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一、填空题
1. 方程组$\begin{cases}2x+y+z=36, \\x=y+1, \\3x-2y-z=5\end{cases}$的解为 ______ .
2. 方程组$\begin{cases}2x+z=5, \\x-y+3z=8, \\x+y-z=0\end{cases}$的解为 ______ .
1. 方程组$\begin{cases}2x+y+z=36, \\x=y+1, \\3x-2y-z=5\end{cases}$的解为 ______ .
2. 方程组$\begin{cases}2x+z=5, \\x-y+3z=8, \\x+y-z=0\end{cases}$的解为 ______ .
答案
1. $\begin{cases} x=10, \\ y=9, \\ z=7 \end{cases}$
2. $\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=3 \end{cases}$
2. $\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=3 \end{cases}$
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，即通过代入消元或加减消元法，把三元方程组转化为二元方程组，再进一步转化为一元一次方程求解。第1题中已有x用y表示的式子，可先通过加减消去z，再代入求解y，后续依次求x、z即可；第2题中后两个方程y的系数互为相反数，可先加减消去y得到关于x、z的二元方程组，再联立第一个方程求解x、z，最后求y。
【解析】
1. 给方程组标号：$\begin{cases}2x+y+z=36&① \\x=y+1&② \\3x-2y-z=5&③\end{cases}$
第一步，消去z：①+③得：$2x+y+z+3x-2y-z=36+5$，化简得$5x-y=41$ ④
第二步，将②代入④：$5(y+1)-y=41$，展开计算得$5y+5-y=41$，整理得$4y=36$，解得$y=9$
第三步，把$y=9$代入②，得$x=9+1=10$
第四步，把$x=10,y=9$代入①，得$2×10+9+z=36$，解得$z=7$
2. 给方程组标号：$\begin{cases}2x+z=5&① \\x-y+3z=8&② \\x+y-z=0&③\end{cases}$
第一步，消去y：②+③得：$x-y+3z+x+y-z=8+0$，化简得$2x+2z=8$，即$x+z=4$ ④
第二步，联立①和④，用①-④得：$(2x+z)-(x+z)=5-4$，解得$x=1$
第三步，把$x=1$代入①，得$2×1+z=5$，解得$z=3$
第四步，把$x=1,z=3$代入③，得$1+y-3=0$，解得$y=2$
【答案】
1. $\begin{cases} x=10, \\ y=9, \\ z=7 \end{cases}$
2. $\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=3 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组求解，代入消元法，加减消元法
【点评】
这两道题是三元一次方程组求解的基础题，核心考察消元思想的应用，解题时可先观察方程组中未知数的系数特点，选择简便的消元方式，将三元逐步降为二元、一元即可顺利求解，掌握消元技巧后能快速得到结果。
【难度系数】
0.7
解三元一次方程组的核心思路是消元，即通过代入消元或加减消元法，把三元方程组转化为二元方程组，再进一步转化为一元一次方程求解。第1题中已有x用y表示的式子，可先通过加减消去z，再代入求解y，后续依次求x、z即可；第2题中后两个方程y的系数互为相反数，可先加减消去y得到关于x、z的二元方程组，再联立第一个方程求解x、z，最后求y。
【解析】
1. 给方程组标号：$\begin{cases}2x+y+z=36&① \\x=y+1&② \\3x-2y-z=5&③\end{cases}$
第一步，消去z：①+③得：$2x+y+z+3x-2y-z=36+5$，化简得$5x-y=41$ ④
第二步，将②代入④：$5(y+1)-y=41$，展开计算得$5y+5-y=41$，整理得$4y=36$，解得$y=9$
第三步，把$y=9$代入②，得$x=9+1=10$
第四步，把$x=10,y=9$代入①，得$2×10+9+z=36$，解得$z=7$
2. 给方程组标号：$\begin{cases}2x+z=5&① \\x-y+3z=8&② \\x+y-z=0&③\end{cases}$
第一步，消去y：②+③得：$x-y+3z+x+y-z=8+0$，化简得$2x+2z=8$，即$x+z=4$ ④
第二步，联立①和④，用①-④得：$(2x+z)-(x+z)=5-4$，解得$x=1$
第三步，把$x=1$代入①，得$2×1+z=5$，解得$z=3$
第四步，把$x=1,z=3$代入③，得$1+y-3=0$，解得$y=2$
【答案】
1. $\begin{cases} x=10, \\ y=9, \\ z=7 \end{cases}$
2. $\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=3 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组求解，代入消元法，加减消元法
【点评】
这两道题是三元一次方程组求解的基础题，核心考察消元思想的应用，解题时可先观察方程组中未知数的系数特点，选择简便的消元方式，将三元逐步降为二元、一元即可顺利求解，掌握消元技巧后能快速得到结果。
【难度系数】
0.7
3. 方程组$\begin{cases}3a - b + c = 2, \\3a + b - c = -2, \\3a + b + c = 0\end{cases}$的解为 ______
