1[2026 山东青岛质检,中]将一根长14厘米的铁棒截成三段,首尾相连焊接成一个等腰三角形.如图,如果第一次在4厘米处(剪刀处)截断,那么第二次可以截断的位置是 ()

A.①或②
B.①或③
C.②或③
D.③或④

1. C 【解析】因为4+4+6=14,4+4＞6,所以可以围成三边长分别为4厘米、4厘米、6厘米的等腰三角形;因为4+5+5=14,4+5＞5,所以可以围成三边长分别为4厘米、5厘米、5厘米的等腰三角形,所以第二次可以在②或③处截断.故选C.

2[中]若一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的一半,则此三角形底角度数为.

2. 72°或45° 【解析】设这个三角形的底角的度数为x.由题意分以下两种情况:①这个三角形的三个角的度数分别为$x,x,\frac{x}{2}$,由三角形的内角和定理得$x+x+\frac{x}{2}=180°$,解得$x=72°$;②这个三角形的三个角的度数分别为x,x,2x,由三角形的内角和定理得$x+x+2x=180°$,解得$x=45°$,故答案为$72°$或$45°$.

3[中]等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$60°$,则等腰三角形底角的度数为 ()

A.$15°$
B.$30°$
C.$15°$或$75°$
D.$30°$或$150°$

3. C 【解析】由题意得在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,$BD$为腰$AC$上的高,$∠ ABD = 60°$. 当$BD$在$△ ABC$内部时,如图(1). $\because BD ⊥ AC$,$\therefore ∠ ADB = 90°$,$\therefore ∠ BAD = 90° - 60° = 30°$. $\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC= ∠ ACB = \frac{1}{2}(180° - 30°)=75°$. 当$BD$在$△ ABC$外部时,如图(2). $\because BD ⊥ AC$,$\therefore ∠ ADB = 90°$,$\therefore ∠ BAD= 90° - 60° = 30°$. $\because AB = AC$,$\therefore ∠ ABC= ∠ ACB$. $\because ∠ BAD= ∠ ABC+ ∠ ACB$,$\therefore ∠ ACB = \frac{1}{2}∠ BAD = 15°$. 综上所述,这个等腰三角形底角的度数为$75°$或$15°$. 故选C.

4[较难]已知等腰三角形$ABC$中，$AB=AC$，两腰的垂直平分线交于点$P$，$∠ BPC=100°$，则等腰三角形$ABC$的顶角为（）

A.$50°$
B.$20°$
C.$50°$或$130°$
D.$50°$或$100°$

4. C 【解析】分两种情况:当点$P$在三角形$ABC$内部时,如图(1),连接$AP,BP,PC$. 因为$AB$和$AC$的垂直平分线交于点$P$,所以$PA=PB=PC$,所以$∠ BAP = ∠ ABP$,$∠ PBC = ∠ PCB$,$∠ PAC = ∠ ACP$. 因为$∠ BPC=100°$,所以$∠ PBC+ ∠ PCB = 180° - ∠ BPC = 80°$. 因为$∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$,所以$∠ ABP+ ∠ BAP+ ∠ ACP+ ∠ CAP = 180° - (∠ PBC+ ∠ PCB)=100°$,所以$2∠ BAP+2∠ CAP=100°$,所以$∠ BAP+ ∠ CAP = 50°$,所以$∠ BAC=50°$. 当点$P$在三角形$ABC$外部时,如图(2),连接$AP,BP,PC$. 因为$AB$和$AC$的垂直平分线交于点$P$,所以$PA = PB = PC$,所以$∠ BAP = ∠ ABP$,$∠ PAC = ∠ ACP$. 因为$∠ BPC=100°$,所以$∠ ABP+ ∠ BAP+ ∠ CAP+ ∠ ACP=360° - ∠ BPC=260°$,所以$2∠ BAP+2∠ CAP=260°$,所以$∠ BAP+ ∠ CAP=130°$,所以$∠ BAC=130°$. 综上所述,等腰三角形$ABC$的顶角为$50°$或$130°$. 故选C.

5[中]已知等腰三角形的底边长为10 cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5 cm，那么这个三角形的腰长为 cm.

5. 15 【解析】如图,设等腰$△ ABC$的腰长是$AB=AC=x$ cm. 当$AD+AC-(BD+BC)=5$ cm时,$\frac{1}{2}x+x-(\frac{1}{2}x+10)=5$,解得$x=15$. 长为15 cm,15 cm,10 cm的线段能够组成三角形. 当$BC+BD-(AD+AC)=5$ cm时,$10+\frac{1}{2}x-(\frac{1}{2}x+x)=5$,解得$x=5$. 长为5 cm,5 cm,10 cm的线段不能组成三角形. 故这个三角形的腰长为15 cm. 故答案为15.

