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1[2025 浙江台州期中,中]方程 $2y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}y -$ 
中被阴影盖住的是一个常数,此方程的解是 $y = -\frac{5}{3}$,则这个常数应是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
中被阴影盖住的是一个常数,此方程的解是 $y = -\frac{5}{3}$,则这个常数应是 (C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C 【解析】设阴影盖住的数为 a. 将 $y=-\frac{5}{3}$代入原方程,得$-\frac{10}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{5}{6}-a$,$-\frac{20}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{5}{6}-a$,两边同时加上$\frac{23}{6}$,得$0=3-a$,两边同时加上 a,得 a = 3. 故选 C.
2[2025安徽合肥期末,中]已知$a+2b+3c=m$，$a+3b+4c=m$，则$b$和$c$的关系为（
A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.无法确定
A
）A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.无法确定
答案
A 【解析】因为 a+2b+3c=m,a+3b+4c=m,所以 a+2b+3c = a+3b+4c,两边同时减去 a+2b+3c 得 b+c=0,故选 A.
3[2025 浙江温州期末,中]设$a,b,c$为互不相等的数,且$b=\frac{4}{5}a+\frac{1}{5}c$,则下列结论正确的是 (
A.$a＞b＞c$
B.$c＞b＞a$
C.$a-b=4(b-c)$
D.$a-c=5(a-b)$
D
)A.$a＞b＞c$
B.$c＞b＞a$
C.$a-b=4(b-c)$
D.$a-c=5(a-b)$
答案
D 【解析】a,b,c 的大小关系不能确定,所以A、B 选项的结论不一定正确.$b=\frac{4}{5}a+\frac{1}{5}c$的两边同时乘 5,得 5b = 4a+c. 两边同时减去4b+c,得 b-c = 4a-4b. 两边同时乘$\frac{1}{4}$,得$\frac{b-c}{4}=a-b$,所以 C 选项的结论不正确. 在 5b = 4a+c的两边同时减去 5a,得 5(b-a)=c-a. 两边同时乘-1,得 5(a-b)=a-c,所以 D 选项的结论正确. 故选 D.
4[2025浙江杭州期末，中]若$a+9=b+8=c+7$，则$(a-b)^2+(b-c)^2-(c-a)^2=$
-2
.答案
-2 【解析】因为 a+9 = b+8 = c+7,所以 a-b=-1,b-c=-1,c-a=2,所以原式=$(-1)^2+(-1)^2-2^2=-2$,故答案为-2.
5[2025四川甘孜州中考,中]将正面记为A,B,C,D,E的五张卡片按如图所示放置,每张卡片反面都写有一个数.现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表:
根据以上信息,推断出最小数所对应的卡片编号为
根据以上信息,推断出最小数所对应的卡片编号为
A
,最大数所对应的卡片编号为B
.答案
A B 【解析】设 A,B,C,D,E 卡片反面的数分别为 a,b,c,d,e. 由题意得 a+b=48,① b+c=60,② c+d=53,③ d+e=65,④ e+a=42,⑤
①-②得 a-c=-12,③-④得 c-e=-12,所以a-c=c-e,所以 2c=a+e=42,所以 c=21,所以d=32,b=39,e=33,a=9,所以最小数所对应的卡片编号为 A,最大数所对应的卡片编号为B,故答案为 A,B.
①-②得 a-c=-12,③-④得 c-e=-12,所以a-c=c-e,所以 2c=a+e=42,所以 c=21,所以d=32,b=39,e=33,a=9,所以最小数所对应的卡片编号为 A,最大数所对应的卡片编号为B,故答案为 A,B.
6[2026上海闵行区调研,较难]若$abc≠0$，则$\frac{a+b-4c}{c}=\frac{a-4b+c}{b}=\frac{-4a+b+c}{a}=$
-2或-5
。答案
-2 或 -5 【解析】设$\frac{a+b-4c}{c}=\frac{a-4b+c}{b}=\frac{-4a+b+c}{a}=k$,则 a+b-4c=kc,① a-4b+c=kb,②-4a+b+c=ka,③ 将①②③相加得(a+b-4c)+(a-4b+c)+(-4a+b+c)=kc+kb+ka,左边合并同类项得-2a-2b-2c=-2(a+b+c),右边得k(a+b+c),所以-2(a+b+c)=k(a+b+c). 若a+b+c≠0,则 k = -2; 若 a+b+c = 0,则 a+b=-c,则$\frac{a+b-4c}{c}=\frac{-c-4c}{c}=\frac{-5c}{c}=-5$,故 k = -5. 故答案为-2 或-5.
