登录
6. 如图5,AB表示一个窗户的高,AM和BN表示射入室内的光线,窗户的下端到地面的距离$BC=1\ \mathrm{m}$,已知某一时刻BC在地面的影长$CN=1.5\ \mathrm{m}$,AC在地面的影长$CM=4.5\ \mathrm{m}$,则窗户的高AB是 ()
A.3 m
B.2 m
C.1.5 m
D.1 m
A.3 m
B.2 m
C.1.5 m
D.1 m
答案
B
解析
【分析】
本题是相似三角形在实际测量中的应用问题，解题思路如下：首先，同一时刻的太阳光线互相平行，可得BN//AM，结合公共角∠C和公共直角，可证明△CBN与△CAM相似；其次利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式求出AC的总长度；最后用AC的长度减去BC的长度，即可得到窗户的高度AB。
【解析】
解：
∵同一时刻太阳光线平行，
∴$BN// AM$，
∴$∠ CNB=∠ CMA$，
又
∵$∠ C=∠ C=90°$，
∴$△ CBN ∽ △ CAM$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{BC}{AC}=\frac{CN}{CM}$
将$BC=1\ \mathrm{m}$，$CN=1.5\ \mathrm{m}$，$CM=4.5\ \mathrm{m}$代入上式：
$\frac{1}{AC}=\frac{1.5}{4.5}$
解得$AC=3\ \mathrm{m}$
∴$AB=AC-BC=3-1=2\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行投影
【点评】
本题是相似三角形的典型实际应用题，解题核心是结合平行光线的特征找到相似三角形，再利用相似的性质计算未知边长，题目结合生活场景，能考查学生把实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
本题是相似三角形在实际测量中的应用问题，解题思路如下：首先，同一时刻的太阳光线互相平行，可得BN//AM，结合公共角∠C和公共直角，可证明△CBN与△CAM相似；其次利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式求出AC的总长度；最后用AC的长度减去BC的长度，即可得到窗户的高度AB。
【解析】
解：
∵同一时刻太阳光线平行，
∴$BN// AM$，
∴$∠ CNB=∠ CMA$，
又
∵$∠ C=∠ C=90°$，
∴$△ CBN ∽ △ CAM$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{BC}{AC}=\frac{CN}{CM}$
将$BC=1\ \mathrm{m}$，$CN=1.5\ \mathrm{m}$，$CM=4.5\ \mathrm{m}$代入上式：
$\frac{1}{AC}=\frac{1.5}{4.5}$
解得$AC=3\ \mathrm{m}$
∴$AB=AC-BC=3-1=2\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行投影
【点评】
本题是相似三角形的典型实际应用题，解题核心是结合平行光线的特征找到相似三角形，再利用相似的性质计算未知边长，题目结合生活场景，能考查学生把实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
7. 图6是由三个大小不等的正方体拼成的几何体,其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长。该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是$ S_1,S_2,S_3 $,则$ S_1,S_2,S_3 $的大小关系是 ()
A.$ S_1＞S_2＞S_3 $
B.$ S_3＞S_2＞S_1 $
C.$ S_2＞S_3＞S_1 $
D.$ S_1＞S_3＞S_2 $
A.$ S_1＞S_2＞S_3 $
B.$ S_3＞S_2＞S_1 $
C.$ S_2＞S_3＞S_1 $
D.$ S_1＞S_3＞S_2 $
答案
D
解析
【分析】
要比较三个视图的面积大小，我们可以通过设参数表示三个正方体的棱长，结合三视图的定义分别求出三个视图的面积，再比较大小即可。首先设大正方体棱长为a，两个较小正方体的棱长分别为m、n，由题可知m+n=a且a＞m＞n＞0；接下来根据三视图的观察角度，分别确定每个视图中能看到的正方形面的数量和对应棱长，计算出$S_1、S_2、S_3$的表达式后比较大小。
【解析】
设大正方体的棱长为a，两个较小正方体的棱长分别为m、n，由题意得$m + n = a$，且$a ＞ m ＞ n ＞ 0$。