6[较难]如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,$∠ ABC=100°$,边$BA$绕点$B$顺时针旋转$m°$($0＜m＜180$)得到线段$BD$,连接$AD$,$DC$.若$△ ADC$为等腰三角形,则$m$所有可能的取值是.

6. 130或100或160 【解析】由旋转的性质得$BD=AB=BC$. $\because △ ADC$为等腰三角形,$\therefore$ 分三种情况:①当$DA = DC$时,易得$△ ABD ≌ △ CBD$,$\therefore ∠ ABD = ∠ CBD = \frac{1}{2}(360° - ∠ ABC)=130°$,$\therefore m=130$;②当$AD=AC$时,易得$△ ABD ≌ △ ABC$,$\therefore ∠ ABD = ∠ ABC = 100°$,$\therefore m=100$;③当$CA = CD$时,易得$△ CBA ≌ △ CBD$,$\therefore ∠ CBD= ∠ ABC=100°$,$\therefore ∠ ABD = 360° - 100° - 100°=160°$,$\therefore m=160$. 综上所述,$m$所有可能的取值为130或100或160. 故答案为130或100或160.

7[2026江苏苏州质检]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=60°$,点$D,E$分别是$BC,AB$上的动点,将$△ BDE$沿直线$DE$翻折,点$B$的对应点$B'$恰好落在$AC$上,若$△ AEB'$是等腰三角形,请求出$∠ BEB'$的大小.

7. 【解】$\because ∠ ACB = 90°$,$∠ B = 60°$,$\therefore ∠ A = 30°$. 分三种情况讨论:①当$B'A = B'E$时,如图(1),$∠ B'EA = ∠ A = 30°$,$\therefore ∠ BEB' = 180° - ∠ B'EA = 150°$;
②当$AB' = AE$时,如图(2),$∠ AEB' = ∠ AB'E = \frac{180° - ∠ A}{2}=75°$,$\therefore ∠ BEB' = 180° - ∠ AEB' = 105°$;
③当$EA = EB'$时,如图(3),$∠ A = ∠ EB'A = 30°$,$\therefore ∠ BEB' = ∠ A+ ∠ EB'A = 60°$.
综上所述,$∠ BEB'$为$150°$或$105°$或$60°$.

8[2026湖南永州期末,中]如图,已知$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ BAC=30°$.在直线$BC$或直线$AC$上取一点$P$,使得$△ PAB$是等腰三角形,则符合条件的点$P$有个.

8. 6 【解析】如图,作线段$AB$的垂直平分线,交$AC$于点$P_1$,交$BC$延长线于点$P_2$,则$P_1A = P_1B$,$P_2A = P_2B$;以点$A$为圆心,$AB$长为半径画圆,交$CA$延长线于点$P_3$,易知交$BC$延长线于点$P_2$,交$AC$延长线于点$P_4$,则$AB=AP_2=AP_3=AP_4$;以点$B$为圆心,$AB$长为半径画圆,易知交$BC$的延长线于点$P_2$,交$CB$延长线于点$P_5$,交$AC$延长线于点$P_6$,则$AB=BP_2=BP_5=BP_6$. 故符合条件的点$P$有6个. 故答案为6.

9[中]如图,有一张三角形纸片ABC,BC为最长边,∠A=80°,点D是AC边上一点,沿BD方向将三角形纸片剪开后,发现所得两张纸片均为等腰三角形,则∠C的度数可以是。

9. 25°或40° 【解析】由题意知$△ ABD$与$△ DBC$均为等腰三角形,对于$△ ABD$可能有①$AB = BD$,此时$∠ ADB = ∠ A = 80°$,$\therefore ∠ BDC = 180° - ∠ ADB = 180° - 80° = 100°$,$\therefore ∠ C = \frac{1}{2}(180° - 100°)=40°$. ②$AB = AD$,此时$∠ ADB = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = \frac{1}{2}(180° - 80°)=50°$,$\therefore ∠ BDC = 180° - ∠ ADB = 180° - 50° = 130°$,$\therefore ∠ C=\frac{1}{2}(180°-130°)=25°$. ③$AD = BD$,此时$∠ ADB = 180° - 2×80° = 20°$,$\therefore ∠ BDC = 180° - ∠ ADB = 180° - 20° = 160°$,$\therefore ∠ C = \frac{1}{2}(180° - 160°)=10°$. 此时$∠ ABC = 90°$,则$AC$为最长边,与$BC$为最长边矛盾,故舍去. 综上所述,$∠ C$的度数可以为$25°$或$40°$. 故答案为$25°$或$40°$.