1.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$EF$交$AB$于点$E$,交$AC$的延长线于点$F$,交$BC$于点$D$,且$BE=CF$.求证:$DF=DE$.

证明:如图,过点 E 作 EG//AC 交 BC 于点 G,则∠ACB=∠EGB,∠F=∠DEG.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠EGB.
∴BE=GE.
又
∵BE=CF,
∴GE=CF.
在△CDF 和△GDE 中,
∵$\begin{cases}∠CDF=∠GDE,\\∠F=∠DEG,\\CF=GE,\end{cases}$
∴△CDF≌△GDE.(AAS)
∴DF=DE.

【分析】
要证明$DF=DE$，通常可证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知$DF$在$△ CDF$中，因此需要构造一个包含$DE$且与$△ CDF$全等的三角形。已知$AB=AC$可得$△ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ ACB$，结合$BE=CF$的条件，可过点$E$作$EG// AC$交$BC$于点$G$，借助平行线的性质得到等角，再利用等腰三角形等角对等边的性质将$BE$转化为$GE$，即可得到$GE=CF$，进而用AAS证明两个三角形全等，推出结论。
【解析】
证明：如图，过点$E$作$EG// AC$交$BC$于点$G$，则$∠ ACB=∠ EGB$，$∠ F=∠ DEG$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB$。
$\therefore ∠ B=∠ EGB$。
$\therefore BE=GE$。
又$\because BE=CF$，
$\therefore GE=CF$。
在$△ CDF$和$△ GDE$中，
$\because \begin{cases}∠ CDF=∠ GDE,\\∠ F=∠ DEG,\\CF=GE,\end{cases}$
$\therefore △ CDF≌△ GDE.(\mathrm{AAS})$
$\therefore DF=DE$。
【答案】
证明:如图,过点 E 作 EG//AC 交 BC 于点 G,则∠ACB=∠EGB,∠F=∠DEG.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠EGB.
∴BE=GE.
又
∵BE=CF,
∴GE=CF.
在△CDF 和△GDE 中,
∵$\begin{cases}∠CDF=∠GDE,\\∠F=∠DEG,\\CF=GE,\end{cases}$
∴△CDF≌△GDE.(AAS)
∴DF=DE.

【知识点】
等腰三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形中证明线段相等的典型题型，核心思路是通过作平行线构造全等三角形，将已知的相等线段转化为全等三角形的对应边，是等腰三角形相关证明中常用的辅助线作法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.65

2.如图,过等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上一点,且CQ=PA,连接PQ交AC于点D.
(1)求证:DP=DQ;
(2)若△ABC的边长为1,求DE的长.

(1)证明:如图,过点 P 作 PF//BC 交AC 于点 F,
∴∠AFP=∠ACB,∠FPD=∠Q,∠PFD=∠QCD.
∵△ABC 为等边三角形,
∴∠A=∠ACB=60°,
∴∠A=∠AFP=60°.
∴PA=PF.
∵PA=CQ,
∴PF=CQ.
在△PFD 和△QCD 中,
∵$\begin{cases}∠PFD=∠QCD,\\PF=QC,\\∠FPD=∠Q,\end{cases}$
∴△PFD≌△QCD.(ASA)
∴DP=DQ.
(2)解:由(1)知 PA=PF,∠A=60°,
∴△APF 是等边三角形.
∵PE⊥AC,
∴AE=EF=$\frac{1}{2}$AF.
∵△PFD≌△QCD,
∴FD=CD=$\frac{1}{2}$CF,
∴DE=EF+FD=$\frac{1}{2}$AF+$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$AC.
∵AC=1,
∴DE=$\frac{1}{2}$.

【分析】
(1)要证明DP=DQ，可通过证明包含这两条线段的三角形全等来实现，观察图形没有直接全等的三角形，因此考虑作辅助线构造全等：过点P作PF//BC交AC于F。首先利用平行线的性质得到对应角相等，再结合等边△ABC的内角为60°，可证△APF是等边三角形，得到PF=PA，结合已知PA=CQ，可得PF=CQ，即可通过ASA证明△PFD≌△QCD，从而得到DP=DQ。
(2)求DE的长度时，利用(1)的结论，首先由等边△APF和PE⊥AC，根据三线合一可得AE=EF，再由全等三角形的性质得FD=CD，因此DE的长度就是AC长度的一半，代入AC=1即可求出结果。
【解析】
(1)证明：如图，过点 P 作 PF//BC 交AC 于点 F，
∴∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD。
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AFP=60°。
∴PA=PF。
∵PA=CQ，
∴PF=CQ。
在△PFD 和△QCD 中，
∵$\begin{cases}∠PFD=∠QCD,\\PF=QC,\\∠FPD=∠Q,\end{cases}$
∴△PFD≌△QCD(ASA)。
∴DP=DQ。
(2)解：由(1)知 PA=PF，∠A=60°，
∴△APF 是等边三角形。
∵PE⊥AC，
∴AE=EF=$\frac{1}{2}$AF。
∵△PFD≌△QCD，
∴FD=CD=$\frac{1}{2}$CF，
∴DE=EF+FD=$\frac{1}{2}$AF+$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$AC。
∵AC=1，
∴DE=$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)DP=DQ得证；(2)DE的长为$\frac{1}{2}$。

【知识点】
1.等边三角形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.等腰三角形三线合一
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型几何题，核心解题思路是通过作平行线构造全等三角形，既考查了对等边三角形、全等三角形基础性质的掌握，也引导学生掌握构造辅助线解决几何证明的思维方法。
【难度系数】
0.7

3.如图，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为CD上一点，且AD＝DE，EF//BC交BD于点F.求证：AB＝EF.