4. 方程组$\begin{cases}a + b + c = -2, \\4a - 2b + c = 4, \\9a + 3b + c = 4\end{cases}$的解为 ______
4. 方程组$\begin{cases}a + b + c = -2, \\4a - 2b + c = 4, \\9a + 3b + c = 4\end{cases}$的解为 ______
答案
3. $\begin{cases} a=0, \\ b=-1, \\ c=1 \end{cases}$
4. $\begin{cases} a=1, \\ b=-1, \\ c=-2 \end{cases}$
4. $\begin{cases} a=1, \\ b=-1, \\ c=-2 \end{cases}$
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，我们可以利用加减消元法先消去同一个未知数，将三元方程组转化为二元一次方程组，求解得到两个未知数的值后，再代入原方程求出第三个未知数的值即可得到方程组的解。
【解析】
第3题
记方程组为$\begin{cases}3a - b + c = 2&① \\3a + b - c = -2&② \\3a + b + c = 0&③\end{cases}$
1. 消去$c$：①+②得$6a=0$，解得$a=0$；
2. ②+③得$6a+2b=-2$，将$a=0$代入得$2b=-2$，解得$b=-1$；
3. 将$a=0,b=-1$代入③得$0-1+c=0$，解得$c=1$。
第4题
记方程组为$\begin{cases}a + b + c = -2&① \\4a - 2b + c = 4&② \\9a + 3b + c = 4&③\end{cases}$
1. 消去$c$：②-①得$3a-3b=6$，化简为$a-b=2$ ④；
2. ③-②得$5a+5b=0$，化简为$a+b=0$ ⑤；
3. 解由④⑤组成的二元方程组：④+⑤得$2a=2$，解得$a=1$，将$a=1$代入⑤得$1+b=0$，解得$b=-1$；
4. 将$a=1,b=-1$代入①得$1-1+c=-2$，解得$c=-2$。
【答案】
3. $\begin{cases} a=0, \\ b=-1, \\ c=1 \end{cases}$
4. $\begin{cases} a=1, \\ b=-1, \\ c=-2 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组解法、加减消元法、二元一次方程组解法
【点评】
这两道题是三元一次方程组求解的基础题型，重点考查消元思想的应用，解题时优先选择消去系数最简单的未知数可以简化计算，熟练掌握加减消元技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解三元一次方程组的核心思路是消元，我们可以利用加减消元法先消去同一个未知数，将三元方程组转化为二元一次方程组，求解得到两个未知数的值后，再代入原方程求出第三个未知数的值即可得到方程组的解。
【解析】
第3题
记方程组为$\begin{cases}3a - b + c = 2&① \\3a + b - c = -2&② \\3a + b + c = 0&③\end{cases}$
1. 消去$c$：①+②得$6a=0$，解得$a=0$；
2. ②+③得$6a+2b=-2$，将$a=0$代入得$2b=-2$，解得$b=-1$；
3. 将$a=0,b=-1$代入③得$0-1+c=0$，解得$c=1$。
第4题
记方程组为$\begin{cases}a + b + c = -2&① \\4a - 2b + c = 4&② \\9a + 3b + c = 4&③\end{cases}$
1. 消去$c$：②-①得$3a-3b=6$，化简为$a-b=2$ ④；
2. ③-②得$5a+5b=0$，化简为$a+b=0$ ⑤；
3. 解由④⑤组成的二元方程组：④+⑤得$2a=2$，解得$a=1$，将$a=1$代入⑤得$1+b=0$，解得$b=-1$；
4. 将$a=1,b=-1$代入①得$1-1+c=-2$，解得$c=-2$。
【答案】
3. $\begin{cases} a=0, \\ b=-1, \\ c=1 \end{cases}$
4. $\begin{cases} a=1, \\ b=-1, \\ c=-2 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组解法、加减消元法、二元一次方程组解法
【点评】
这两道题是三元一次方程组求解的基础题型，重点考查消元思想的应用，解题时优先选择消去系数最简单的未知数可以简化计算，熟练掌握加减消元技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.7
二、解下列方程组
5. $\begin{cases} x+y=5, \\ y+z=-1, \\ z+x=-2 \end{cases}$
6. $\begin{cases} 3x-4z=-9, \\ y=12x-10, \\ 5x+3y+2z=17 \end{cases}$
7. $\begin{cases} x-2y=4, \\ 3x-3y-z=-1, \\ x+y+z=5 \end{cases}$
8.
9. $\begin{cases} 2x+3y-z=4, \\ 3x-2y+3z=7, \\ x+3y-2z=-1 \end{cases}$
10. $\begin{cases} 3a-15b+7c=-4, \\ 2a-6b+3c=2, \\ 4a-9b+4c=9 \end{cases}$
5. $\begin{cases} x+y=5, \\ y+z=-1, \\ z+x=-2 \end{cases}$
6. $\begin{cases} 3x-4z=-9, \\ y=12x-10, \\ 5x+3y+2z=17 \end{cases}$
7. $\begin{cases} x-2y=4, \\ 3x-3y-z=-1, \\ x+y+z=5 \end{cases}$
8.
