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6.「2026青海西宁期末，★☆」某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个.
(1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率.
(2)已知玩偶每个成本为30元，当每个售价为50元时，日销量可达320个；每个玩偶每降价1元，日销量可增加5个.当每个玩偶降价多少元时，玩偶的日销售利润可达到5940元？
(1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率.
(2)已知玩偶每个成本为30元，当每个售价为50元时，日销量可达320个；每个玩偶每降价1元，日销量可增加5个.当每个玩偶降价多少元时，玩偶的日销售利润可达到5940元？
答案
解析
(1)设玩偶销售量的日平均增长率为x,
由题意,得$200(1+x)^{2}=338$,
解得$x_{1}=0.3$,$x_{2}=-2.3$(不合题意,舍去).
答:3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为30%.
(2)设每个玩偶降价y元,
由题意,得$(50-y-30)(320+5y)=5 940$,
解得$y_{1}=2$,$y_{2}=-46$(不合题意,舍去).
答:当每个玩偶降价2元时,玩偶的日销售利润可达到5 940元.
(1)设玩偶销售量的日平均增长率为x,
由题意,得$200(1+x)^{2}=338$,
解得$x_{1}=0.3$,$x_{2}=-2.3$(不合题意,舍去).
答:3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为30%.
(2)设每个玩偶降价y元,
由题意,得$(50-y-30)(320+5y)=5 940$,
解得$y_{1}=2$,$y_{2}=-46$(不合题意,舍去).
答:当每个玩偶降价2元时,玩偶的日销售利润可达到5 940元.
解析
【分析】
（1）本题为增长率类应用题，解题思路如下：首先回忆增长率问题的通用等量关系：初始量×(1+日平均增长率)ⁿ=增长n次后的最终量。本题中初始销量是3月4日的200个，经过2天增长到338个，n=2，据此设未知数列一元二次方程即可求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）本题为销售利润类应用题，核心等量关系为：日销售利润=单个商品利润×日销售量。其中单个利润=原售价-成本-降价金额，日销售量=原销量+每降价1元增加的销量×降价金额，据此设未知数列方程求解即可，同样需要舍去不符合实际的负根。
【解析】
(1) 设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为x，
由题意得：$200(1+x)^2=338$，
解得$x_1=0.3=30\%$，$x_2=-2.3$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2) 设当每个玩偶降价y元时，玩偶的日销售利润可达到5940元，
此时单个玩偶的利润为$(50-y-30)$元，日销售量为$(320+5y)$个，
由题意得：$(50-y-30)(320+5y)=5940$，
解得$y_1=2$，$y_2=-46$（降价金额不能为负，不合题意，舍去）。
【答案】
(1) 30%；(2) 2元
【知识点】
一元二次方程实际应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见基础题型，两类问题均为高频考点，解题关键是找准对应场景的等量关系列方程，求解后要结合实际情境检验根的合理性，避免出现不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.8
（1）本题为增长率类应用题，解题思路如下：首先回忆增长率问题的通用等量关系：初始量×(1+日平均增长率)ⁿ=增长n次后的最终量。本题中初始销量是3月4日的200个，经过2天增长到338个，n=2，据此设未知数列一元二次方程即可求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）本题为销售利润类应用题，核心等量关系为：日销售利润=单个商品利润×日销售量。其中单个利润=原售价-成本-降价金额，日销售量=原销量+每降价1元增加的销量×降价金额，据此设未知数列方程求解即可，同样需要舍去不符合实际的负根。
【解析】
(1) 设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为x，
由题意得：$200(1+x)^2=338$，
解得$x_1=0.3=30\%$，$x_2=-2.3$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2) 设当每个玩偶降价y元时，玩偶的日销售利润可达到5940元，
此时单个玩偶的利润为$(50-y-30)$元，日销售量为$(320+5y)$个，
由题意得：$(50-y-30)(320+5y)=5940$，
解得$y_1=2$，$y_2=-46$（降价金额不能为负，不合题意，舍去）。
【答案】
(1) 30%；(2) 2元
【知识点】
一元二次方程实际应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见基础题型，两类问题均为高频考点，解题关键是找准对应场景的等量关系列方程，求解后要结合实际情境检验根的合理性，避免出现不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.8
7.「2026辽宁沈阳期末，★☆」某文创公司设计了一款纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，每天销售量y(个)与每个售价x(元)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)公司将每个纪念章的售价定为多少元时，每天的利润为6000元？
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)公司将每个纪念章的售价定为多少元时，每天的利润为6000元？
答案
解析
(1)设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$,
将$(53,740)$,$(54,720)$代入,
得$\begin{cases}53k+b=740,\\54k+b=720,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-20,\\b=1 800,\end{cases}$
∵ 每个售价不低于成本价且不超过75元,
$\therefore 50≤ x≤ 75$,
∴ y与x的函数关系式为$y=-20x+1 800(50≤ x≤ 75)$.
