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6 用如图①所示的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②所示的竖式和横式的两种无盖纸盒（图②中两个盒子朝上的一面不用纸板）。现仓库里有500张长方形纸板和200张正方形纸板，做这两种纸盒，两种纸板恰好用完，如果设做竖式的无盖纸盒为$x$个，横式的无盖纸盒为$y$个，则可列二元一次方程组为（
A.$\begin{cases}4x + 3y = 500, \\x + 2y = 200\end{cases}$
B.$\begin{cases}4x + y = 500, \\3x + 2y = 200\end{cases}$
C.$\begin{cases}4x + 2y = 500, \\x + 3y = 200\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x + 4y = 500, \\2x + 3y = 200\end{cases}$
A
）A.$\begin{cases}4x + 3y = 500, \\x + 2y = 200\end{cases}$
B.$\begin{cases}4x + y = 500, \\3x + 2y = 200\end{cases}$
C.$\begin{cases}4x + 2y = 500, \\x + 3y = 200\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x + 4y = 500, \\2x + 3y = 200\end{cases}$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先要明确两种无盖纸盒分别需要的正方形、长方形纸板数量：观察竖式无盖纸盒，它由1张正方形纸板做底面、4张长方形纸板做侧面组成；横式无盖纸盒由2张正方形纸板做侧面、3张长方形纸板做其余面组成。再设做竖式纸盒x个、横式纸盒y个，结合正方形纸板共200张、长方形纸板共500张且全部用完的条件，分别列方程联立即可得到方程组。
【解析】
1. 分析单个纸盒的纸板消耗：
做1个竖式无盖纸盒，需消耗1张正方形纸板、4张长方形纸板，因此x个竖式纸盒消耗正方形纸板x张，长方形纸板4x张；
做1个横式无盖纸盒，需消耗2张正方形纸板、3张长方形纸板，因此y个横式纸盒消耗正方形纸板2y张，长方形纸板3y张。
2. 根据纸板总量列方程：
正方形纸板总共有200张，全部用完，可得方程：$x+2y=200$；
长方形纸板总共有500张，全部用完，可得方程：$4x+3y=500$。
联立两个方程得到方程组：$\begin{cases}4x + 3y = 500, \\x + 2y = 200\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用；立体图形面的计数
【点评】
本题属于典型的配套类实际应用题，解题核心是准确提取单个产品的材料消耗量，再结合材料总数量建立等量关系，需要具备基础的空间观察能力和信息梳理能力。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确两种无盖纸盒分别需要的正方形、长方形纸板数量：观察竖式无盖纸盒，它由1张正方形纸板做底面、4张长方形纸板做侧面组成；横式无盖纸盒由2张正方形纸板做侧面、3张长方形纸板做其余面组成。再设做竖式纸盒x个、横式纸盒y个，结合正方形纸板共200张、长方形纸板共500张且全部用完的条件，分别列方程联立即可得到方程组。
【解析】
1. 分析单个纸盒的纸板消耗：
做1个竖式无盖纸盒，需消耗1张正方形纸板、4张长方形纸板，因此x个竖式纸盒消耗正方形纸板x张，长方形纸板4x张；
做1个横式无盖纸盒，需消耗2张正方形纸板、3张长方形纸板，因此y个横式纸盒消耗正方形纸板2y张，长方形纸板3y张。
2. 根据纸板总量列方程：
正方形纸板总共有200张，全部用完，可得方程：$x+2y=200$；
长方形纸板总共有500张，全部用完，可得方程：$4x+3y=500$。
联立两个方程得到方程组：$\begin{cases}4x + 3y = 500, \\x + 2y = 200\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用；立体图形面的计数
【点评】
本题属于典型的配套类实际应用题，解题核心是准确提取单个产品的材料消耗量，再结合材料总数量建立等量关系，需要具备基础的空间观察能力和信息梳理能力。
【难度系数】
0.75
7 小华和家人到公园游玩.湖边有大、小两种船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人,2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人,则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客
（
A.30人
B.26人