9. $\begin{cases} 2x+3y-z=4, \\ 3x-2y+3z=7, \\ x+3y-2z=-1 \end{cases}$
10. $\begin{cases} 3a-15b+7c=-4, \\ 2a-6b+3c=2, \\ 4a-9b+4c=9 \end{cases}$
答案
5. $\begin{cases} x=2, \\ y=3, \\ z=-4 \end{cases}$
6. $\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=3 \end{cases}$
7. $\begin{cases} x=0, \\ y=-2, \\ z=7 \end{cases}$
8. $\begin{cases} x=1, \\ y=-4, \\ z=3 \end{cases}$
9. $\begin{cases} x=-1, \\ y=4, \\ z=6 \end{cases}$
10. $\begin{cases} a=5, \\ b=\frac{1}{3}, \\ c=-2 \end{cases}$
6. $\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=3 \end{cases}$
7. $\begin{cases} x=0, \\ y=-2, \\ z=7 \end{cases}$
8. $\begin{cases} x=1, \\ y=-4, \\ z=3 \end{cases}$
9. $\begin{cases} x=-1, \\ y=4, \\ z=6 \end{cases}$
10. $\begin{cases} a=5, \\ b=\frac{1}{3}, \\ c=-2 \end{cases}$
解析
【分析】
这是三元一次方程组，解题核心是消元，先把三元转化为二元，再将二元转化为一元求解。观察三个方程中y的系数，①中y的系数为-1，③中y的系数为+1，互为相反数，优先选择消去y：第一步用①+③消去y得到关于x、z的方程，第二步再将③乘2后和②相加，也消去y得到另一个关于x、z的方程，联立得到二元一次方程组，解出x和z的值后，再代入任意一个原方程求出y的值，最后检验解是否满足所有方程即可。
【解析】
先给三个方程标序号：
$\begin{cases} 5x-y-3z=0&① \\ x-2y+z=12&② \\7x+y-z=0&③ \end{cases}$
1. 消去y：
①+③得：$5x+7x - y + y -3z -z = 0+0$
化简得：$12x-4z=0$，两边同除以4得：$3x-z=0$ ④
③×2得：$14x+2y-2z=0$ ⑤
②+⑤得：$x+14x -2y+2y +z-2z =12+0$
化简得：$15x - z =12$ ⑥
2. 解二元一次方程组$\begin{cases}3x-z=0 ④ \\15x-z=12 ⑥ \end{cases}$
⑥-④得：$15x-z - (3x-z) =12-0$
即$12x=12$，解得$x=1$
把$x=1$代入④得：$3×1 - z=0$，解得$z=3$
3. 求y的值：
把$x=1$，$z=3$代入③得：$7×1 + y -3=0$
解得$y=-4$
4. 检验：将$x=1,y=-4,z=3$代入①②③，均满足方程，解正确。
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=-4, \\ z=3 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题解题的关键是观察未知数的系数特征，优先消去系数互为相反数或成整数倍的未知数，降低计算难度，计算过程中要注意符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
这是三元一次方程组，解题核心是消元，先把三元转化为二元，再将二元转化为一元求解。观察三个方程中y的系数，①中y的系数为-1，③中y的系数为+1，互为相反数，优先选择消去y：第一步用①+③消去y得到关于x、z的方程，第二步再将③乘2后和②相加，也消去y得到另一个关于x、z的方程，联立得到二元一次方程组，解出x和z的值后，再代入任意一个原方程求出y的值，最后检验解是否满足所有方程即可。
【解析】
先给三个方程标序号：
$\begin{cases} 5x-y-3z=0&① \\ x-2y+z=12&② \\7x+y-z=0&③ \end{cases}$
1. 消去y：
①+③得：$5x+7x - y + y -3z -z = 0+0$
化简得：$12x-4z=0$，两边同除以4得：$3x-z=0$ ④
③×2得：$14x+2y-2z=0$ ⑤
②+⑤得：$x+14x -2y+2y +z-2z =12+0$
化简得：$15x - z =12$ ⑥
2. 解二元一次方程组$\begin{cases}3x-z=0 ④ \\15x-z=12 ⑥ \end{cases}$
⑥-④得：$15x-z - (3x-z) =12-0$
即$12x=12$，解得$x=1$
把$x=1$代入④得：$3×1 - z=0$，解得$z=3$
3. 求y的值：
把$x=1$，$z=3$代入③得：$7×1 + y -3=0$
解得$y=-4$
4. 检验：将$x=1,y=-4,z=3$代入①②③，均满足方程，解正确。
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=-4, \\ z=3 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题解题的关键是观察未知数的系数特征，优先消去系数互为相反数或成整数倍的未知数，降低计算难度，计算过程中要注意符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