(2)由题意,得$(x-50)(-20x+1 800)=6 000$,
解得$x_{1}=60$,$x_{2}=80$(不合题意,舍去).
答:公司将每个纪念章的售价定为60元时,每天的利润为6 000元.
(1)设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$,
将$(53,740)$,$(54,720)$代入,
得$\begin{cases}53k+b=740,\\54k+b=720,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-20,\\b=1 800,\end{cases}$
∵ 每个售价不低于成本价且不超过75元,
$\therefore 50≤ x≤ 75$,
∴ y与x的函数关系式为$y=-20x+1 800(50≤ x≤ 75)$.
(2)由题意,得$(x-50)(-20x+1 800)=6 000$,
解得$x_{1}=60$,$x_{2}=80$(不合题意,舍去).
答:公司将每个纪念章的售价定为60元时,每天的利润为6 000元.
解析
【分析】
(1) 已知y与x是一次函数关系，采用待定系数法求解：首先从图象中提取两个已知点的坐标$(53,740)$和$(54,720)$，代入一次函数通式$y=kx+b$，解二元一次方程组即可得到k和b的值；再结合题目给出的售价不低于成本50元、不超过75元的限制，确定自变量x的取值范围。
(2) 依据销售利润的计算公式“总利润=单个商品利润×销售量”列方程：单个商品利润为售价减成本即$(x-50)$元，销售量为第一问求出的y，代入利润条件得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去不符合题意的解，即可得到最终售价。
【解析】
(1) 设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(53,740)$、$(54,720)$代入解析式，得：
$\begin{cases}53k+b=740\\54k+b=720\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$k=-20$，将$k=-20$代入$53k+b=740$，解得$b=1800$。
结合售价限制：不低于成本50元，不超过75元，因此自变量取值范围为$50≤x≤75$。
综上，y与x的函数关系式为$y=-20x+1800(50≤x≤75)$。
(2) 由题意，单个纪念章利润为$(x-50)$元，销售量为$(-20x+1800)$个，总利润为6000元，列方程：
$(x-50)(-20x+1800)=6000$
整理得$x^2-140x+4800=0$，因式分解为$(x-60)(x-80)=0$，
解得$x_1=60$，$x_2=80$。
因为$50≤x≤75$，所以$x=80$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $y=-20x+1800(50≤x≤75)$
(2) 60元
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的常规应用题，解题核心是先通过图象信息求出销售量与售价的函数关系，再结合利润公式列方程，特别要注意结合实际取值范围排除不符合要求的解，侧重考查基础知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知y与x是一次函数关系，采用待定系数法求解：首先从图象中提取两个已知点的坐标$(53,740)$和$(54,720)$，代入一次函数通式$y=kx+b$，解二元一次方程组即可得到k和b的值；再结合题目给出的售价不低于成本50元、不超过75元的限制，确定自变量x的取值范围。
(2) 依据销售利润的计算公式“总利润=单个商品利润×销售量”列方程：单个商品利润为售价减成本即$(x-50)$元，销售量为第一问求出的y，代入利润条件得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去不符合题意的解，即可得到最终售价。
【解析】
(1) 设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(53,740)$、$(54,720)$代入解析式，得：
$\begin{cases}53k+b=740\\54k+b=720\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$k=-20$，将$k=-20$代入$53k+b=740$，解得$b=1800$。
结合售价限制：不低于成本50元，不超过75元，因此自变量取值范围为$50≤x≤75$。
综上，y与x的函数关系式为$y=-20x+1800(50≤x≤75)$。
(2) 由题意，单个纪念章利润为$(x-50)$元，销售量为$(-20x+1800)$个，总利润为6000元，列方程：
$(x-50)(-20x+1800)=6000$
整理得$x^2-140x+4800=0$，因式分解为$(x-60)(x-80)=0$，
解得$x_1=60$，$x_2=80$。
因为$50≤x≤75$，所以$x=80$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $y=-20x+1800(50≤x≤75)$
(2) 60元
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的常规应用题，解题核心是先通过图象信息求出销售量与售价的函数关系，再结合利润公式列方程，特别要注意结合实际取值范围排除不符合要求的解，侧重考查基础知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
8. 核心 素养 模型观念 聚焦 中考 项目式学习 「2026福建泉州晋江学校期末」
项目式学习
项目主题 如何销售获利最大
项目背景 某商场店铺老板准备购买玩具进行销售
市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批该玩具,现按60元/个进行销售,平均每天可以卖出100个,为了提高利润,经市场调研发现,每个玩具每涨价2元,每天会少卖出5个,且商场规定该玩具的价格不得高于70元/个,设老板准备将每个玩具涨价x元,
..