1. 求主视图面积$S_1$：从正面观察几何体，可同时看到三个正方体的正面，因此面积为三个正方形的面积和，即$S_1=a^2+m^2+n^2$。
2. 求左视图面积$S_3$：从左面观察几何体，可看到大正方体的侧面和棱长为m的正方体的侧面，棱长为n的正方体被遮挡，因此$S_3=a^2+m^2$。
3. 求俯视图面积$S_2$：从上面观察几何体，两个小正方体都在大正方体上方，仅能看到大正方体的顶面，因此$S_2=a^2$。
比较三个面积的大小：$a^2+m^2+n^2 ＞ a^2+m^2 ＞ a^2$，即$S_1＞S_3＞S_2$。
【答案】
D
【知识点】
1. 简单组合体的三视图
2. 正方形面积计算
3. 代数式大小比较
【点评】
本题考查三视图的识别与面积计算，解题关键是明确不同观察方向下能看到的面，通过设参数表示面积后即可快速比较大小，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
要比较三个视图的面积大小，我们可以通过设参数表示三个正方体的棱长，结合三视图的定义分别求出三个视图的面积，再比较大小即可。首先设大正方体棱长为a，两个较小正方体的棱长分别为m、n，由题可知m+n=a且a＞m＞n＞0；接下来根据三视图的观察角度，分别确定每个视图中能看到的正方形面的数量和对应棱长，计算出$S_1、S_2、S_3$的表达式后比较大小。
【解析】
设大正方体的棱长为a，两个较小正方体的棱长分别为m、n，由题意得$m + n = a$，且$a ＞ m ＞ n ＞ 0$。
1. 求主视图面积$S_1$：从正面观察几何体，可同时看到三个正方体的正面，因此面积为三个正方形的面积和，即$S_1=a^2+m^2+n^2$。
2. 求左视图面积$S_3$：从左面观察几何体，可看到大正方体的侧面和棱长为m的正方体的侧面，棱长为n的正方体被遮挡，因此$S_3=a^2+m^2$。
3. 求俯视图面积$S_2$：从上面观察几何体，两个小正方体都在大正方体上方，仅能看到大正方体的顶面，因此$S_2=a^2$。
比较三个面积的大小：$a^2+m^2+n^2 ＞ a^2+m^2 ＞ a^2$，即$S_1＞S_3＞S_2$。
【答案】
D
【知识点】
1. 简单组合体的三视图
2. 正方形面积计算
3. 代数式大小比较
【点评】
本题考查三视图的识别与面积计算，解题关键是明确不同观察方向下能看到的面，通过设参数表示面积后即可快速比较大小，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 一个几何体由多个大小相同的小正方体搭成，其左视图和俯视图如图7所示，搭这个几何体需要小正方体的个数不可能是（）
A.5
B.6
C.7
D.8
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
A
解析
【分析】
解决本题需遵循“俯视图定底层，左视图定层数”的思路：首先，俯视图的每个小正方形对应几何体最底层的1个小正方体，可直接确定底层小正方体的固定数量；其次，左视图能反映几何体的总层数以及不同行的最大高度，由此推导上层可放置小正方体的最少和最多数量，得到总个数的取值范围，最后匹配选项找出不可能的数值即可。
【解析】
根据三视图的性质分析：
1. 由俯视图可知，该几何体最底层有4个小正方体，每个位置至少有1个小正方体；
2. 结合左视图可知，该几何体共2层，左视图显示对应后排区域的最大高度为2层，前排区域最大高度为1层：
最少总个数：上层仅在后排放置2个小正方体，总个数为$4+2=6$；
最多总个数：后排所有可放位置都加1个上层小正方体，总个数为$4+4=8$；
因此搭成这个几何体的小正方体个数可能为6、7、8，不可能是5。
【答案】
A
【知识点】
三视图判断，几何体构成，视图还原实物
【点评】
本题是三视图的常规考查题型，核心是掌握两种视图的作用：俯视图确定底层小正方体的数量和位置，左/主视图确定各位置的最大层数，解题时注意通过极端情况（最多、最少）确定取值范围即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题需遵循“俯视图定底层，左视图定层数”的思路：首先，俯视图的每个小正方形对应几何体最底层的1个小正方体，可直接确定底层小正方体的固定数量；其次，左视图能反映几何体的总层数以及不同行的最大高度，由此推导上层可放置小正方体的最少和最多数量，得到总个数的取值范围，最后匹配选项找出不可能的数值即可。
【解析】
根据三视图的性质分析：
1. 由俯视图可知，该几何体最底层有4个小正方体，每个位置至少有1个小正方体；
2. 结合左视图可知，该几何体共2层，左视图显示对应后排区域的最大高度为2层，前排区域最大高度为1层：
最少总个数：上层仅在后排放置2个小正方体，总个数为$4+2=6$；
最多总个数：后排所有可放位置都加1个上层小正方体，总个数为$4+4=8$；
因此搭成这个几何体的小正方体个数可能为6、7、8，不可能是5。
