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11. 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，这个两位数加上45后，结果恰好为这个两位数十位数字与个位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（
A.25
B.16
C.34
D.61
B
）A.25
B.16
C.34
D.61
答案
11. B 解析:设这个两位数的十位数字是 $x$,则它的个位数字是 $7-x.$ 由题意,得 $10x+(7-x)+45=10(7-x)+x$,解得 $x=1$,则 $7-x=6$,所以这个两位数是 16.
12. 若关于x的方程$6-2k=2(x+3)$与$3(2x-2)=2-3x$的解相同，则$k=$
$-\frac{8}{9}$
。答案
12. $-\frac{8}{9}$ 解析:解方程 $6-2k=2(x+3)$,得 $x=-k.$ 解方程 $3(2x-2)=2-3x$,得 $x=\frac{8}{9}.$ 因为这两个方程的解相同,所以 $-k=\frac{8}{9}$,解得 $k=-\frac{8}{9}.$
13. 若$y=3$是方程$2+(m-y)=2y$的解，则关于$x$的方程$2mx=(m+1)(3x-5)$的解是
$x=4$
。答案
13. $x=4$ 解析:把 $y=3$ 代入 $2+(m-y)=2y$,得 $2+(m-3)=6$,解得 $m=7$,所以方程 $2mx=(m+1)(3x-5)$ 即为 $14x=8(3x-5)$,解得 $x=4.$
14. 小明解关于$y$的一元一次方程$3(y+a)=2y+4$，在去括号时，将$a$漏乘了3，得到方程的解为$y=3$，则原方程的解为
$y=1$
。答案
14. $y=1$ 解析:由题意,得 $y=3$ 是方程 $3y+a=2y+4$ 的解,则 $3×3+a=2×3+4$,解得 $a=1$,所以原方程即为 $3(y+1)=2y+4$,解得 $y=1.$
15. 新素养 运算能力 解下列方程：
(1) $\frac{2}{3}[\frac{3}{2}(x-4)-6]=2x+1$；
(2) $\frac{4}{3}[\frac{3}{2}(\frac{x}{2}-1)-3]-2x=5(x+1)+1$。
(1) $\frac{2}{3}[\frac{3}{2}(x-4)-6]=2x+1$；
(2) $\frac{4}{3}[\frac{3}{2}(\frac{x}{2}-1)-3]-2x=5(x+1)+1$。
答案
15. (1) $x=-9.$ (2) $x=-2.$
16. 对于任意有理数$a,b$,定义一种新的运算“△”:$a△b=a^2+2b$,如:$3△(-2)=3^2+2×(-2)=5$.
(1) 求$2△(-3)$的值;
(2) 若$2△x=2$,求$x$的值;
(3) 若$(-2)△(1△x)=x+9$,求$x$的值.
(1) 求$2△(-3)$的值;
(2) 若$2△x=2$,求$x$的值;
(3) 若$(-2)△(1△x)=x+9$,求$x$的值.
答案
16. (1) 由题意,得 $2△(-3)=2^2+2×(-3)=-2.$
(2) 由题意,得 $2△x=4+2x=2$,解得 $x=-1.$
(3) 由题意,得 $1△x=1+2x$,所以 $(-2)△(1△x)=(-2)△(1+2x)=4+2(1+2x)=x+9$,解得 $x=1.$
(2) 由题意,得 $2△x=4+2x=2$,解得 $x=-1.$
(3) 由题意,得 $1△x=1+2x$,所以 $(-2)△(1△x)=(-2)△(1+2x)=4+2(1+2x)=x+9$,解得 $x=1.$
17. (2026·江苏连云港期末)已知关于$ x $的方程$ mx + 2 = 2(m - x) $的解满足$ \left| x - \dfrac{1}{2} \right| - 1 = 0 $，则$ m $的值为（
A.$ 10 $或$ \dfrac{2}{5} $
B.$ 10 $或$ \dfrac{5}{2} $
C.$ \dfrac{2}{5} $或$ \dfrac{5}{2} $
D.$ 5 $或$ 10 $
A
）A.$ 10 $或$ \dfrac{2}{5} $
B.$ 10 $或$ \dfrac{5}{2} $
C.$ \dfrac{2}{5} $或$ \dfrac{5}{2} $
D.$ 5 $或$ 10 $
答案
17. A 解析:由 $\left| x-\frac{1}{2} \right|-1=0$,得 $\left| x-\frac{1}{2} \right|=1$,所以 $x-\frac{1}{2}=1$ 或 $-1$,所以 $x=\frac{3}{2}$ 或 $-\frac{1}{2}$,所以方程 $mx+2=2(m-x)$ 的解为 $x=\frac{3}{2}$ 或 $x=-\frac{1}{2}.$ 把 $x=\frac{3}{2}$ 代入 $mx+2=2(m-x)$,得 $\frac{3}{2}m+2=2(m-\frac{3}{2})$,解得 $m=10$; 把 $x=-\frac{1}{2}$ 代入 $mx+2=2(m-x)$,得 $-\frac{1}{2}m+2=2(m+\frac{1}{2})$,解得 $m=\frac{2}{5}.$ 综上所述,$m$ 的值为 10 或 $\frac{2}{5}.$
18. 对于任意有理数$a,b$,定义一种新的运算“*”:$a*b=a^2 - 2ab$,如:$3*4=3^2 - 2×3×4=-15$.
(1)计算:$(-5)*6=$
(2)若$3*(\frac{1}{2}x -1)=10$,则$x=$
(1)计算:$(-5)*6=$
85
;(2)若$3*(\frac{1}{2}x -1)=10$,则$x=$
$\frac{5}{3}$
.答案
18. (1) 85 解析: $(-5)*6=(-5)^2-2×(-5)×6=85.$
(2) $\frac{5}{3}$ 解析: 因为 $3*(\frac{1}{2}x-1)=10$,所以 $3^2-2×3×(\frac{1}{2}x-1)=10$,解得 $x=\frac{5}{3}.$
(2) $\frac{5}{3}$ 解析: 因为 $3*(\frac{1}{2}x-1)=10$,所以 $3^2-2×3×(\frac{1}{2}x-1)=10$,解得 $x=\frac{5}{3}.$
19. 新趋势 推导探究【阅读材料】我们知道方程$ax = b$的解有三种情况：
① 当$a ≠ 0$时，方程有唯一解；
② 当$a = 0$且$b ≠ 0$时，方程无解；
③ 当$a = 0$且$b = 0$时，方程有无数解。
【解决问题】已知关于$x$的方程$3(ax - 2) - (x + 1) = 2(\frac{1}{2} + x)$。
（1）当$a$为何值时，方程有唯一解？
（2）当$a$为何值时，方程无解？
① 当$a ≠ 0$时，方程有唯一解；
② 当$a = 0$且$b ≠ 0$时，方程无解；
③ 当$a = 0$且$b = 0$时，方程有无数解。
【解决问题】已知关于$x$的方程$3(ax - 2) - (x + 1) = 2(\frac{1}{2} + x)$。
（1）当$a$为何值时，方程有唯一解？
（2）当$a$为何值时，方程无解？
答案
19. 去括号,得 $3ax-6-x-1=1+2x.$ 移项、合并同类项,得 $(3a-3)x=8.$
(1) 当 $3a-3≠0$,即 $a≠1$ 时,方程有唯一解.
(2) 当 $3a-3=0$,即 $a=1$ 时,方程无解.
(1) 当 $3a-3≠0$,即 $a≠1$ 时,方程有唯一解.
(2) 当 $3a-3=0$,即 $a=1$ 时,方程无解.