分析问题 当每个玩具涨价x元时,每个玩具的利润为
解决问题 若老板想每天获利2210元,在不违反商场规定的前提下应该如何定价
深入研究 在不违反商场规定的前提下,能否每天获利2300元?请说明理由
项目式学习
项目主题 如何销售获利最大
项目背景 某商场店铺老板准备购买玩具进行销售
市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批该玩具,现按60元/个进行销售,平均每天可以卖出100个,为了提高利润,经市场调研发现,每个玩具每涨价2元,每天会少卖出5个,且商场规定该玩具的价格不得高于70元/个,设老板准备将每个玩具涨价x元,
..分析问题 当每个玩具涨价x元时,每个玩具的利润为
$(20+x)$
元,此时平均每天可卖出玩具$100-\frac{5x}{2}$
个解决问题 若老板想每天获利2210元,在不违反商场规定的前提下应该如何定价
深入研究 在不违反商场规定的前提下,能否每天获利2300元?请说明理由
答案
解析
【分析问题】$(20+x)$;$(100-\dfrac{5x}{2})$.
详解:当每个玩具涨价x元时,每个玩具的利润为$60+x-40=(20+x)$元,此时平均每天可卖出玩具$100-5×\dfrac{x}{2}=(100-\dfrac{5x}{2})$个.
【解决问题】由题意,得$(20+x)(100-\dfrac{5x}{2})=2 210$,
解得$x_{1}=14$,$x_{2}=6$.
当$x=14$时,每个玩具的定价为$60+14=74$(元)$＞70$元,不符合题意,舍去;
当$x=6$时,每个玩具的定价为$60+6=66$(元).
答:若老板想每天获利2 210元,在不违反商场规定的前提下每个玩具应该定价为66元.
【深入研究】不能.理由如下:
由题意,得$(20+x)(100-\dfrac{5x}{2})=2 300$,
整理,得$x^{2}-20x+120=0$,
$\because \Delta =b^{2}-4ac=(-20)^{2}-4× 1× 120=-80＜0$,
∴ 原方程无实数根.
∴ 在不违反商场规定的前提下,不能每天获利2 300元.
【分析问题】$(20+x)$;$(100-\dfrac{5x}{2})$.
详解:当每个玩具涨价x元时,每个玩具的利润为$60+x-40=(20+x)$元,此时平均每天可卖出玩具$100-5×\dfrac{x}{2}=(100-\dfrac{5x}{2})$个.
【解决问题】由题意,得$(20+x)(100-\dfrac{5x}{2})=2 210$,
解得$x_{1}=14$,$x_{2}=6$.
当$x=14$时,每个玩具的定价为$60+14=74$(元)$＞70$元,不符合题意,舍去;
当$x=6$时,每个玩具的定价为$60+6=66$(元).
答:若老板想每天获利2 210元,在不违反商场规定的前提下每个玩具应该定价为66元.
【深入研究】不能.理由如下:
由题意,得$(20+x)(100-\dfrac{5x}{2})=2 300$,
整理,得$x^{2}-20x+120=0$,
$\because \Delta =b^{2}-4ac=(-20)^{2}-4× 1× 120=-80＜0$,
∴ 原方程无实数根.
∴ 在不违反商场规定的前提下,不能每天获利2 300元.
