:补短法)延长 DB 至点 F,使得 $BF=AB$,连接 AF,则$∠ F=∠ BAF, \therefore ∠ ABC=∠ F+∠ BAF=2∠ F. \because ∠ ABC=2∠ C, \therefore ∠ F=∠ C. \therefore AF=AC. \because AD⊥ FC, \therefore FD=DC=8. \because BD=2, \therefore FB=FD-BD=6. \therefore AB=FB=6.$

【分析】
题目给出了△ABC中角的倍数关系∠ABC=2∠C，以及AD⊥BC的垂直条件，要求AB的长。解题核心思路是通过构造等腰三角形，将角的2倍关系转化为等角关系，结合等腰三角形相关性质求解。有两种构造思路：第一种是截长法，在长线段CD上截取一段等于BD，利用垂直平分线的性质得到等腰三角形，转化角的关系；第二种是补短法，延长短线段DB，构造新的等腰三角形，把2倍角拆分为两个等角，再结合垂直条件推导边的关系。
【解析】
方法一（截长法）：
在CD上截取$DE=BD=2$，连接AE。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore$AD是线段BE的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$AB=AE$。
$\therefore ∠ AEB=∠ ABC=2∠ C$。
又$\because ∠ AEB$是$△ AEC$的外角，根据三角形外角性质，$∠ AEB=∠ C+∠ EAC$，
$\therefore 2∠ C=∠ C+∠ EAC$，化简得$∠ C=∠ EAC$，
根据等角对等边，可得$AE=EC$。
已知$CD=8$，$DE=2$，$\therefore EC=CD-DE=8-2=6$，
$\therefore AB=AE=6$。
方法二（补短法）：
延长DB至点F，使得$BF=AB$，连接AF。
$\because BF=AB$，$\therefore ∠ F=∠ BAF$，
$\because ∠ ABC$是$△ ABF$的外角，$\therefore ∠ ABC=∠ F+∠ BAF=2∠ F$。
又$\because$已知$∠ ABC=2∠ C$，$\therefore 2∠ F=2∠ C$，即$∠ F=∠ C$，
根据等角对等边，可得$AF=AC$。
$\because AD⊥ FC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$FD=DC=8$，
已知$BD=2$，$\therefore FB=FD-BD=8-2=6$，
又$\because BF=AB$，$\therefore AB=6$。
【答案】
$AB=6$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是构造等腰三角形解决几何问题的典型习题，通过截长、补短两种常见的辅助线构造方法，将角的倍数关系转化为等角关系，结合等腰三角形、三角形外角、垂直平分线的相关性质即可求解，能有效锻炼几何辅助线构造能力和性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6