C.24人
D.22人
（
B
）A.30人
B.26人
C.24人
D.22人
答案
7.B
解析
【分析】
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：首先提取题干中的两个等量关系，分别设1艘大船、1艘小船的满载人数为未知数，根据等量关系列出二元一次方程组；观察方程组特征，可将两个方程直接相加得到3艘大船和3艘小船的总载客量，再除以3即可直接求出1艘大船加1艘小船的总载客量，无需单独求解两个未知数，能简化计算步骤。
【解析】
设1艘大船一次可满载游客$x$人，1艘小船一次可满载游客$y$人。
根据题意列方程组得：
$\begin{cases}x+2y=32 \quad \mathrm{①} \\2x+y=46 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①+②，可得：$3x+3y=78$
等式两边同时除以3，得：$x+y=26$
即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法
【点评】
本题是方程组应用的基础题型，主要考查学生提取题干等量关系、灵活运用方程组解法的能力，采用整体相加的思路可避免分别求解未知数，有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：首先提取题干中的两个等量关系，分别设1艘大船、1艘小船的满载人数为未知数，根据等量关系列出二元一次方程组；观察方程组特征，可将两个方程直接相加得到3艘大船和3艘小船的总载客量，再除以3即可直接求出1艘大船加1艘小船的总载客量，无需单独求解两个未知数，能简化计算步骤。
【解析】
设1艘大船一次可满载游客$x$人，1艘小船一次可满载游客$y$人。
根据题意列方程组得：
$\begin{cases}x+2y=32 \quad \mathrm{①} \\2x+y=46 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①+②，可得：$3x+3y=78$
等式两边同时除以3，得：$x+y=26$
即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法
【点评】
本题是方程组应用的基础题型，主要考查学生提取题干等量关系、灵活运用方程组解法的能力，采用整体相加的思路可避免分别求解未知数，有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
8 某茶叶店第一次购进A种茶叶30盒，B种茶叶20盒，共花费6 000元；第二次购进时，A，B两种茶叶每盒的价格都提高了20%，该茶叶店又购进A种茶叶20盒，B种茶叶15盒，共花费5 100元。第一次购进的B种茶叶每盒的价格为
150
元。答案
8.150 【解析】设第一次购进的 A 种茶叶每盒的价格为x 元,B 种茶叶每盒的价格为 y 元. 由题意,得$\begin{cases} 30x+20y=6\ 000, \\ 20×(1+20\%)x+15×(1+20\%)y=5\ 100, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=100, \\ y=150. \end{cases}$ 所以第一次购进的 A 种茶叶每盒的价格为 100 元,B 种茶叶每盒的价格为 150 元.
解析
【分析】
本题属于二元一次方程组的实际应用问题，解题核心是找准题目隐含的两个等量关系，列方程组求解。首先可分别设第一次购进A、B两种茶叶的单价为未知数，结合第一次购进的总花费列出第一个方程；再根据第二次单价上涨20%的条件，写出第二次A、B茶叶的单价，结合第二次购进的总花费列出第二个方程，组成二元一次方程组后用消元法求解，即可得到第一次购进B种茶叶的单价。
【解析】
设第一次购进的A种茶叶每盒的价格为$x$元，B种茶叶每盒的价格为$y$元。
根据第一次购进的总花费，可列方程：
$30x + 20y = 6000$ ①
第二次购进时A、B两种茶叶单价提高20%，即A单价为$(1+20\%)x$，B单价为$(1+20\%)y$，结合第二次总花费可列方程：
$20×(1+20\%)x + 15×(1+20\%)y = 5100$ ②
化简方程：
将①两边同时除以10，得$3x + 2y = 600$ ③
将②化简得$24x + 18y = 5100$，两边同时除以6得$4x + 3y = 850$ ④
用加减消元法求解：
③×3得$9x + 6y = 1800$ ⑤
④×2得$8x + 6y = 1700$ ⑥
⑤-⑥得$x=100$，将$x=100$代入③，得$3×100 + 2y = 600$，解得$y=150$。
【答案】
150
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的费用类应用题型，解题关键是准确梳理两次购进活动中数量、单价、总费用的对应关系，注意单价涨幅的条件，正确列写方程组即可求解，侧重考察学生提取等量关系、解方程组的能力。
【难度系数】
0.7
