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7 小明与小刚一起玩抛两枚硬币的游戏，其规则如下：若抛出两个正面，则小明得1分；若抛出其他结果，则小刚得1分；谁先得10分，谁就获胜。这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏规则，下列做法中，错误的是（
A.把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”
B.把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”
C.把“小明得1分”改为“小明得3分”
D.把“小刚得1分”改为“小刚得3分”
D
）A.把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”
B.把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”
C.把“小明得1分”改为“小明得3分”
D.把“小刚得1分”改为“小刚得3分”
答案
7. D
解析
【分析】
要判断修改后的游戏规则是否公平，核心是看双方每轮的期望得分（或获胜概率）是否相等。解题时首先用枚举法列出抛两枚硬币的所有等可能结果，计算原规则下双方得分的概率，再逐一分析每个选项修改后双方的得分情况，判断是否满足公平的条件，最终选出错误的修改方式。
【解析】
抛两枚均匀硬币，所有等可能的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
原规则中：$P(\mathrm{抛出两个正面})=\frac{1}{4}$，$P(\mathrm{抛出其他结果})=\frac{3}{4}$。
逐一分析选项：
A. 修改后小明得分的情况为“抛出两个同面”，包含（正，正）、（反，反）2种结果，概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，此时小刚得分的概率也为$\frac{1}{2}$，双方得分概率相等，游戏公平，A做法正确，不符合题意；
B. 修改后小刚得分的情况为“抛出两个反面”，此时小明得分概率为$\frac{1}{4}$，小刚得分概率为$\frac{1}{4}$，剩余两种一正一反的情况双方均不得分，双方得分概率相等，游戏公平，B做法正确，不符合题意；
C. 修改后小明每轮期望得分为$\frac{1}{4}×3=\frac{3}{4}$，小刚每轮期望得分为$\frac{3}{4}×1=\frac{3}{4}$，双方期望得分相等，游戏公平，C做法正确，不符合题意；
D. 修改后小刚每轮期望得分为$\frac{3}{4}×3=\frac{9}{4}$，小明每轮期望得分为$\frac{1}{4}×1=\frac{1}{4}$，双方期望得分不相等，游戏不公平，D做法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题考查概率在游戏公平性判断中的应用，解题关键是明确游戏公平的本质是双方得分的概率或每轮期望得分相等，通过枚举法列出所有等可能结果即可逐一验证选项，解题时需注意题干要求选出错误的修改方式，避免审题失误。
【难度系数】
0.7
要判断修改后的游戏规则是否公平，核心是看双方每轮的期望得分（或获胜概率）是否相等。解题时首先用枚举法列出抛两枚硬币的所有等可能结果，计算原规则下双方得分的概率，再逐一分析每个选项修改后双方的得分情况，判断是否满足公平的条件，最终选出错误的修改方式。
【解析】
抛两枚均匀硬币，所有等可能的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
原规则中：$P(\mathrm{抛出两个正面})=\frac{1}{4}$，$P(\mathrm{抛出其他结果})=\frac{3}{4}$。
逐一分析选项：
A. 修改后小明得分的情况为“抛出两个同面”，包含（正，正）、（反，反）2种结果，概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，此时小刚得分的概率也为$\frac{1}{2}$，双方得分概率相等，游戏公平，A做法正确，不符合题意；
B. 修改后小刚得分的情况为“抛出两个反面”，此时小明得分概率为$\frac{1}{4}$，小刚得分概率为$\frac{1}{4}$，剩余两种一正一反的情况双方均不得分，双方得分概率相等，游戏公平，B做法正确，不符合题意；
C. 修改后小明每轮期望得分为$\frac{1}{4}×3=\frac{3}{4}$，小刚每轮期望得分为$\frac{3}{4}×1=\frac{3}{4}$，双方期望得分相等，游戏公平，C做法正确，不符合题意；