【答案】
A
【知识点】
三视图判断，几何体构成，视图还原实物
【点评】
本题是三视图的常规考查题型，核心是掌握两种视图的作用：俯视图确定底层小正方体的数量和位置，左/主视图确定各位置的最大层数，解题时注意通过极端情况（最多、最少）确定取值范围即可快速求解。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共18分)
9.新思维数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影实验,这块正方形木板在地面上形成的投影可能是
(写出符合题意的两个图形即可)。
9.新思维数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影实验,这块正方形木板在地面上形成的投影可能是
(写出符合题意的两个图形即可)。
答案
正方形、矩形（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时首先要明确太阳光属于平行光线，正方形木板的投影属于平行投影，需结合平行投影的性质分析不同摆放角度下的投影形状：①平行投影中，相互平行的边投影后仍保持平行，因此正方形的投影首先满足对边平行的特征；②再分摆放情况讨论：当木板与地面平行时，投影与原图形全等为正方形；当木板倾斜摆放且直角在投影中保持直角时，投影为矩形，任选两种符合要求的图形即可。
【解析】
太阳光属于平行光线，因此正方形木板在地面的投影为平行投影。
根据平行投影的性质：平行的线段在平行投影下仍平行，正方形的两组对边互相平行，因此其投影的两组对边也互相平行，属于平行四边形类图形：
1. 当正方形木板所在平面与地面平行时，投影与原正方形全等，为正方形；
2. 当正方形木板所在平面与地面呈一定夹角，且木板的直角经投影后仍为直角时，投影为矩形。
除此之外投影还可以是平行四边形、菱形、线段等，任选两种符合要求的即可。
【答案】
正方形、矩形（答案不唯一）
【知识点】
1. 平行投影的性质
2. 特殊平行四边形的特征
【点评】
本题属于开放性基础题，结合生活中的投影现象考查平行投影的相关性质，解题时需结合物体与投影面的相对位置分析投影形状，掌握平行投影的基本特征即可正确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确太阳光属于平行光线，正方形木板的投影属于平行投影，需结合平行投影的性质分析不同摆放角度下的投影形状：①平行投影中，相互平行的边投影后仍保持平行，因此正方形的投影首先满足对边平行的特征；②再分摆放情况讨论：当木板与地面平行时，投影与原图形全等为正方形；当木板倾斜摆放且直角在投影中保持直角时，投影为矩形，任选两种符合要求的图形即可。
【解析】
太阳光属于平行光线，因此正方形木板在地面的投影为平行投影。
根据平行投影的性质：平行的线段在平行投影下仍平行，正方形的两组对边互相平行，因此其投影的两组对边也互相平行，属于平行四边形类图形：
1. 当正方形木板所在平面与地面平行时，投影与原正方形全等，为正方形；
2. 当正方形木板所在平面与地面呈一定夹角，且木板的直角经投影后仍为直角时，投影为矩形。
除此之外投影还可以是平行四边形、菱形、线段等，任选两种符合要求的即可。
【答案】
正方形、矩形（答案不唯一）
【知识点】
1. 平行投影的性质
2. 特殊平行四边形的特征
【点评】
本题属于开放性基础题，结合生活中的投影现象考查平行投影的相关性质，解题时需结合物体与投影面的相对位置分析投影形状，掌握平行投影的基本特征即可正确作答。
【难度系数】
0.9
10. 学习相似三角形后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度。如图8，已知小华的身高是1.5 m，他在路灯下的影长为2 m，小华距路灯灯杆的底部4 m，则路灯灯泡距地面的高度是 m。
答案
$\boldsymbol{4.5}$
解析
【分析】
这道题属于相似三角形的实际应用问题，解题时首先要明确：路灯和小华都垂直于地面，因此小华的身高与路灯的高度互相平行，可得到一对相似的直角三角形；接下来确定相似三角形的对应边：小华的身高对应路灯的高度，小华的影长对应路灯底部到影子末端的总水平距离；最后利用相似三角形对应边成比例列方程求解即可。
【解析】
设路灯灯泡距地面的高度为$ h $ m。
∵ 路灯杆、小华都垂直于地面，
∴ 小华的身高与路灯高度平行，可得两个直角三角形相似，
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{\mathrm{小华的身高}}{\mathrm{路灯高度}}=\frac{\mathrm{小华的影长}}{\mathrm{路灯底部到影子末端的距离}}$
已知小华身高1.5m，影长2m，小华距路灯底部4m，因此路灯底部到影子末端的距离为$ 2+4=6 $ m，代入得：