本题属于二元一次方程组的实际应用问题，解题核心是找准题目隐含的两个等量关系，列方程组求解。首先可分别设第一次购进A、B两种茶叶的单价为未知数，结合第一次购进的总花费列出第一个方程；再根据第二次单价上涨20%的条件，写出第二次A、B茶叶的单价，结合第二次购进的总花费列出第二个方程，组成二元一次方程组后用消元法求解，即可得到第一次购进B种茶叶的单价。
【解析】
设第一次购进的A种茶叶每盒的价格为$x$元，B种茶叶每盒的价格为$y$元。
根据第一次购进的总花费，可列方程：
$30x + 20y = 6000$ ①
第二次购进时A、B两种茶叶单价提高20%，即A单价为$(1+20\%)x$，B单价为$(1+20\%)y$，结合第二次总花费可列方程：
$20×(1+20\%)x + 15×(1+20\%)y = 5100$ ②
化简方程：
将①两边同时除以10，得$3x + 2y = 600$ ③
将②化简得$24x + 18y = 5100$，两边同时除以6得$4x + 3y = 850$ ④
用加减消元法求解：
③×3得$9x + 6y = 1800$ ⑤
④×2得$8x + 6y = 1700$ ⑥
⑤-⑥得$x=100$，将$x=100$代入③，得$3×100 + 2y = 600$，解得$y=150$。
【答案】
150
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的费用类应用题型，解题关键是准确梳理两次购进活动中数量、单价、总费用的对应关系，注意单价涨幅的条件，正确列写方程组即可求解，侧重考察学生提取等量关系、解方程组的能力。
【难度系数】
0.7
9 [2025 海南]某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车.第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车,共花费68万元;第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车,共花费76万元(同类型汽车进价不变).某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元,每辆B型汽车的进价约为11~13万元.
(1) 求A,B型汽车的进价,并判断该销售经理的估计是否正确;
(2) 现实生活中的很多问题可以用方程(组)解决,请写出解二元一次方程组的常用方法.
(1) 求A,B型汽车的进价,并判断该销售经理的估计是否正确;
(2) 现实生活中的很多问题可以用方程(组)解决,请写出解二元一次方程组的常用方法.
答案
9. (1) 设 A 型汽车每辆的进价为 x 万元,B型汽车每辆的进价为 y 万元. 根据题意,得 $\begin{cases} x+4y=68, \\ 2x+3y=76, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=20, \\ y=12. \end{cases}$ 所以 A 型汽车每辆的进价为 20 万元,B型汽车每辆的进价为 12 万元. 因为 $19＜20＜21,11＜12＜13,$ 所以该销售经理的估计正确
(2) 解二元一次方程组的常用方法:代入消元法、加减消元法
(2) 解二元一次方程组的常用方法:代入消元法、加减消元法
解析
【分析】
(1) 本题存在两个未知量（A型、B型汽车的进价），同时给出了两组采购总花费的等量关系，因此可通过列二元一次方程组求解。首先设两个未知量，分别对应A、B型车的进价，再根据两批次采购的费用信息列方程组成方程组，求解后将结果和销售经理估计的价格区间对比，即可判断估计是否正确。(2) 第二问为基础概念考查，直接回忆解二元一次方程组的常用消元方法即可作答。
【解析】
(1) 设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+4y=68 \ \ \ \ \ \ \ ① \\ 2x+3y=76 \ \ \ \ ② \end{cases}$
使用加减消元法求解：将①×2得 $2x + 8y = 136$ ③，用③-②得 $5y=60$，解得 $y=12$。
把$y=12$代入①，得$x + 4×12 = 68$，解得$x=20$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=20 \\ y=12 \end{cases}$。
对比价格区间：$19＜20＜21$，$11＜12＜13$，两个进价都在经理估计的范围内，因此该销售经理的估计正确。
(2) 解二元一次方程组的核心是消去一个未知数，将二元方程转化为一元方程求解，常用方法为代入消元法和加减消元法。
【答案】
(1) A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为12万元，该销售经理的估计正确；
(2) 代入消元法、加减消元法。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合实际采购场景命题，既考查学生提取题干等量关系、列方程组解决实际问题的能力，也考查对二元一次方程组基础解法的记忆掌握，属于基础类题目，侧重核心知识点的基础应用。