D. 修改后小刚每轮期望得分为$\frac{3}{4}×3=\frac{9}{4}$，小明每轮期望得分为$\frac{1}{4}×1=\frac{1}{4}$，双方期望得分不相等，游戏不公平，D做法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题考查概率在游戏公平性判断中的应用，解题关键是明确游戏公平的本质是双方得分的概率或每轮期望得分相等，通过枚举法列出所有等可能结果即可逐一验证选项，解题时需注意题干要求选出错误的修改方式，避免审题失误。
【难度系数】
0.7
8 小强、小亮、小文三名同学玩抛硬币游戏.三人同时各抛出一枚均匀硬币,若出现三个正面向上或三个反面向上,则小强赢;若出现两个正面向上和一个反面向上,则小亮赢;若出现一个正面向上和两个反面向上,则小文赢.有下列说法:① 小强赢的概率最小;② 小文和小亮赢的概率相等;③ 小文赢的概率是$\frac{3}{8}$;④ 这是一个公平的游戏.其中,正确的是
①②③
(填序号).答案
8. ①②③
解析
【分析】
要判断各说法是否正确，需先计算出三名同学各自赢的概率，再逐一比对。首先明确抛三枚均匀硬币的所有等可能结果总数，再分别统计三人赢对应的结果数，根据“概率=所求事件包含的结果数÷所有等可能结果总数”求出三人赢的概率，最后判断说法正误即可。
【解析】
三人同时各抛一枚均匀硬币，每枚硬币有正面向上、反面向上2种等可能结果，因此总共有$2×2×2=8$种等可能的结果，分别为：（正，正，正）、（正，正，反）、（正，反，正）、（正，反，反）、（反，正，正）、（反，正，反）、（反，反，正）、（反，反，反）。
分别计算三人赢的概率：
1. 小强赢的情况为三个正面向上或三个反面向上，共2种，因此$P(\mathrm{小强赢})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$；
2. 小亮赢的情况为两个正面向上、一个反面向上，共3种，因此$P(\mathrm{小亮赢})=\frac{3}{8}$；
3. 小文赢的情况为一个正面向上、两个反面向上，共3种，因此$P(\mathrm{小文赢})=\frac{3}{8}$。
逐一判断说法：
① 小强赢的概率$\frac{1}{4}$小于小亮、小文赢的概率$\frac{3}{8}$，因此小强赢的概率最小，说法正确；
② 小文和小亮赢的概率均为$\frac{3}{8}$，二者相等，说法正确；
③ 小文赢的概率是$\frac{3}{8}$，说法正确；
④ 三人赢的概率不相等，因此游戏不公平，说法错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
古典概型概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题核心是不重不漏地列出所有等可能的结果，再结合概率公式计算各事件的概率，通过概率对比即可判断说法正误和游戏是否公平。
【难度系数】
0.7
要判断各说法是否正确，需先计算出三名同学各自赢的概率，再逐一比对。首先明确抛三枚均匀硬币的所有等可能结果总数，再分别统计三人赢对应的结果数，根据“概率=所求事件包含的结果数÷所有等可能结果总数”求出三人赢的概率，最后判断说法正误即可。
【解析】
三人同时各抛一枚均匀硬币，每枚硬币有正面向上、反面向上2种等可能结果，因此总共有$2×2×2=8$种等可能的结果，分别为：（正，正，正）、（正，正，反）、（正，反，正）、（正，反，反）、（反，正，正）、（反，正，反）、（反，反，正）、（反，反，反）。
分别计算三人赢的概率：
1. 小强赢的情况为三个正面向上或三个反面向上，共2种，因此$P(\mathrm{小强赢})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$；
2. 小亮赢的情况为两个正面向上、一个反面向上，共3种，因此$P(\mathrm{小亮赢})=\frac{3}{8}$；
3. 小文赢的情况为一个正面向上、两个反面向上，共3种，因此$P(\mathrm{小文赢})=\frac{3}{8}$。
逐一判断说法：
① 小强赢的概率$\frac{1}{4}$小于小亮、小文赢的概率$\frac{3}{8}$，因此小强赢的概率最小，说法正确；
② 小文和小亮赢的概率均为$\frac{3}{8}$，二者相等，说法正确；
③ 小文赢的概率是$\frac{3}{8}$，说法正确；
④ 三人赢的概率不相等，因此游戏不公平，说法错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
古典概型概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题核心是不重不漏地列出所有等可能的结果，再结合概率公式计算各事件的概率，通过概率对比即可判断说法正误和游戏是否公平。
【难度系数】
0.7
9 [2024 甘肃]在一个不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1,2,3,4.甲、乙两人玩摸球游戏，其规则如下：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由.
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由.
