10[2025重庆开州区期中]已知点O为$△ ABC$内任意一点，设$OA+OB+OC=S_1$，$AB+BC+AC=S_2$，则下列关系正确的是（）

A.$S_2 ≥ 2S_1$
B.$S_2 ＞ 2S_1$
C.$S_2 ＜ 2S_1 ≤ 2S_2$
D.$S_2 ＜ 2S_1 ＜ 2S_2$

10.D 【解析】如图.
∵$OA+OB＞AB$,$OB+OC＞BC$,$OC+OA＞AC$,
∴$2(OA+OB+OC)＞AB+BC+AC$,
∴$2S_1＞S_2$.延长BO交AC于点G.
∵$AB+AG＞BO+OG$,$OG+GC＞OC$,
∴$AB+AC＞OB+OC$,同理可得,$AB+BC＞OA+OC$,$AC+BC＞OA+OB$,
∴$2(AB+BC+AC)＞2(OA+OB+OC)$,
∴$2S_2＞2S_1$,
∴$S_2＜2S_1＜2S_2$.故选D.

11[2025浙江杭州期中]王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数为。

11.1 【解析】根据三角形具有稳定性可知,要使这个木架不变形,他至少要再钉上1根木条,故答案为1.

12 已知△ABC的三边长为a,b,c,化简|a+b−c|−|b−a−c|的结果是.

12.$2b-2c$ 【解析】
∵$△ABC$的三边长分别是a,b,c,
∴$a+b＞c$,$b-a＜c$,
∴$a+b-c＞0$,$b-a-c＜0$,
∴$|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-(-b+a+c)=a+b-c+b-a-c=2b-2c$.故答案为$2b-2c$.

13 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°$,$∠ C=40°$,$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$,点$E$是$AC$边上的一个动点,当$△ ADE$是钝角三角形时,$∠ ADE$的取值范围是.

(第13题图)
(第14题图)

13.$0°＜∠ADE＜45°$或$90°＜∠ADE≤95°$ 【解析】
∵$∠B=50°$,$∠C=40°$,
∴$∠BAC=180°-∠B-∠C=90°$.
∵AD平分$∠BAC$,
∴$∠DAE=45°$,
∴$∠ADC=180°-∠DAE-∠C=95°$.当$∠ADE$是钝角时,$90°＜∠ADE≤95°$.当$∠AED$是钝角时,$∠AED＞90°$.
∵$∠AED=180°-∠DAE-∠ADE=180°-45°-∠ADE=135°-∠ADE$,
∴$135°-∠ADE＞90°$,
∴$0°＜∠ADE＜45°$.综上,$0°＜∠ADE＜45°$或$90°＜∠ADE≤95°$.
思路分析
根据三角形内角和定理求出$∠BAC$,再由角平分线的定义求得$∠DAE$,再由三角形内角和定理求得$∠ADC$,进而分$∠ADE$是钝角和$∠AED$是钝角两种情况进行讨论,即可求得结果.

14 如图,在平面直角坐标系中,点$B(0,m)$,点$C(n,m)$,其中$m＞0,n＜0$,点$A$是$x$轴负半轴上一点,点$P$是在直线$CB$与直线$AO$之间的一点,连接$BP$,$OP$.$BN$平分$∠ CBP$,$ON$平分$∠ AOP$,$BN$交$ON$于$N$,则$∠ BPO$与$∠ BNO$之间满足的数量关系为.

14.$∠BNO+\frac{1}{2}∠BPO=180°$或$∠BPO=2∠BNO$ 【解析】①如图(1),当点P在OB左侧时,在$△BPO$中,$∠PBO+∠POB=180°-∠BPO$.由题可知$BC// OA$,BN平分$∠CBP$,ON平分$∠AOP$,
∴$∠NBP + ∠NOP= \frac{1}{2}(180°-∠PBO-∠POB)$.在$△NOB$中,$∠BNO=180°-(∠NBP+∠NOP+∠PBO+∠POB)=180°-[\frac{1}{2}(180°-∠PBO-∠POB)+∠PBO+∠POB]=90°-\frac{1}{2}(∠PBO+∠POB)=90°-\frac{1}{2}(180°-∠BPO)=\frac{1}{2}∠BPO$,
∴$∠BPO=2∠BNO$.
②如图(2),当点P在OB右侧时,
∵$BC// OA$,
∴易得$∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°$.
∵BN平分$∠CBP$,ON平分$∠AOP$,
∴$∠PBN+∠PON + \frac{1}{2}∠BPO = \frac{1}{2}× 360° = 180°$,
∴$∠PBN+∠PON=180°-\frac{1}{2}∠BPO$.在四边形BNOP中,$∠BNO=360°-∠PBN-∠PON-∠BPO=360°-(180°-\frac{1}{2}∠BPO)-∠BPO=180°-\frac{1}{2}∠BPO$,
∴$∠BNO+\frac{1}{2}∠BPO=180°$.综上,$∠BPO$与$∠BNO$之间的数量关系为$∠BNO+\frac{1}{2}∠BPO=180°$或$∠BPO=2∠BNO$.
易错警示
需要对点P的位置进行分类讨论:①点P在OB的左侧;②点P在OB的右侧.避免漏解.

