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14 (2025·扬州宝应期末)如图，$\odot O$的直径AB的长度为定值$a$，AM和BN是它的两条切线，DE与$\odot O$相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点.设$AD=x$，$BC=y$，当$x$，$y$的值变化时，下列代数式的值不变的是(
A.$x-y$
B.$x+y$
C.$xy$
D.$x^2+y^2$
C
).A.$x-y$
B.$x+y$
C.$xy$
D.$x^2+y^2$
答案
14.C
15 如图，$\odot O$与$∠ ABC$的两边分别相切于点$D$，$E$，$F$为$\odot O$上一点（不与$D$，$E$重合），若$∠ ABC=50°$，则$∠ DFE=$
$65°$或$115°$
。答案
15. $65°$ 或 $115°$
16 如图，直线$a ⊥ b$，垂足为$H$，点$P$在直线$b$上，$PH=4\ \mathrm{cm}$，$O$为直线$b$上一动点，若以$1\ \mathrm{cm}$为半径的$\odot O$与直线$a$相切，则$OP$的长为
3 cm 或 5 cm
。答案
16. 3 cm 或 5 cm
17 如图，在扇形AOB中，点C，D在$\overset{\frown}{AB}$上，连接AD，BC交于点E，若$∠ AOB=120°$，$\overset{\frown}{CD}$的度数为$50°$，则$∠ AEB=$
145
°。答案
17. 145
18 新考法 最值问题（2026·淮安盱眙期中）如图，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰三角形ABE，其中AB=AE，过点E作EF⊥AB于点F，若点P是△AEF的内心，AB=4，连接CP，则CP的最小值是
$2\sqrt{10}-2\sqrt{2}$
。答案
18. $2\sqrt{10}-2\sqrt{2}$
19 (2025·徐州二模)已知AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，过点C作$\odot O$的切线CP交AB的延长线于点P，D为弧AC上一点，连接AD，DC，BC.
(1)如图(1)，若$∠ P＝42°$，求$∠ ADC$的大小；
(2)如图(2)，连接BD，若$BC＝DC＝2\sqrt{5}$，$BD＝8$，求$\odot O$的半径.
(1)如图(1)，若$∠ P＝42°$，求$∠ ADC$的大小；
(2)如图(2)，连接BD，若$BC＝DC＝2\sqrt{5}$，$BD＝8$，求$\odot O$的半径.
答案
19. (1)连接OC,如图(1).
$\because CP$ 是 $\odot O$ 的切线,
$\therefore OC⊥ CP,∠ OCP=90°$.
$\because ∠ P=42°,\therefore ∠ POC=48°$.
$\because OB=OC$,
$\therefore ∠ OBC=∠ BCO=66°$.
$\because$ 四边形 ABCD 为 $\odot O$ 的内接四边形,
$\therefore ∠ ADC+∠ OBC=180°$,
$\therefore ∠ ADC=114°$.
(2)连接OC,OD,OC与BD交于点E,如图(2)所示.
$\because BC=DC=2\sqrt{5}$,
$\therefore ∠ BOC=∠ COD$.
$\because OB=OD$,
$\therefore OC⊥ BD,BE=\frac{1}{2}BD=4$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$CE^2+BE^2=BC^2$,
$\therefore CE^2+4^2=(2\sqrt{5})^2$,
$\therefore CE=2$(负值已舍去).
设 $\odot O$ 的半径为 r.
在 $\mathrm{Rt}△ BOE$ 中,$OE^2+BE^2=OB^2$,
$\therefore (r-2)^2+4^2=r^2$,解得 $r=5$.
故 $\odot O$ 的半径为 5.
20 如图，$△ ABC$ 的内切圆$\odot O$与 $BC$，$CA$，$AB$分别相切于点 $D$，$E$，$F$. (1)若$∠ ABC=50°$，$∠ ACB=75°$，求$∠ BOC$的度数；(2)若 $AB=13$，$BC=11$，$AC=10$，求 $AF$ 的长. 
（第20题）
（第20题）答案
20. (1)$\because △ ABC$ 的内切圆 $\odot O$ 与 $BC,CA,AB$ 分别相切于点 $D,E,F,\therefore ∠ DBO=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ DCO=\frac{1}{2}∠ ACB$,
$\therefore ∠ DBO+∠ DCO=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×(50°+75°)=62.5°$,
$\therefore$ 在 $△ BOC$ 中,$∠ BOC=180°-(∠ DBO+∠ DCO)=180°-62.5°=117.5°$.
(2)$\because \odot O$ 是 $△ ABC$ 的内切圆,
$\therefore AE=AF,BD=BF,CD=CE$.
设 $AE=x,BD=y,CD=z$.
$\because AB=13,BC=11,AC=10$,
$\therefore x+y=13\ x+z=10,\ y+z=11$,
解得 $x=6\ ,y=7,z=4\ ,\therefore AF=6$.
$\therefore ∠ DBO+∠ DCO=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×(50°+75°)=62.5°$,
$\therefore$ 在 $△ BOC$ 中,$∠ BOC=180°-(∠ DBO+∠ DCO)=180°-62.5°=117.5°$.
(2)$\because \odot O$ 是 $△ ABC$ 的内切圆,
$\therefore AE=AF,BD=BF,CD=CE$.
设 $AE=x,BD=y,CD=z$.
$\because AB=13,BC=11,AC=10$,
$\therefore x+y=13\ x+z=10,\ y+z=11$,
解得 $x=6\ ,y=7,z=4\ ,\therefore AF=6$.