答案
9. (1) 画树状图如图所示. 由图可知,共有 12 种等可能的结果,其中和为奇数的结果有 8 种,
∴ 甲获胜的概率为$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
(2) 不公平 理由:由图可知,和为偶数的结果有 4 种,
∴ 乙获胜的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. $\because \frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$,
∴ 游戏不公平.
解析
【分析】
（1）求甲获胜的概率首先明确本次摸球为不放回试验，所有结果出现的可能性相等，属于古典概型。可通过树状图枚举所有等可能的结果，再统计两数之和为奇数的结果数，最后根据概率公式“概率=所求事件结果数÷所有等可能结果数”计算甲获胜的概率。
（2）判断游戏是否公平，只需分别计算甲、乙两人获胜的概率，若二者概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
（1）根据题意绘制树状图，由树状图可得，所有等可能的结果共有12种，其中两球上数字之和为奇数的结果有8种，
∴$P(甲获胜)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
（2）游戏规则对双方不公平，理由如下：
由树状图可知，两球上数字之和为偶数的结果有4种，
∴$P(乙获胜)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，
∵$\frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$，即甲、乙获胜的概率不相等，
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平。
【答案】
(1) 画树状图如图所示. 由图可知,共有 12 种等可能的结果,其中和为奇数的结果有 8 种,
∴ 甲获胜的概率为$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
(2) 不公平 理由:由图可知,和为偶数的结果有 4 种,
∴ 乙获胜的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. $\because \frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$,
∴ 游戏不公平.
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题考查概率的计算与游戏公平性的判断，解题核心是通过树状图准确枚举出所有等可能的结果，再结合概率公式计算对应事件的概率，通过比较双方获胜概率的大小即可判断游戏是否公平，属于概率基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
（1）求甲获胜的概率首先明确本次摸球为不放回试验，所有结果出现的可能性相等，属于古典概型。可通过树状图枚举所有等可能的结果，再统计两数之和为奇数的结果数，最后根据概率公式“概率=所求事件结果数÷所有等可能结果数”计算甲获胜的概率。
（2）判断游戏是否公平，只需分别计算甲、乙两人获胜的概率，若二者概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
（1）根据题意绘制树状图，由树状图可得，所有等可能的结果共有12种，其中两球上数字之和为奇数的结果有8种，
∴$P(甲获胜)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
（2）游戏规则对双方不公平，理由如下：
由树状图可知，两球上数字之和为偶数的结果有4种，
∴$P(乙获胜)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，
∵$\frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$，即甲、乙获胜的概率不相等，
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平。
【答案】
(1) 画树状图如图所示. 由图可知,共有 12 种等可能的结果,其中和为奇数的结果有 8 种,
∴ 甲获胜的概率为$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
(2) 不公平 理由:由图可知,和为偶数的结果有 4 种,
∴ 乙获胜的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. $\because \frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$,
∴ 游戏不公平.
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题考查概率的计算与游戏公平性的判断，解题核心是通过树状图准确枚举出所有等可能的结果，再结合概率公式计算对应事件的概率，通过比较双方获胜概率的大小即可判断游戏是否公平，属于概率基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
10 如图,有四张背面完全相同的纸牌 A,B,C,D,其正面分别画有四种不同的几何图形,将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上.
(1) 从四张纸牌中随机摸出一张,摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是
(2) 小明和小亮约定做一个游戏,其规则如下:先由小明随机摸出一张,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张.若摸出的两张牌的正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形,则小亮获胜;否则小明获胜.这个游戏公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由(纸牌用 A,B,C,D 表示).若不公平,请你帮忙修改游戏规则,使游戏公平.
(1) 从四张纸牌中随机摸出一张,摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是
$\frac{3}{4}$
.(2) 小明和小亮约定做一个游戏,其规则如下:先由小明随机摸出一张,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张.若摸出的两张牌的正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形,则小亮获胜;否则小明获胜.这个游戏公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由(纸牌用 A,B,C,D 表示).若不公平,请你帮忙修改游戏规则,使游戏公平.
