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8.(陕西中考)如图,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点,点F在AD上,EF⊥EC,则△CEF的面积为 (
A.10
B.8
C.5
D.4
C
)A.10
B.8
C.5
D.4
答案
8.C
解析
【分析】
本题是正方形背景下的三角形面积求解问题，解题思路如下：1. 先利用正方形的性质得到直角和边长关系，结合EF⊥EC的条件，通过角的互余关系推导角相等，证明△AEF和△BCE相似；2. 利用相似三角形的比例关系求出AF的长度，进而得到FD的长度；3. 可以通过正方形面积减去周围三个直角三角形的面积，或者直接利用直角三角形面积公式（CE和EF垂直，面积为$\frac{1}{2}×CE×EF$）计算△CEF的面积。
【解析】
已知正方形ABCD边长为4，因此$AB=BC=AD=CD=4$，$∠ A=∠ B=∠ D=90°$。
∵E是AB中点，
∴$AE=EB=\frac{1}{2}AB=2$。
∵$EF⊥ EC$，
∴$∠ CEF=90°$，则$∠ AEF + ∠ BEC = 180° - 90°=90°$。
在$Rt△ BEC$中，$∠ BEC + ∠ BCE=90°$，因此$∠ AEF=∠ BCE$。
又
∵$∠ A=∠ B=90°$，
∴$△ AEF∽△ BCE$（两角对应相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，$\frac{AF}{BE}=\frac{AE}{BC}$，代入$BE=2$，$AE=2$，$BC=4$，得$\frac{AF}{2}=\frac{2}{4}$，解得$AF=1$。
∴$FD=AD - AF=4 - 1=3$。
方法一：用总面积减周围三角形面积
正方形ABCD面积：$S_{正方形}=4×4=16$
$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}× AE× AF=\frac{1}{2}×2×1=1$
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× BE× BC=\frac{1}{2}×2×4=4$
$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}× CD× FD=\frac{1}{2}×4×3=6$
∴$S_{△ CEF}=16 - 1 - 4 - 6=5$
方法二：直接计算直角三角形面积
由勾股定理得：$EF=\sqrt{AE^2 + AF^2}=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$，$EC=\sqrt{BE^2 + BC^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=2\sqrt{5}$
∵$∠ CEF=90°$，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}× EF× EC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$
【答案】C
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是利用角的互余关系证明三角形相似，得到未知线段的长度，再结合面积公式求解，考查了学生的逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
本题是正方形背景下的三角形面积求解问题，解题思路如下：1. 先利用正方形的性质得到直角和边长关系，结合EF⊥EC的条件，通过角的互余关系推导角相等，证明△AEF和△BCE相似；2. 利用相似三角形的比例关系求出AF的长度，进而得到FD的长度；3. 可以通过正方形面积减去周围三个直角三角形的面积，或者直接利用直角三角形面积公式（CE和EF垂直，面积为$\frac{1}{2}×CE×EF$）计算△CEF的面积。
【解析】
已知正方形ABCD边长为4，因此$AB=BC=AD=CD=4$，$∠ A=∠ B=∠ D=90°$。
∵E是AB中点，
∴$AE=EB=\frac{1}{2}AB=2$。
∵$EF⊥ EC$，
∴$∠ CEF=90°$，则$∠ AEF + ∠ BEC = 180° - 90°=90°$。
在$Rt△ BEC$中，$∠ BEC + ∠ BCE=90°$，因此$∠ AEF=∠ BCE$。
又
∵$∠ A=∠ B=90°$，
∴$△ AEF∽△ BCE$（两角对应相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，$\frac{AF}{BE}=\frac{AE}{BC}$，代入$BE=2$，$AE=2$，$BC=4$，得$\frac{AF}{2}=\frac{2}{4}$，解得$AF=1$。
∴$FD=AD - AF=4 - 1=3$。
方法一：用总面积减周围三角形面积
正方形ABCD面积：$S_{正方形}=4×4=16$
$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}× AE× AF=\frac{1}{2}×2×1=1$
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× BE× BC=\frac{1}{2}×2×4=4$
$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}× CD× FD=\frac{1}{2}×4×3=6$
∴$S_{△ CEF}=16 - 1 - 4 - 6=5$
方法二：直接计算直角三角形面积
