登录
1. 小星在学习中遇到这样一个问题:如图 
,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$AC=10\ \mathrm{cm}$,点$E$在线段$CB$上,且$EC=2\ \mathrm{cm}$,$P$是线段$BE$上一动点,连接$AP$,以点$A$为圆心,$AP$的长为半径画弧交线段$AE$于点$Q$,连接$PQ$,当$BP$是$△ PQE$中某条边的$1.5$倍时,求$BP$的长.小星的探究过程如下:
(1)小星分析发现,有三种可能存在的情况,其中,当$BP=1.5PE$时,通过推理计算可得$BP$的长为
(2)小星将线段$BP$的长度记为$x$,$PQ$和$QE$的长度分别记为$y_1$,$y_2$,并分别对$y_1$,$y_2$随着$x$的变化规律进行探究.小星通过取点、画图、测量,得到了下表中的几组对应值:
①在探究过程中,小星发现当$BP=0$时,无须测量可以求出$QE$的长,此时$QE$的长约为
②利用表格中的数据,小星已经在图2所示的平面直角坐标系中画出了$y_1$关于$x$的函数图象,请你根据上文中$y_2$和$x$的7组对应值,在此平面直角坐标系中描点,并画出$y_2$关于$x$的函数图象.
(3)小星发现,想用函数图象彻底解决这个问题,还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象,请直接写出这个函数的解析式:
(4)请结合图象直接写出:当$BP$是$PQ$或$QE$的$1.5$倍时,$BP$的长约为
,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$AC=10\ \mathrm{cm}$,点$E$在线段$CB$上,且$EC=2\ \mathrm{cm}$,$P$是线段$BE$上一动点,连接$AP$,以点$A$为圆心,$AP$的长为半径画弧交线段$AE$于点$Q$,连接$PQ$,当$BP$是$△ PQE$中某条边的$1.5$倍时,求$BP$的长.小星的探究过程如下:(1)小星分析发现,有三种可能存在的情况,其中,当$BP=1.5PE$时,通过推理计算可得$BP$的长为
3.6
$\mathrm{cm}$.但当他进一步研究其余两种情况时,发现很难通过常规的推理计算得到$BP$的长,于是尝试利用学习函数的经验解决问题.(2)小星将线段$BP$的长度记为$x$,$PQ$和$QE$的长度分别记为$y_1$,$y_2$,并分别对$y_1$,$y_2$随着$x$的变化规律进行探究.小星通过取点、画图、测量,得到了下表中的几组对应值:
①在探究过程中,小星发现当$BP=0$时,无须测量可以求出$QE$的长,此时$QE$的长约为
2.48
$\mathrm{cm}$(结果精确到$0.01$.参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414$);②利用表格中的数据,小星已经在图2所示的平面直角坐标系中画出了$y_1$关于$x$的函数图象,请你根据上文中$y_2$和$x$的7组对应值,在此平面直角坐标系中描点,并画出$y_2$关于$x$的函数图象.
(3)小星发现,想用函数图象彻底解决这个问题,还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象,请直接写出这个函数的解析式:
$y=\frac{2}{3}x$
,并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象.(4)请结合图象直接写出:当$BP$是$PQ$或$QE$的$1.5$倍时,$BP$的长约为
2.8 cm 或 3.1 cm
(结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}$).答案
(1)3.6
(2)①2.48
②$y_2$关于$x$的函数图象如图所示.
(3)$y=\frac{2}{3}x$
该函数的图象如图所示.
(4)2.8 cm 或 3.1 cm
