7 如图,正方形 CEFG 的顶点 G 在正方形 ABCD 的边 CD 上,AF 与 DC 交于点 H.若 AB=6,CE=2,则 DH 的长为 ()

A.2
B.3
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{8}{3}$
（第7题）

7. B

8 在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别为A(2,3)和B(8,-1).请直接写出线段AB的三等分点C的坐标：.

8. $(4,\frac{5}{3})或(6,\frac{1}{3})$

9 如图,在$\odot O$中,AB为直径,BD为弦,C为$\overset{\frown}{BD}$的中点,连接AC,交BD于点F,以C为切点的切线与AB的延长线交于点E,连接CD.若$\frac{CF}{AF}=\frac{1}{3}$,则$\frac{CE}{AE}$的值为.

9. $\frac{1}{2}$ 【解析】连接 $OC. \because C$ 为 $\overset{\frown}{BD}$ 的中点, $\therefore OC⊥ BD.$
$\because CE$ 为$\odot O$的切线,且 $C$ 为切点, $\therefore OC⊥ EC. \therefore EC// BD.$
$\therefore \frac{EB}{AB}=\frac{CF}{AF}=\frac{1}{3}.$ 设 $EB=x$, 则 $AB=3x. \therefore OB=OC=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}x. \therefore EO=EB+OB=\frac{5}{2}x.$ 在$\mathrm{Rt}△ OCE$ 中,根据勾股定理,可得 $EC=\sqrt{EO^2-OC^2}=2x. \therefore \frac{CE}{AE}=\frac{2x}{x+3x}=\frac{1}{2}.$

10 一题多解 如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的中线,F是AD的中点,连接BF并延长,交AC于点E,求证:$AE=\dfrac{1}{3}AC$.

10. 解法一:如图①,取 $BE$ 的中点 $G$,连接 $DG. \because D$ 是 $BC$ 的中点,$G$ 是 $BE$ 的中点,$\therefore DG$ 是 $△ BEC$ 的中位线. $\therefore DG// CE$,$DG=\frac{1}{2}CE. \therefore ∠ FAE=∠ GDF,∠ AEF=∠ DGF. \because F$ 是 $AD$ 的中点,$\therefore AF=DF. \therefore △ AEF≌△ DGF. \therefore AE=DG.$ 又$\because DG=\frac{1}{2}CE,\therefore AE=\frac{1}{2}CE. \therefore AE=\frac{1}{3}AC$
解法二:如图②,取 $CE$ 的中点 $H$,连接 $DH. \because D$ 是 $BC$ 的中点,$H$ 是 $CE$ 的中点,$\therefore DH$ 是 $△ BEC$ 的中位线. $\therefore DH// BE.$
$\therefore \frac{AE}{EH}=\frac{AF}{DF}. \because F$ 是 $AD$ 的中点,$\therefore AF=DF. \therefore AE=EH.$
又$\because H$ 是 $CE$ 的中点,$\therefore CH=EH. \therefore AE=\frac{1}{3}AC$

11 如图，在$△ ABC$中，D是AC的中点，$∠ BAC$的平分线AE交BD于点F，交BC于点E.若$BF:FD=3:1$，$AB+BE=3\sqrt{3}$，求$△ ABC$的周长.

11. 如图,过点 $F$ 作 $FM⊥ AB$ 于点 $M$,$FN⊥ AC$ 于点 $N$,过点 $D$ 作 $DT// AE$,交 $BC$ 于点 $T. \because AE$ 平分$∠ BAC$,$FM⊥ AB$,$FN⊥ AC, \therefore FM=FN. \because BF:FD=3:1, \therefore S_{△ ABF}:S_{△ ADF}=3:1. \therefore AB=3AD. \because D$ 是 $AC$ 的中点,$\therefore AD=CD.$
$\therefore AB=\frac{3}{2}AC. \because DT// AE, \therefore \frac{AD}{CD}=\frac{ET}{CT}. \therefore ET=CT.$
$\because DT// AE$,即 $FE// DT, \therefore BF:FD=BE:ET=3:1.$
$\therefore BE=\frac{3}{2}CE. \therefore AB+BE=\frac{3}{2}(AC+CE). \because AB+BE=3\sqrt{3},\therefore AC+CE=2\sqrt{3}. \therefore △ ABC$ 的周长为 $AB+AC+BC=(AB+BE)+(AC+CE)=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$