20.(7分)在某次数学兴趣小组活动中,小明对等边三角形进行了数学探究活动,如图所示,他在等边三角形ABC内取一个点D,使得∠ADB=120°,∠ADC=90°,然后他将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE,连接DE,探究以下问题.
(1)求证:AD=DE.
(2)若BD=1,求CD的长.

(1)证明:$\because$将$△ABD$绕点 A 逆时针旋转$60°$得$△ACE$,$\therefore △ABD≌△ACE$,$∠BAC=∠DAE= 60°$,$\therefore AD=AE$,$\therefore △ADE$ 为等边三角形,$\therefore AD =DE$. (2)解:由(1)得$△ADE$ 为等边三角形, $\therefore ∠ADE=60°$.$\because ∠ADE=60°$,$∠ADC=90°$, $\therefore ∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°$.又$\because ∠AED=60°$,$∠AEC=∠ADB=120°$,$BD= 1$,$\therefore ∠DEC=60°$,$\therefore ∠DCE=90°$,$\therefore DE=2CE =2BD=2$. 在$\mathrm{Rt}△DCE$ 中,由勾股定理,得$CD =\sqrt{DE^2-CE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。

21.(7分)某汽车研发中心设计了一款新型汽车，测试人员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下：

测试人员发现:①刹车后汽车行驶距离y(单位:m)与行驶时间t(单位:s)之间具有函数关系$y=at^2+bt(a≠0,a,b为常数)$；②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间t的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止.
问题解决:请根据以上信息，完成下列任务.
任务一:求y关于t的函数解析式.
任务二:汽车司机发现正前方70 m处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物?请说明理由.

解:任务一:由题意知,$y=at^2+bt(a≠0,a,b为常数)$,将$(1,27)$,$(2,48)$代入$y=at^2+bt$,得$\begin{cases}a+b=27\\4a+2b=48\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=-3\\b=30\end{cases}$,$\therefore y$关于$t$的函数解析式为$y=-3t^2+30t$. 任务二:该车在不变道的情况下会撞到障碍物.理由如下:$\because y=-3t^2+ 30t=-3(t-5)^2+75$,且$-3＜0$,$\therefore$当$t=5$时,汽车完全停下,此时行驶了 75 m.$\because 70＜75$,$\therefore$该车在不变道的情况下会撞到障碍物。

22.(9分)如图①,抛物线$y=-x^2+bx+c$过点$A(-1,0),B(3,0)$,与$y$轴交于点$C$.在$x$轴上有一动点$E(m,0)(0＜m＜3)$,过点$E$作直线$ME⊥ x$轴,交抛物线于点$M$.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当$m=1$时,点$D$是直线$ME$上的点且在第一象限内,若$△ ACD$是以$CA$为斜边的直角三角形,求点$D$的坐标.
(3)如图②,连接$BC$,$BC$与$ME$交于点$F$,连接$AF$,$BM$,$△ ACF$和$△ BFM$的面积分别为$S_1$和$S_2$,当$S_1=4S_2$时,求点$E$坐标.

解:(1)$\because$抛物线$y=-x^2+bx+c$过点$A(-1, 0)$,$B(3,0)$,$\therefore \begin{cases}-1-b+c=0\\-9+3b+c=0\end{cases}$,解得$\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$,$\therefore$该抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$. (2)令$x=0$,得$y=3$,$\therefore C(0,3)$.当$m=1$时,设$D(1,n)$, $\because △ACD$ 是以$CA$ 为斜边的直角三角形,$\therefore AD^2 +CD^2=AC^2$,$\therefore 2^2+n^2+1^2+(3-n)^2=1^2+3^2$,解得$n_1=1$,$n_2=2$,$\therefore$点 D 的坐标为$(1,1)$或$(1, 2)$. (3)设直线 BC 的解析式为$y=kx+d$,则$\begin{cases}3k+d=0\\d=3\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=-1\\d=3\end{cases}$,$\therefore$直线 BC 的解析式为$y=-x+3$.$\because E(m,0)$,$ME⊥x$轴,$0＜m＜3$, $\therefore$设$M(m,-m^2+2m+3)$,$F(m,-m+3)$. 又$\because$点$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,3)$,$\therefore AB=3- (-1)=4$,$OC=3$,$EF=-m+3$,$MF=-m^2+ 2m+3-(-m+3)=-m^2+3m$,$BE=3-m$, $\therefore S_1=S_{△ACF}=S_{△ABC}-S_{△ABF}=\frac{1}{2}AB·(OC-EF) =\frac{1}{2}×4×[3-(-m+3)]=2m$,$S_2=S_{△BFM}= \frac{1}{2}MF·BE=\frac{1}{2}(-m^2+3m)(3-m)$.$\because S_1= 4S_2$,$\therefore 2m=4×\frac{1}{2}(-m^2+3m)(3-m)$,化简,得$m(m^2-6m+8)=0$.$\because 0＜m＜3$,$\therefore m^2-6m+8= 0$,解得$m_1=2$,$m_2=4$(不符合题意,舍去),$\therefore$点 E 的坐标为$(2,0)$。