15[2025吉林长春期末]图(1)、图(2)、图(3)均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC(点C在格点上)：在图(1)中画一个直角三角形，在图(2)中画一个锐角三角形，在图(3)中画一个钝角三角形。

15.【解】如图所示.(答案不唯一)

16[2026甘肃天水期末]△ABC的三边长是a，b，c，周长是x，其中a=4，b=6.
(1)直接写出c及x的取值范围.
(2)当c为奇数时，求x的最大值和最小值.
(3)若x为小于18的偶数，判断△ABC的形状.(按边分类)

16.【解】(1)$2＜c＜10$,$12＜x＜20$.
(2)
∵$a=4$,$b=6$,c为奇数,$12＜x＜20$,
∴x的最大值为19,最小值为13.
(3)
∵x为小于18的偶数,
∴$x=16$或$x=14$.当$x=16$时,$c=6=b$,则$△ABC$为等腰三角形;当$x=14$时,$c=4=a$,则$△ABC$为等腰三角形.综上所述,$△ABC$为等腰三角形.
关键点拨
(1)利用三角形的三边关系求出c的取值范围,再结合不等式的性质求得x的取值范围.
(2)根据偶数+偶数+奇数=奇数求解即可.

17 在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$，点$E$是线段$AC$上的动点（不与点$D$重合），过点$E$作$EF// BC$交射线$BD$于点$F$，$∠ CEF$的平分线所在直线与射线$BD$交于点$G$.
(1)如图，点$E$在线段$AD$上运动时，
①若$∠ ABC=40°$，$∠ C=60°$，则$∠ A$的度数是，$∠ EFB$的度数是.
②猜想$∠ BGE$与$∠ A$之间的数量关系，并说明理由.
(2)若点$E$在线段$DC$上运动时，请直接写出$∠ BGE$与$∠ A$之间的数量关系.

17.【解】(1)①
∵$∠ABC=40°$,$∠C=60°$,
∴在$△ABC$中,$∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-40°-60°=80°$.
∵$EF// BC$,
∴$∠EFB=∠FBC$.
∵BD平分$∠ABC$,
∴$∠FBC=\frac{1}{2}∠ABC=20°$,
∴$∠EFB=∠FBC=20°$,故答案为$80°$,$20°$.
②$∠BGE=90°-\frac{1}{2}∠A$.理由:
∵$∠BGE$是$△EGF$的一个外角,
∴$∠BGE=∠EFG+∠FEG$.
∵$EF// BC$,
∴$∠C=∠DEF$.
∵$∠ABC+∠C=180°-∠A$,
∴$∠ABC+∠DEF=180°-∠A$.
∵BD平分$∠ABC$,EG平分$∠CEF$,
∴$∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC$,$∠FEG=\frac{1}{2}∠DEF$,
∴$∠CBD+∠FEG=\frac{1}{2}∠ABC+\frac{1}{2}∠DEF=\frac{1}{2}×(180°-∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A$.
∵$EF// BC$,
∴$∠EFG=∠CBD$,
∴$∠EFG+∠FEG=90°-\frac{1}{2}∠A$,
∴$∠BGE=90°-\frac{1}{2}∠A$.
(2)$∠BGE=\frac{1}{2}∠A$.如图,设$∠CEF$的平分线与BC交于点H.
∵$EF// BC$,
∴$∠FEH=∠EHC$.
∵EH是$∠FEC$的平分线,
∴$∠FEH=∠HEC$,
∴$∠HEC= ∠EHC$,
∴$∠EHC=\frac{180°-∠C}{2}$.
∵BG平分$∠ABC$,
∴$∠GBC=\frac{1}{2}∠ABC$,
∴$∠BGE=∠EHC - ∠GBC=\frac{180°-∠C}{2}-\frac{1}{2}∠ABC=\frac{180°-∠C-∠ABC}{2}=\frac{1}{2}∠A$.