证明:如图,过点 A 作 AM//EF 交BD 的延长线于点 M.
∵EF//BC,EF//AM,
∴BC//AM,
∴∠M=∠CBD.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∴∠M=∠ABD,
∴AM=AB.
∵AM//EF,
∴∠M=∠DFE.
在△ADM 和△EDF 中,
∵$\begin{cases}∠M=∠DFE,\\∠ADM=∠EDF,\\AD=ED,\end{cases}$
∴△ADM≌△EDF,(AAS)
∴AM=EF,
∴AB=EF.

【分析】
要证明AB=EF，两条线段无直接等量关系，需通过中间量转化：1. 结合已知BD平分∠ABC、EF//BC的条件，过点A作AM//EF交BD延长线于M，利用平行线的传递性得AM//BC，结合角平分线性质可推出∠M=∠ABD，得到AM=AB，将AB转化为AM；2. 再利用已知AD=DE，结合平行线内错角相等、对顶角相等，证明△ADM和△EDF全等，得到AM=EF；3. 最后通过等量代换即可得到AB=EF。
【解析】
证明：如图，过点A作AM//EF交BD的延长线于点M。
∵EF//BC，EF//AM，
∴BC//AM，
∴∠M=∠CBD。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠M=∠ABD，
∴AM=AB。
∵AM//EF，
∴∠M=∠DFE。
在△ADM和△EDF中，
∵$\begin{cases}∠M=∠DFE,\\∠ADM=∠EDF,\\AD=ED,\end{cases}$
∴△ADM≌△EDF（AAS），
∴AM=EF，
∴AB=EF。
【答案】
证明:如图,过点 A 作 AM//EF 交BD 的延长线于点 M.
∵EF//BC,EF//AM,
∴BC//AM,
∴∠M=∠CBD.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∴∠M=∠ABD,
∴AM=AB.
∵AM//EF,
∴∠M=∠DFE.
在△ADM 和△EDF 中,
∵$\begin{cases}∠M=∠DFE,\\∠ADM=∠EDF,\\AD=ED,\end{cases}$
∴△ADM≌△EDF,(AAS)
∴AM=EF,
∴AB=EF.

【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的构造辅助线证明线段相等的题型，通过作平行辅助线将待证的两条线段通过中间线段AM建立关联，结合等腰三角形判定和全等三角形的性质完成推导，解题关键是掌握常见辅助线的构造方法，熟练运用平行线、角平分线、全等的相关性质。
【难度系数】
0.6

4.如图,在$△ ABC$中,$AC=2AB$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,$E$是$AD$上一点,且$EA=EC$.求证:$EB ⊥ AB$.

证明:如图,过点 E 作 EF⊥AC于点 F,则∠AFE=90°.
∵EA=EC,
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC.
∵AC=2AB,
∴AB=AF.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABE 和△AFE 中,
∵$\begin{cases}AB=AF,\\∠BAE=∠FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE.(SAS)
∴∠ABE=∠AFE=90°.
∴EB⊥AB.

【分析】
要证明EB⊥AB，本质是证明∠ABE=90°。首先观察已知条件：EA=EC，说明△EAC是等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点E作EF⊥AC，即可得到AF=$\frac{1}{2}$AC；再结合AC=2AB的条件，可推出AB=AF；又因为AD平分∠BAC，可得∠BAE=∠FAE，加上公共边AE，满足SAS全等判定条件，可证△ABE≌△AFE，最后通过全等三角形对应角相等，得到∠ABE=∠AFE=90°，即可完成证明。
【解析】
证明：如图，过点E作EF⊥AC于点F，则∠AFE=90°。
∵EA=EC，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC。
∵AC=2AB，
∴AB=AF。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
在△ABE和△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AF\\ ∠ BAE=∠ FAE\\ AE=AE\end{array} $
∴△ABE≌△AFE（SAS）。
∴∠ABE=∠AFE=90°，
∴EB⊥AB。
【答案】
证明:如图,过点 E 作 EF⊥AC于点 F,则∠AFE=90°.
∵EA=EC,
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC.
∵AC=2AB,
∴AB=AF.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABE 和△AFE 中,
∵$\begin{cases}AB=AF,\\∠BAE=∠FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE.(SAS)
∴∠ABE=∠AFE=90°.
∴EB⊥AB.

【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形、全等三角形相关知识的综合应用题，通过作等腰三角形底边上的高构造全等三角形是解题的关键，掌握几何题中常见的辅助线作法，能更快找到解题方向。
【难度系数】
0.7