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22. (12 分) 如图, 在平面直角坐标系中有点$A(a,0),B(0,b)$, 且 $a,b$ 满足 $(a-5)^2+\sqrt{b+5}=0$, 连接 $AB$, 点 $C$ 在线段 $AB$ 上, 连接$OC$, 若点 $C$ 的纵坐标为 $m$.
(1) 点 $C$ 的横坐标为
(2) 过点 $O$ 作 $OC$ 的垂线 $l$, 在垂线 $l$ 上取一点 $D$, 满足 $OC=OD$, 设点 $D$ 的坐标为 $(x,y)$.请先按要求在图中画出图形, 再求 $x+y$ 的值.
(1) 点 $C$ 的横坐标为
$5+m$
.(直接用含 $m$的式子表示)(2) 过点 $O$ 作 $OC$ 的垂线 $l$, 在垂线 $l$ 上取一点 $D$, 满足 $OC=OD$, 设点 $D$ 的坐标为 $(x,y)$.请先按要求在图中画出图形, 再求 $x+y$ 的值.
答案
22. (1) $5+m$ 解析:
∵$(a-5)^2 \ge 0$,$\sqrt{b+5} \ge 0$,$(a-5)^2+\sqrt{b+5}=0$,$\therefore (a-5)^2=0$,$\sqrt{b+5}=0$,$\therefore a=5$,$b=-5$,$\therefore A(5,0)$,$B(0,-5)$,$\therefore OA=OB=5$.$\because ∠ AOB=90°$,$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=45°$.如图①,过点$C$作$CP ⊥ OA$于点$P$,$\therefore △ APC$是等腰直角三角形,$\therefore AP=CP$.$\because$ 点$C$的纵坐标为$m$,$\therefore AP=CP=-m$,$\therefore OP=OA-AP=5+m$,故点$C$的横坐标为$5+m$.
(2) 如图②,存在$D_1$和$D_2$两点,以点$D_1$为例.过点$D_1$作$D_1H ⊥ OA$于点$H$,过点$C$作$CE ⊥ OA$于点$E$,$\therefore ∠ D_1HO=∠ OEC=∠ COD_1=90°$,$\therefore ∠ D_1OH+∠ OD_1H=∠ D_1OH+∠ COE=90°$,$\therefore ∠ OD_1H=∠ COE$.$\because OD_1=CO$,$\therefore △ OD_1H ≌ △ COA(\mathrm{AAS})$,$\therefore D_1H=OE$,$OH=CE$.$\because OE=5+m$,$CE=-m$,$\therefore D_1(-m,5+m)$.同理,可得$D_2(m,-5-m)$,$\therefore x+y=5$或$x+y=-5$.
23. (12 分)在同一平面内,若一个点到一条直线的距离不大于1,则称这个点是该直线的"伴侣点".
在平面直角坐标系中,已知点 $M(1,0)$,过点$M$ 作直线 $l$ 平行于 $y$ 轴,点 $A(-1,a)$,点 $B(b,2a)$,点 $C(-\dfrac{1}{2},a-1)$,将 $△ ABC$ 进行平移,平移后点 $A$ 的对应点为 $D$,点 $B$ 的对应点为 $E$,点 $C$ 的对应点为 $F$.
(1)点 $A$ 是不是直线 $l$ 的"伴侣点"?请判断并说明理由.
(2)若点 $F$ 刚好落在直线 $l$ 上,点 $F$ 的纵坐标为 $a+b$,点 $E$ 落在 $x$ 轴上,且 $△ MFD$ 的面积为 $\dfrac{1}{12}$,试判断点 $B$ 是不是直线 $l$ 的"伴侣点",并说明理由.
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在平面直角坐标系中,已知点 $M(1,0)$,过点$M$ 作直线 $l$ 平行于 $y$ 轴,点 $A(-1,a)$,点 $B(b,2a)$,点 $C(-\dfrac{1}{2},a-1)$,将 $△ ABC$ 进行平移,平移后点 $A$ 的对应点为 $D$,点 $B$ 的对应点为 $E$,点 $C$ 的对应点为 $F$.
(1)点 $A$ 是不是直线 $l$ 的"伴侣点"?请判断并说明理由.
(2)若点 $F$ 刚好落在直线 $l$ 上,点 $F$ 的纵坐标为 $a+b$,点 $E$ 落在 $x$ 轴上,且 $△ MFD$ 的面积为 $\dfrac{1}{12}$,试判断点 $B$ 是不是直线 $l$ 的"伴侣点",并说明理由.
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答案
23. (1) 点$A$不是直线$l$的“伴侣点”,理由:
∵$A(-1,a)$,直线$l$:$x=1$,$\therefore$ 点$A$到直线$l$的距离为2,$2＞1$,$\therefore$ 点$A$不是直线$l$的“伴侣点”.
(2) 点$B$是直线$l$的“伴侣点”.理由:
∵$C(-\dfrac{1}{2},a-1) \to F(1,a+b)$,$\therefore$ 横坐标加$\dfrac{3}{2}$,纵坐标加$(b+1)$,$\therefore D(\dfrac{1}{2},a+b+1)$,$E(b+\dfrac{3}{2},2a+b+1)$.$\because$ 点$E$落在$x$轴上,$\therefore 2a+b+1=0$.$\because △ MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$,$\therefore \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2}|a+b|=\dfrac{1}{12}$,$\therefore a+b=\pm \dfrac{1}{3}$.当$a+b=\dfrac{1}{3}$时,解得$a=-\dfrac{4}{3}$,$b=\dfrac{5}{3}$,此时$B(\dfrac{5}{3},-\dfrac{8}{3})$,点$B$是直线$l$的“伴侣点”.当$a+b=-\dfrac{1}{3}$时,$a=-\dfrac{2}{3}$,$b=\dfrac{1}{3}$,此时$B(\dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3})$,点$B$是直线$l$的“伴侣点”.综上,点$B$是直线$l$的“伴侣点”.
∵$A(-1,a)$,直线$l$:$x=1$,$\therefore$ 点$A$到直线$l$的距离为2,$2＞1$,$\therefore$ 点$A$不是直线$l$的“伴侣点”.
(2) 点$B$是直线$l$的“伴侣点”.理由:
∵$C(-\dfrac{1}{2},a-1) \to F(1,a+b)$,$\therefore$ 横坐标加$\dfrac{3}{2}$,纵坐标加$(b+1)$,$\therefore D(\dfrac{1}{2},a+b+1)$,$E(b+\dfrac{3}{2},2a+b+1)$.$\because$ 点$E$落在$x$轴上,$\therefore 2a+b+1=0$.$\because △ MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$,$\therefore \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2}|a+b|=\dfrac{1}{12}$,$\therefore a+b=\pm \dfrac{1}{3}$.当$a+b=\dfrac{1}{3}$时,解得$a=-\dfrac{4}{3}$,$b=\dfrac{5}{3}$,此时$B(\dfrac{5}{3},-\dfrac{8}{3})$,点$B$是直线$l$的“伴侣点”.当$a+b=-\dfrac{1}{3}$时,$a=-\dfrac{2}{3}$,$b=\dfrac{1}{3}$,此时$B(\dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3})$,点$B$是直线$l$的“伴侣点”.综上,点$B$是直线$l$的“伴侣点”.