$\frac{1.5}{h}=\frac{2}{6}$
解得：$ 2h=1.5×6=9 $，$ h=4.5 $。
【答案】
$\boldsymbol{4.5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在生活中的常见应用题型，解题的核心是根据平行关系找到相似三角形，准确对应各边的长度，代入比例式计算即可，解题时要注意不要误将小华到路灯的距离当作总水平距离代入计算。
【难度系数】
0.8
这道题属于相似三角形的实际应用问题，解题时首先要明确：路灯和小华都垂直于地面，因此小华的身高与路灯的高度互相平行，可得到一对相似的直角三角形；接下来确定相似三角形的对应边：小华的身高对应路灯的高度，小华的影长对应路灯底部到影子末端的总水平距离；最后利用相似三角形对应边成比例列方程求解即可。
【解析】
设路灯灯泡距地面的高度为$ h $ m。
∵ 路灯杆、小华都垂直于地面，
∴ 小华的身高与路灯高度平行，可得两个直角三角形相似，
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{\mathrm{小华的身高}}{\mathrm{路灯高度}}=\frac{\mathrm{小华的影长}}{\mathrm{路灯底部到影子末端的距离}}$
已知小华身高1.5m，影长2m，小华距路灯底部4m，因此路灯底部到影子末端的距离为$ 2+4=6 $ m，代入得：
$\frac{1.5}{h}=\frac{2}{6}$
解得：$ 2h=1.5×6=9 $，$ h=4.5 $。
【答案】
$\boldsymbol{4.5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在生活中的常见应用题型，解题的核心是根据平行关系找到相似三角形，准确对应各边的长度，代入比例式计算即可，解题时要注意不要误将小华到路灯的距离当作总水平距离代入计算。
【难度系数】
0.8
11. 四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下,在地面上的投影(阴影部分)效果如图9所示,则在字母“L”“K”“C”的投影中,与字母“N”属于同一种投影的有。
答案
解：字母“N”的投影为中心投影，其投影线交于同一点。
观察各投影的对应顶点连线可知，字母“L”和“K”的投影的对应顶点连线也交于同一点，同样属于中心投影；字母“C”的投影的投影线互相平行，属于平行投影。
因此与字母“N”属于同一种投影的有L、K。
观察各投影的对应顶点连线可知，字母“L”和“K”的投影的对应顶点连线也交于同一点，同样属于中心投影；字母“C”的投影的投影线互相平行，属于平行投影。
因此与字母“N”属于同一种投影的有L、K。
解析
【分析】
解题首先要明确中心投影和平行投影的核心区别：中心投影由点光源形成，物体各顶点与投影对应顶点的连线会交于同一点；平行投影由平行光线（如太阳光）形成，对应顶点的连线互相平行。我们先判断字母N的投影类型，再逐一分析L、K、C的投影对应顶点连线的特点，就能找出和N同类型的投影。
【解析】
首先判断字母N的投影类型：观察可知N的各顶点与其投影对应顶点的连线交于同一点，因此N的投影属于中心投影。
再逐一分析其余字母的投影：
1. 字母L：各顶点与投影对应顶点的连线交于同一点，属于中心投影；
2. 字母K：各顶点与投影对应顶点的连线交于同一点，属于中心投影；
3. 字母C：各顶点与投影对应顶点的连线互相平行，属于平行投影。
综上，与字母N属于同一种投影的是L、K。
【答案】
L、K
【知识点】
中心投影，平行投影，投影类型判别
【点评】
本题侧重考查投影相关基础概念的应用，解题核心是抓住两种投影的本质区别，即对应顶点连线是否交于同一点，熟练掌握概念就能快速得出结论。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确中心投影和平行投影的核心区别：中心投影由点光源形成，物体各顶点与投影对应顶点的连线会交于同一点；平行投影由平行光线（如太阳光）形成，对应顶点的连线互相平行。我们先判断字母N的投影类型，再逐一分析L、K、C的投影对应顶点连线的特点，就能找出和N同类型的投影。
【解析】
首先判断字母N的投影类型：观察可知N的各顶点与其投影对应顶点的连线交于同一点，因此N的投影属于中心投影。
再逐一分析其余字母的投影：
1. 字母L：各顶点与投影对应顶点的连线交于同一点，属于中心投影；
2. 字母K：各顶点与投影对应顶点的连线交于同一点，属于中心投影；
3. 字母C：各顶点与投影对应顶点的连线互相平行，属于平行投影。
综上，与字母N属于同一种投影的是L、K。
【答案】
L、K
【知识点】
中心投影，平行投影，投影类型判别
【点评】
本题侧重考查投影相关基础概念的应用，解题核心是抓住两种投影的本质区别，即对应顶点连线是否交于同一点，熟练掌握概念就能快速得出结论。
【难度系数】
0.8