7[2025黑龙江哈尔滨调研,较难]已知商品利润率=$\frac{商品利润}{商品成本价}×100\%$. 某商人销售甲、乙两种商品,每件甲种商品的利润率为80%,每件乙种商品的利润率为50%,当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多20%时,这个商人得到的总利润率为60%,那么甲、乙两种商品进价的比值是
$\frac{3}{5}$
.答案
$\frac{3}{5}$ 【解析】设甲、乙两种商品的进价分别为a,b,售出甲种商品 m 件,则每件甲种商品的利润为 80%a,每件乙种商品的利润为 50%b,售出乙种商品(1+20%)m 件. 根据题意得,80%am+50%b×(1+20%)m = 60%[am + b ×(1+20%)·m],化简得,4a+3b=3a+3.6b,所以 a=0.6b,所以$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,故答案为$\frac{3}{5}$.
8[2025浙江嘉兴调研,中]王老师在黑板上写了一个等式$(m-3)x=5(m-3)$，小明说$x=5$；小刚说不一定，当$x≠5$时，这个等式也可能成立。你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由。
刷素养 走向重高
刷素养 走向重高
答案
8.【解】小明的说法错误,小刚的说法正确.
理由如下:
当 m-3 = 0 时,x 为任意数;当 m-3 ≠ 0 时,x = 5.
理由如下:
当 m-3 = 0 时,x 为任意数;当 m-3 ≠ 0 时,x = 5.
9 核心素养推理能力[2025江苏南京期末,较难]小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程:
①$\frac{x}{4}+\frac{x-1}{2}=1$;②$\frac{x}{6}+\frac{x-2}{2}=1$;③$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$……
(1)请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息.
(2)小明通过计算发现,第一个方程的解是$x=2$,第二个方程的解为$x=3$,因此他就大胆地推测出第三个方程的解为$x=4$,并写出了第四个方程.请你验证一下小明的推测是否正确,如果正确,请你写出验证过程,并写出第四个方程;如果不正确,请说明理由.
(3)你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律,解为$x=n$($n$为正整数,且$n≥2$)的方程吗?
①$\frac{x}{4}+\frac{x-1}{2}=1$;②$\frac{x}{6}+\frac{x-2}{2}=1$;③$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$……
(1)请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息.
(2)小明通过计算发现,第一个方程的解是$x=2$,第二个方程的解为$x=3$,因此他就大胆地推测出第三个方程的解为$x=4$,并写出了第四个方程.请你验证一下小明的推测是否正确,如果正确,请你写出验证过程,并写出第四个方程;如果不正确,请说明理由.
(3)你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律,解为$x=n$($n$为正整数,且$n≥2$)的方程吗?
答案
9.【解】(1)等号右边都是 1;等号左边第二项的分母都是 2. (答案不唯一,答出一条即可)
(2)正确. 验证如下:把 x = 4 代入到方程$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$中,左边=$\frac{4}{8}+\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$,右边=1,所以 x = 4 是方程$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$的解,小明的推测正确. 第四个方程为$\frac{x}{10}+\frac{x-4}{2}=1$.
(3)$\frac{x}{2n}+\frac{x-n+1}{2}=1$(n 为正整数,且 n≥2).
(2)正确. 验证如下:把 x = 4 代入到方程$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$中,左边=$\frac{4}{8}+\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$,右边=1,所以 x = 4 是方程$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$的解,小明的推测正确. 第四个方程为$\frac{x}{10}+\frac{x-4}{2}=1$.
(3)$\frac{x}{2n}+\frac{x-n+1}{2}=1$(n 为正整数,且 n≥2).