由勾股定理得：$EF=\sqrt{AE^2 + AF^2}=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$，$EC=\sqrt{BE^2 + BC^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=2\sqrt{5}$
∵$∠ CEF=90°$，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}× EF× EC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$
【答案】C
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是利用角的互余关系证明三角形相似，得到未知线段的长度，再结合面积公式求解，考查了学生的逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
9.(合肥一模)如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验,手电筒位于点G处,手电筒的光从平面镜上的点B处反射后,恰好经过木板CF的边缘点F,落在墙上的点E处,现测得AG=1.6 m,CD=6 m,AC=7.2 m,CF=2 m,已知图中点A,B,C,D在同一水平面上(物理学中反射角等于入射角),ED⊥AD,FC⊥AD,GA⊥AD,则DE的长为
(第9题图)
(第10题图)
5
m.(第9题图)
(第10题图)
答案
9.5
解析
【分析】
首先根据光的反射定律（反射角等于入射角）可得∠ABG=∠CBF，结合GA、FC都垂直于AD，可证明△GAB和△FCB相似，利用相似三角形对应边成比例求出AB、BC的长度；再根据FC、ED都垂直于AD得到FC平行于ED，进而证明△FBC和△EBD相似，再次利用相似三角形的性质即可求出DE的长度。
【解析】
解：由反射角等于入射角，结合法线垂直于水平面AD，可得$∠ ABG=∠ CBF$。
$\because GA⊥ AD$，$FC⊥ AD$，
$\therefore ∠ GAB=∠ FCB=90°$，
$\therefore △ GAB ∽ △ FCB$，
$\therefore \frac{AG}{CF}=\frac{AB}{BC}$。
代入$AG=1.6\ \mathrm{m}$，$CF=2\ \mathrm{m}$，$AC=AB+BC=7.2\ \mathrm{m}$，得：
$\frac{1.6}{2}=\frac{AB}{7.2-AB}$，
解得$AB=3.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=7.2-3.2=4\ \mathrm{m}$。
$\because FC⊥ AD$，$ED⊥ AD$，
$\therefore FC// ED$，
$\therefore ∠ BFC=∠ BED$，$∠ BCF=∠ BDE=90°$，
$\therefore △ FBC ∽ △ EBD$，
$\therefore \frac{CF}{DE}=\frac{BC}{BD}$。
又$\because BD=BC+CD=4+6=10\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{2}{DE}=\frac{4}{10}$，
解得$DE=5\ \mathrm{m}$。
【答案】
5
【知识点】
相似三角形的判定与性质，光的反射定律
【点评】
本题是跨物理和数学的综合应用题，解题的关键是结合反射定律得到等角，进而证明三角形相似，再利用相似三角形的比例关系求解线段长度，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先根据光的反射定律（反射角等于入射角）可得∠ABG=∠CBF，结合GA、FC都垂直于AD，可证明△GAB和△FCB相似，利用相似三角形对应边成比例求出AB、BC的长度；再根据FC、ED都垂直于AD得到FC平行于ED，进而证明△FBC和△EBD相似，再次利用相似三角形的性质即可求出DE的长度。
【解析】
解：由反射角等于入射角，结合法线垂直于水平面AD，可得$∠ ABG=∠ CBF$。
$\because GA⊥ AD$，$FC⊥ AD$，
$\therefore ∠ GAB=∠ FCB=90°$，
$\therefore △ GAB ∽ △ FCB$，
$\therefore \frac{AG}{CF}=\frac{AB}{BC}$。
代入$AG=1.6\ \mathrm{m}$，$CF=2\ \mathrm{m}$，$AC=AB+BC=7.2\ \mathrm{m}$，得：
$\frac{1.6}{2}=\frac{AB}{7.2-AB}$，
解得$AB=3.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=7.2-3.2=4\ \mathrm{m}$。
$\because FC⊥ AD$，$ED⊥ AD$，
$\therefore FC// ED$，
$\therefore ∠ BFC=∠ BED$，$∠ BCF=∠ BDE=90°$，
$\therefore △ FBC ∽ △ EBD$，
$\therefore \frac{CF}{DE}=\frac{BC}{BD}$。
又$\because BD=BC+CD=4+6=10\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{2}{DE}=\frac{4}{10}$，
解得$DE=5\ \mathrm{m}$。
【答案】
5
【知识点】
相似三角形的判定与性质，光的反射定律
【点评】
本题是跨物理和数学的综合应用题，解题的关键是结合反射定律得到等角，进而证明三角形相似，再利用相似三角形的比例关系求解线段长度，难度适中。
【难度系数】
0.6
10. 双空题 安徽热点 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$E$是$AD$上一点,且$BE=BD$.