【难度系数】
0.8
(1) 本题存在两个未知量（A型、B型汽车的进价），同时给出了两组采购总花费的等量关系，因此可通过列二元一次方程组求解。首先设两个未知量，分别对应A、B型车的进价，再根据两批次采购的费用信息列方程组成方程组，求解后将结果和销售经理估计的价格区间对比，即可判断估计是否正确。(2) 第二问为基础概念考查，直接回忆解二元一次方程组的常用消元方法即可作答。
【解析】
(1) 设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+4y=68 \ \ \ \ \ \ \ ① \\ 2x+3y=76 \ \ \ \ ② \end{cases}$
使用加减消元法求解：将①×2得 $2x + 8y = 136$ ③，用③-②得 $5y=60$，解得 $y=12$。
把$y=12$代入①，得$x + 4×12 = 68$，解得$x=20$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=20 \\ y=12 \end{cases}$。
对比价格区间：$19＜20＜21$，$11＜12＜13$，两个进价都在经理估计的范围内，因此该销售经理的估计正确。
(2) 解二元一次方程组的核心是消去一个未知数，将二元方程转化为一元方程求解，常用方法为代入消元法和加减消元法。
【答案】
(1) A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为12万元，该销售经理的估计正确；
(2) 代入消元法、加减消元法。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合实际采购场景命题，既考查学生提取题干等量关系、列方程组解决实际问题的能力，也考查对二元一次方程组基础解法的记忆掌握，属于基础类题目，侧重核心知识点的基础应用。
【难度系数】
0.8
10 一题多解 如图所示的直线 $ l_1, l_2 $ 的交点坐标可以看作下列方程组的解的是（
A.$ \begin{cases} y=-\dfrac{1}{4}x -1, \\ y=-2x +6 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} y=\dfrac{1}{4}x -1, \\ y=-2x +6 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} y=-\dfrac{1}{3}x -1, \\ y=-2x -4 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} y=3x -1, \\ y=-2x +4 \end{cases} $
A
）A.$ \begin{cases} y=-\dfrac{1}{4}x -1, \\ y=-2x +6 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} y=\dfrac{1}{4}x -1, \\ y=-2x +6 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} y=-\dfrac{1}{3}x -1, \\ y=-2x -4 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} y=3x -1, \\ y=-2x +4 \end{cases} $
答案
10. A 【解析】解法一:设直线 $ l_1 $ 对应的函数表达式为 $ y=kx+b $, 将 $(0,-1),(4,-2)$ 代入, 得 $\begin{cases} b=-1, \\ 4k+b=-2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-\dfrac{1}{4}, \\ b=-1. \end{cases}$ 所以直线 $ l_1 $ 对应的函数表达式为 $ y=-\dfrac{1}{4}x-1. $ 设直线 $ l_2 $ 对应的函数表达式为 $ y=k'x+b' $,将$(3,0),(4,-2)$代入,得 $\begin{cases} 3k'+b'=0, \\ 4k'+b'=-2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k'=-2, \\ b'=6. \end{cases}$ 所以直线 $ l_2 $ 对应的函数表达式为 $ y=-2x+6. $ 所以直线 $ l_1,l_2 $ 的交点坐标可以看作方程组 $\begin{cases} y=-\dfrac{1}{4}x-1, \\ y=-2x+6 \end{cases}$ 的解. 解法二:由题图可知,直线 $ l_1,l_2 $ 的交点坐标为$(4,-2)$,把 $\begin{cases} x=4, \\ y=-2 \end{cases}$ 分别代入每个方程组,只有选项 A 中的方程组成立.