答案
10. (1) $\frac{3}{4}$
(2) 不公平 理由:列表如下：
| 小明 | 小亮A | 小亮B | 小亮C | 小亮D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表可知,共有 12 种等可能的结果,其中摸出的两张牌面的正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有 2 种,即(A,C),(C,A). $\therefore P$(两张牌面的正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$. $\therefore$ 小亮获胜的概率为$\frac{1}{6}$,则小明获胜的概率为$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$. $\therefore$ 游戏不公平. 修改规则不唯一,如:若摸出的两张牌的正面图形都是中心对称图形,则小明获胜;否则小亮获胜.
(2) 不公平 理由:列表如下：
| 小明 | 小亮A | 小亮B | 小亮C | 小亮D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表可知,共有 12 种等可能的结果,其中摸出的两张牌面的正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有 2 种,即(A,C),(C,A). $\therefore P$(两张牌面的正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$. $\therefore$ 小亮获胜的概率为$\frac{1}{6}$,则小明获胜的概率为$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$. $\therefore$ 游戏不公平. 修改规则不唯一,如:若摸出的两张牌的正面图形都是中心对称图形,则小明获胜;否则小亮获胜.
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要明确中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合即为中心对称图形。先判断4个图形中中心对称图形的数量，再根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算即可。
(2) 解决第二问首先要筛选出“既是轴对称图形又是中心对称图形”的图形，再通过列表法列举出不放回抽取两张牌的所有等可能结果，分别计算小亮和小明的获胜概率，若二者概率相等则游戏公平，否则不公平。修改规则时只要保证双方获胜概率相等即可。
【解析】
(1) 先判断4个图形的中心对称属性：圆(A)、正六边形(C)、平行四边形(D)是中心对称图形，共3个，总共有4张纸牌，
因此摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为$\frac{3}{4}$。
(2) 先筛选既是轴对称又是中心对称的图形：圆(A)、正六边形(C)，共2个。
列表统计所有不放回抽取的等可能结果：
| 小明 | 小亮A | 小亮B | 小亮C | 小亮D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表可知共有12种等可能的结果，其中两张牌图形既是轴对称又是中心对称的结果有2种，即(A,C)、(C,A)，
因此$P(\mathrm{小亮获胜})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，
$P(\mathrm{小明获胜})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$，
二者概率不相等，因此游戏不公平。
修改规则示例：若摸出的两张牌的正面图形都是中心对称图形，则小明获胜；否则小亮获胜（规则不唯一，只要双方获胜概率相等即可）。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$
(2) 不公平，理由见解析；修改规则示例如：若摸出的两张牌的正面图形都是中心对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜（规则不唯一）
【知识点】
对称图形识别，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题结合几何图形的性质考查概率的实际应用，解题关键是先准确判断图形的对称属性，再通过列举法求出对应事件的概率，修改规则时只要保证双方获胜概率相等即可，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问首先要明确中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合即为中心对称图形。先判断4个图形中中心对称图形的数量，再根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算即可。
(2) 解决第二问首先要筛选出“既是轴对称图形又是中心对称图形”的图形，再通过列表法列举出不放回抽取两张牌的所有等可能结果，分别计算小亮和小明的获胜概率，若二者概率相等则游戏公平，否则不公平。修改规则时只要保证双方获胜概率相等即可。
【解析】
(1) 先判断4个图形的中心对称属性：圆(A)、正六边形(C)、平行四边形(D)是中心对称图形，共3个，总共有4张纸牌，
因此摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为$\frac{3}{4}$。
(2) 先筛选既是轴对称又是中心对称的图形：圆(A)、正六边形(C)，共2个。
列表统计所有不放回抽取的等可能结果：
| 小明 | 小亮A | 小亮B | 小亮C | 小亮D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表可知共有12种等可能的结果，其中两张牌图形既是轴对称又是中心对称的结果有2种，即(A,C)、(C,A)，
因此$P(\mathrm{小亮获胜})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，
$P(\mathrm{小明获胜})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$，
二者概率不相等，因此游戏不公平。
修改规则示例：若摸出的两张牌的正面图形都是中心对称图形，则小明获胜；否则小亮获胜（规则不唯一，只要双方获胜概率相等即可）。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$
(2) 不公平，理由见解析；修改规则示例如：若摸出的两张牌的正面图形都是中心对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜（规则不唯一）
【知识点】
对称图形识别，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题结合几何图形的性质考查概率的实际应用，解题关键是先准确判断图形的对称属性，再通过列举法求出对应事件的概率，修改规则时只要保证双方获胜概率相等即可，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