(1)$∠ ABE$
(2)若$BD:BC=2:5$,$AD=12$,则$DE$的长是
(1)$∠ ABE$
=
$∠ C$;(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)(2)若$BD:BC=2:5$,$AD=12$,则$DE$的长是
4
.答案
10.(1)= (2)4
解析
【分析】
(1) 要判断∠ABE和∠C的大小关系，首先利用角平分线性质得到∠BAD=∠CAD，再结合等腰三角形BE=BD推出∠BED=∠BDE，最后根据三角形外角的性质分别表示出∠BED和∠BDE，等量代换即可得到两角的关系。
(2) 由(1)得到的等角结合角平分线的等角，可证明△ABE和△ACD相似，根据相似三角形对应边成比例，结合BD与BC的比例关系、BE=BD的条件求出AE的长度，再用AD的长度减去AE即可得到DE的长。
【解析】
(1)
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
∵BE=BD，
∴△BED是等腰三角形，∠BED=∠BDE。
根据三角形外角的性质：∠BED是△ABE的外角，故∠BED=∠BAD+∠ABE；∠BDE是△ADC的外角，故∠BDE=∠CAD+∠C。
代入∠BED=∠BDE得：∠BAD+∠ABE=∠CAD+∠C，结合∠BAD=∠CAD，化简得∠ABE=∠C。
(2) 设BD=2k，由BD:BC=2:5可得BC=5k，因此DC=BC-BD=5k-2k=3k。
∵BE=BD，
∴BE=2k。
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAE=∠ CAD(\mathrm{角平分线定义})\\∠ ABE=∠ C(\mathrm{已证})\end{array} $
∴△ABE∽△ACD（两角对应相等，两三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{DC}$，代入AD=12、BE=2k、DC=3k得：
$\frac{AE}{12}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$，解得AE=8。
∴DE=AD-AE=12-8=4。
【答案】
(1)$=$ (2)$4$
【知识点】
角平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何小综合题，将三角形基础性质和相似三角形的应用结合考查，解题的关键是合理利用外角性质推导等角，再通过相似三角形建立线段比例关系求解，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.65
(1) 要判断∠ABE和∠C的大小关系，首先利用角平分线性质得到∠BAD=∠CAD，再结合等腰三角形BE=BD推出∠BED=∠BDE，最后根据三角形外角的性质分别表示出∠BED和∠BDE，等量代换即可得到两角的关系。
(2) 由(1)得到的等角结合角平分线的等角，可证明△ABE和△ACD相似，根据相似三角形对应边成比例，结合BD与BC的比例关系、BE=BD的条件求出AE的长度，再用AD的长度减去AE即可得到DE的长。
【解析】
(1)
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
∵BE=BD，
∴△BED是等腰三角形，∠BED=∠BDE。
根据三角形外角的性质：∠BED是△ABE的外角，故∠BED=∠BAD+∠ABE；∠BDE是△ADC的外角，故∠BDE=∠CAD+∠C。
代入∠BED=∠BDE得：∠BAD+∠ABE=∠CAD+∠C，结合∠BAD=∠CAD，化简得∠ABE=∠C。
(2) 设BD=2k，由BD:BC=2:5可得BC=5k，因此DC=BC-BD=5k-2k=3k。
∵BE=BD，
∴BE=2k。
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAE=∠ CAD(\mathrm{角平分线定义})\\∠ ABE=∠ C(\mathrm{已证})\end{array} $
∴△ABE∽△ACD（两角对应相等，两三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{DC}$，代入AD=12、BE=2k、DC=3k得：
$\frac{AE}{12}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$，解得AE=8。
∴DE=AD-AE=12-8=4。
【答案】
(1)$=$ (2)$4$
【知识点】
角平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何小综合题，将三角形基础性质和相似三角形的应用结合考查，解题的关键是合理利用外角性质推导等角，再通过相似三角形建立线段比例关系求解，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.65
11.如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$交于点$O$,$M$为$AD$的中点,连接$CM$,交$BD$于点$N$,且$ON=1$.
(1)求证:$△ DMN∽△ BCN$;
(2)求$BD$的长.
(1)求证:$△ DMN∽△ BCN$;
(2)求$BD$的长.
答案
11.(1)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC.
∴△DMN∽△BCN.(2)解:
∵M为AD的中点,
∴DM=$\frac{1}{2}$AD.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,OD=OB=$\frac{1}{2}$BD.
∴DM=$\frac{1}{2}$BC.
∵△DMN∽△BCN,
∴$\frac{DN}{BN}=\frac{DM}{BC}=\frac{1}{2}$.