解析
【分析】
解题可分三步展开思路：1. 分析问题部分：单个利润=涨价后售价-成本，涨价后售价为(60+x)元，成本为40元，可直接计算单个利润；销量随涨价减少，每涨2元少卖5个，先计算x元包含多少个2元，即可得到少卖的数量，用原销量减去少卖的数量就能得到当前日销量。2. 解决问题部分：总利润=单个利润×日销量，结合总利润2210元列方程求解，再根据“售价不得高于70元”的限制筛选符合要求的解，进而得到定价。3. 深入研究部分：同样根据总利润公式列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，若无实根则说明无法达到该利润。
【解析】
分析问题
当每个玩具涨价x元时，单个玩具售价为$(60+x)$元，因此单个利润为：$60+x-40=(20+x)$元；
每涨价2元少卖5个，涨价x元时少卖的数量为$5×\frac{x}{2}$个，因此日销量为：$100-\frac{5x}{2}$个。
解决问题
根据总利润计算公式列方程：
$(20+x)(100-\dfrac{5x}{2})=2210$
整理求解得$x_1=6$，$x_2=14$。
由商场规定可知售价不高于70元，即$60+x≤70$，得$x≤10$，因此$x=14$不符合要求，舍去。
此时定价为$60+6=66$元。
深入研究
不能，理由如下：
假设可获利2300元，列方程得：
$(20+x)(100-\dfrac{5x}{2})=2300$
整理得$x^2-20x+120=0$，计算根的判别式：
$\Delta =(-20)^2-4×1×120=-80＜0$
因此该方程无实数根，不存在符合条件的涨价方案。
【答案】
分析问题：$\boldsymbol{(20+x)}$；$\boldsymbol{(100-\dfrac{5x}{2})}$
解决问题：每个玩具应定价为66元/个
深入研究：不能，所列一元二次方程无实数根，不存在符合要求的涨价方案
【知识点】
销售利润计算；一元二次方程的应用；根的判别式应用
【点评】
本题以实际销售场景为载体，既考查了列代数式的基础能力，也考查了一元二次方程的求解和实际应用，解题时需注意题干中的售价限制条件，避免忽略要求得到增解，能够很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题可分三步展开思路：1. 分析问题部分：单个利润=涨价后售价-成本，涨价后售价为(60+x)元，成本为40元，可直接计算单个利润；销量随涨价减少，每涨2元少卖5个，先计算x元包含多少个2元，即可得到少卖的数量，用原销量减去少卖的数量就能得到当前日销量。2. 解决问题部分：总利润=单个利润×日销量，结合总利润2210元列方程求解，再根据“售价不得高于70元”的限制筛选符合要求的解，进而得到定价。3. 深入研究部分：同样根据总利润公式列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，若无实根则说明无法达到该利润。
【解析】
分析问题
当每个玩具涨价x元时，单个玩具售价为$(60+x)$元，因此单个利润为：$60+x-40=(20+x)$元；
每涨价2元少卖5个，涨价x元时少卖的数量为$5×\frac{x}{2}$个，因此日销量为：$100-\frac{5x}{2}$个。
解决问题
根据总利润计算公式列方程：
$(20+x)(100-\dfrac{5x}{2})=2210$
整理求解得$x_1=6$，$x_2=14$。
由商场规定可知售价不高于70元，即$60+x≤70$，得$x≤10$，因此$x=14$不符合要求，舍去。
此时定价为$60+6=66$元。
深入研究
不能，理由如下：
假设可获利2300元，列方程得：
$(20+x)(100-\dfrac{5x}{2})=2300$
整理得$x^2-20x+120=0$，计算根的判别式：
$\Delta =(-20)^2-4×1×120=-80＜0$
因此该方程无实数根，不存在符合条件的涨价方案。
【答案】
分析问题：$\boldsymbol{(20+x)}$；$\boldsymbol{(100-\dfrac{5x}{2})}$
解决问题：每个玩具应定价为66元/个
深入研究：不能，所列一元二次方程无实数根，不存在符合要求的涨价方案
【知识点】
销售利润计算；一元二次方程的应用；根的判别式应用
【点评】
本题以实际销售场景为载体，既考查了列代数式的基础能力，也考查了一元二次方程的求解和实际应用，解题时需注意题干中的售价限制条件，避免忽略要求得到增解，能够很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