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：利用待定系数法分别求出两条直线$l_1$、$l_2$对应的一次函数解析式，两个解析式联立得到的方程组的解即为两直线的交点，对应正确选项；思路二：先从图中得到两直线的交点坐标为$(4,-2)$，将该坐标逐一代入各选项的方程组中，能同时满足两个方程的即为正确答案。
【解析】
解法一：设直线$ l_1 $对应的函数表达式为 $ y=kx+b $，由图可知$l_1$过点$(0,-1)$、$(4,-2)$，代入得：
$\begin{cases} b=-1, \\ 4k+b=-2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\dfrac{1}{4}, \\ b=-1. \end{cases}$
因此直线 $ l_1 $ 的解析式为 $ y=-\dfrac{1}{4}x-1 $。
设直线 $ l_2 $ 对应的函数表达式为 $ y=k'x+b' $，由图可知$l_2$过点$(3,0)$、$(4,-2)$，代入得：
$\begin{cases} 3k'+b'=0, \\ 4k'+b'=-2, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k'=-2, \\ b'=6. \end{cases}$
因此直线 $ l_2 $ 的解析式为 $ y=-2x+6 $。
两直线的交点坐标就是对应联立方程组的解，即方程组$\begin{cases} y=-\dfrac{1}{4}x -1, \\ y=-2x +6 \end{cases}$的解。
解法二：由图可知两直线交点坐标为$(4,-2)$，将$\begin{cases} x=4 \\ y=-2 \end{cases}$逐一代入各选项验证：
代入选项A：第一个方程左边$y=-2$，右边$=-\dfrac{1}{4}×4 -1=-2$，左右两边相等；第二个方程左边$=-2$，右边$=-2×4+6=-2$，左右两边相等，两个方程都成立，符合要求。
其余选项代入后均存在方程左右两边不相等的情况，因此A正确。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程组的关系；代入法验证方程的解
【点评】
本题考查一次函数和二元一次方程组的对应关系，两种解题方法各有优势，待定系数法侧重对解析式求解能力的考查，代入验证法更简便快捷，解题时可灵活选择适合的方法。
【难度系数】
0.75
本题可通过两种思路求解：思路一：利用待定系数法分别求出两条直线$l_1$、$l_2$对应的一次函数解析式，两个解析式联立得到的方程组的解即为两直线的交点，对应正确选项；思路二：先从图中得到两直线的交点坐标为$(4,-2)$，将该坐标逐一代入各选项的方程组中，能同时满足两个方程的即为正确答案。
【解析】
解法一：设直线$ l_1 $对应的函数表达式为 $ y=kx+b $，由图可知$l_1$过点$(0,-1)$、$(4,-2)$，代入得：
$\begin{cases} b=-1, \\ 4k+b=-2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\dfrac{1}{4}, \\ b=-1. \end{cases}$
因此直线 $ l_1 $ 的解析式为 $ y=-\dfrac{1}{4}x-1 $。
设直线 $ l_2 $ 对应的函数表达式为 $ y=k'x+b' $，由图可知$l_2$过点$(3,0)$、$(4,-2)$，代入得：
$\begin{cases} 3k'+b'=0, \\ 4k'+b'=-2, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k'=-2, \\ b'=6. \end{cases}$
因此直线 $ l_2 $ 的解析式为 $ y=-2x+6 $。
两直线的交点坐标就是对应联立方程组的解，即方程组$\begin{cases} y=-\dfrac{1}{4}x -1, \\ y=-2x +6 \end{cases}$的解。
解法二：由图可知两直线交点坐标为$(4,-2)$，将$\begin{cases} x=4 \\ y=-2 \end{cases}$逐一代入各选项验证：
代入选项A：第一个方程左边$y=-2$，右边$=-\dfrac{1}{4}×4 -1=-2$，左右两边相等；第二个方程左边$=-2$，右边$=-2×4+6=-2$，左右两边相等，两个方程都成立，符合要求。
其余选项代入后均存在方程左右两边不相等的情况，因此A正确。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程组的关系；代入法验证方程的解
【点评】
本题考查一次函数和二元一次方程组的对应关系，两种解题方法各有优势，待定系数法侧重对解析式求解能力的考查，代入验证法更简便快捷，解题时可灵活选择适合的方法。
【难度系数】
0.75