∴DN=$\frac{1}{3}$BD.
∴ON=OD-DN=$\frac{1}{2}$BD-$\frac{1}{3}$BD=$\frac{1}{6}$BD.
∵ON=1,
∴BD=6.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC.
∴△DMN∽△BCN.(2)解:
∵M为AD的中点,
∴DM=$\frac{1}{2}$AD.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,OD=OB=$\frac{1}{2}$BD.
∴DM=$\frac{1}{2}$BC.
∵△DMN∽△BCN,
∴$\frac{DN}{BN}=\frac{DM}{BC}=\frac{1}{2}$.
∴DN=$\frac{1}{3}$BD.
∴ON=OD-DN=$\frac{1}{2}$BD-$\frac{1}{3}$BD=$\frac{1}{6}$BD.
∵ON=1,
∴BD=6.
解析
【分析】
(1) 要证明△DMN∽△BCN，可结合平行四边形对边平行的性质，得到两组内错角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可完成证明。
(2) 求BD的长时，先利用中点性质和平行四边形对边相等的性质，得到DM与BC的比例关系，再结合(1)中相似三角形的对应边成比例，推出DN与BN的比值，进而得到DN、OD和BD的关系，最后结合已知ON=1建立等式，即可求出BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠MDN=∠CBN，∠DMN=∠BCN，
∴ △DMN∽△BCN。
(2) 解：
∵ M为AD的中点，
∴ DM=$\frac{1}{2}$AD，
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD=BC，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴ DM=$\frac{1}{2}$BC，
∵ △DMN∽△BCN，
∴ $\frac{DN}{BN}=\frac{DM}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ BN=2DN，即BD=DN+BN=3DN，故DN=$\frac{1}{3}$BD，
∴ ON=OD-DN=$\frac{1}{2}$BD-$\frac{1}{3}$BD=$\frac{1}{6}$BD，
∵ ON=1，
∴ BD=6。
【答案】
(1) 证明成立；(2) BD的长为6。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定、性质，通过线段间的比例关系建立等式求解，是平面几何的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△DMN∽△BCN，可结合平行四边形对边平行的性质，得到两组内错角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可完成证明。
(2) 求BD的长时，先利用中点性质和平行四边形对边相等的性质，得到DM与BC的比例关系，再结合(1)中相似三角形的对应边成比例，推出DN与BN的比值，进而得到DN、OD和BD的关系，最后结合已知ON=1建立等式，即可求出BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠MDN=∠CBN，∠DMN=∠BCN，
∴ △DMN∽△BCN。
(2) 解：
∵ M为AD的中点，
∴ DM=$\frac{1}{2}$AD，
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD=BC，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴ DM=$\frac{1}{2}$BC，
∵ △DMN∽△BCN，
∴ $\frac{DN}{BN}=\frac{DM}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ BN=2DN，即BD=DN+BN=3DN，故DN=$\frac{1}{3}$BD，
∴ ON=OD-DN=$\frac{1}{2}$BD-$\frac{1}{3}$BD=$\frac{1}{6}$BD，
∵ ON=1，
∴ BD=6。
【答案】
(1) 证明成立；(2) BD的长为6。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定、性质，通过线段间的比例关系建立等式求解，是平面几何的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形。若A(-2,0)，D(3,0)，AC=2√2，则线段DF的长为
$3\sqrt{2}$
。答案
12.$3\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：首先明确位似图形是特殊的相似图形，位似比等于对应点到位似中心的距离之比；其次找到对应点A、D，根据两点坐标求出OA、OD的长度，得到位似比；最后利用相似三角形对应边成比例，结合已知AC的长度，即可求出DF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形
∴△ABC∽△DEF，且位似比$k=\frac{OA}{OD}$
由A(-2,0)得$OA=|-2|=2$，由D(3,0)得$OD=|3|=3$
∴位似比$k=\frac{OA}{OD}=\frac{2}{3}$
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{2}{3}$
将$AC=2\sqrt{2}$代入得：$\frac{2\sqrt{2}}{DF}=\frac{2}{3}$
解得$DF=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形的性质
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是掌握位似图形与相似图形的关系，能通过对应点的坐标计算位似比，再结合相似的性质求解对应边长，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：首先明确位似图形是特殊的相似图形，位似比等于对应点到位似中心的距离之比；其次找到对应点A、D，根据两点坐标求出OA、OD的长度，得到位似比；最后利用相似三角形对应边成比例，结合已知AC的长度，即可求出DF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形
∴△ABC∽△DEF，且位似比$k=\frac{OA}{OD}$
由A(-2,0)得$OA=|-2|=2$，由D(3,0)得$OD=|3|=3$
∴位似比$k=\frac{OA}{OD}=\frac{2}{3}$
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{2}{3}$
将$AC=2\sqrt{2}$代入得：$\frac{2\sqrt{2}}{DF}=\frac{2}{3}$
解得$DF=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形的性质
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是掌握位似图形与相似图形的关系，能通过对应点的坐标计算位似比，再结合相似的性质求解对应边长，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
13. 作图题 安徽热点（安徽中考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，$△ ABC$的顶点和$A_1$均为格点（网格线的交点）。已知点$A$和$A_1$的坐标分别为$(-1,-3)$和$(2,6)$。
(1)在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$，并写出点$D$的坐标；
(2)以点$O$为位似中心，将$△ ABC$放大得到$△ A_1B_1C_1$，使得点$A$的对应点为$A_1$，请在所给的网格图中画出$△ A_1B_1C_1$。
(1)在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$，并写出点$D$的坐标；
(2)以点$O$为位似中心，将$△ ABC$放大得到$△ A_1B_1C_1$，使得点$A$的对应点为$A_1$，请在所给的网格图中画出$△ A_1B_1C_1$。
答案
13.解:(1)如图,点D即为所求,点D的坐标为$(-2,-1)$.(2)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
解析
【分析】
(1)求AB中点D的坐标，首先需要先确定点B的坐标，再利用中点坐标公式计算D的坐标，最后在网格中描出对应点即可；(2)位似作图首先要确定位似比，已知位似中心是原点O，根据A和A₁的坐标可算出位似比，再将B、C的坐标按照位似比变换得到对应点B₁、C₁的坐标，描点后顺次连接三个顶点即可得到△A₁B₁C₁。
【解析】
(1)观察网格可得点B的坐标为$(-3,1)$，已知点A的坐标为$(-1,-3)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入A、B坐标可得：
D点横坐标：$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，
D点纵坐标：$\frac{-3+1}{2}=-1$，
即$D(-2,-1)$，在网格中对应位置描出点D即可。
(2)已知位似中心为原点O，点A$(-1,-3)$的对应点为$A_1(2,6)$，可得位似比为$k=\frac{2}{-1}=-2$，即位似变换规则为将原图形各顶点的横、纵坐标均乘以$-2$得到对应点坐标：
点B$(-3,1)$的对应点$B_1$坐标为$(6,-2)$，
点C$(-2,2)$的对应点$C_1$坐标为$(4,-4)$，
在网格中描出$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即可得到所求的$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
(1)如图,点D即为所求,点D的坐标为$(-2,-1)$.(2)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
【知识点】
中点坐标公式；位似变换作图；平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础作图题，结合网格考查中点坐标计算和位似图形的绘制，解题的关键是熟练掌握中点坐标公式以及以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律，作图时要注意对应点的位置准确。
【难度系数】
0.7
(1)求AB中点D的坐标，首先需要先确定点B的坐标，再利用中点坐标公式计算D的坐标，最后在网格中描出对应点即可；(2)位似作图首先要确定位似比，已知位似中心是原点O，根据A和A₁的坐标可算出位似比，再将B、C的坐标按照位似比变换得到对应点B₁、C₁的坐标，描点后顺次连接三个顶点即可得到△A₁B₁C₁。
【解析】
(1)观察网格可得点B的坐标为$(-3,1)$，已知点A的坐标为$(-1,-3)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入A、B坐标可得：
D点横坐标：$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，
D点纵坐标：$\frac{-3+1}{2}=-1$，
即$D(-2,-1)$，在网格中对应位置描出点D即可。
(2)已知位似中心为原点O，点A$(-1,-3)$的对应点为$A_1(2,6)$，可得位似比为$k=\frac{2}{-1}=-2$，即位似变换规则为将原图形各顶点的横、纵坐标均乘以$-2$得到对应点坐标：
点B$(-3,1)$的对应点$B_1$坐标为$(6,-2)$，
点C$(-2,2)$的对应点$C_1$坐标为$(4,-4)$，
在网格中描出$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即可得到所求的$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
(1)如图,点D即为所求,点D的坐标为$(-2,-1)$.(2)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
【知识点】
中点坐标公式；位似变换作图；平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础作图题，结合网格考查中点坐标计算和位似图形的绘制，解题的关键是熟练掌握中点坐标公式以及以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律，作图时要注意对应点的位置准确。
【难度系数】
0.7
