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24.(10分)已知$a// b$，点A,B在直线a上，点C,D在直线b上，且$AD⊥ BC$于点E。
(1)如图1,求证:$∠ ABC+∠ ADC=90°$。
(2)如图2,BF平分$∠ ABC$交AD于点F,DG平分$∠ ADC$交BC于点G,求$∠ AFB+∠ CGD$的度数。
(3)如图3,P为线段AB上一点,I为线段BC上一点,连结PI,N为$∠ IPB$的平分线上一点,且$∠ NCD=\frac{1}{2}∠ BCN$,则用等式表示$∠ CIP,∠ IPN,∠ CNP$之间的数量关系是__________。
(1)如图1,求证:$∠ ABC+∠ ADC=90°$。
(2)如图2,BF平分$∠ ABC$交AD于点F,DG平分$∠ ADC$交BC于点G,求$∠ AFB+∠ CGD$的度数。
(3)如图3,P为线段AB上一点,I为线段BC上一点,连结PI,N为$∠ IPB$的平分线上一点,且$∠ NCD=\frac{1}{2}∠ BCN$,则用等式表示$∠ CIP,∠ IPN,∠ CNP$之间的数量关系是__________。
答案
24.(1)过点E作$EF// a$。$\because a// b,\therefore a// b// EF$。$\because AD⊥ BC,\therefore ∠ BED=90°$。$\because EF// a,\therefore ∠ ABE=∠ BEF$。$\because EF// b,\therefore ∠ FED=∠ CDE$。$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=∠ BED=90°$。
(2)作$FM// a$，$GN// b$。设$∠ ABF=∠ EBF=x$，$∠ ADG=∠ CDG=y$。由(1)知：$2x+2y=90°$，$x+y=45°$，$\because FM// a// b,\therefore ∠ BFD=2y+x$。$\therefore ∠ AFB=180°-(2y+x)$。同理可得$∠ CGD=180°-(2x+y)$。$\therefore ∠ AFB+∠ CGD=360°-(3x+3y)=360°-3×45°=225°$。
(3)当点N在$∠ DCB$内部时，因为PN平分$∠ IPB$，$∠ NCD=\dfrac{1}{2}∠ BCN$，所以设$∠ BPN=∠ IPN=α$，$∠ NCD=β$，$∠ BCN=2β$。同(1)理得，$∠ CIP=∠ IPB+∠ ICD=2α+3β$，$∠ CNP=∠ BPN+∠ NCD=α+β$，所以$∠ CIP+∠ IPN=3α+3β=3∠ CNP$。当点$N'$在直线CD的下方时，因为$PN'$平分$∠ IPB$，$∠ N'CD=\dfrac{1}{2}∠ BCN'$，所以设$∠ BPN'=∠ IPN'=α$，$∠ N'CD=\dfrac{1}{2}∠ BCN'=∠ ICD=β$。同(1)理得$∠ CIP=∠ IPB+∠ ICD=2α+β$，$∠ CN'P=∠ BPN'-∠ N'CD=α-β$，所以$∠ CIP+∠ CN'P=3α=3∠ IPN'$。综上所述，$3∠ CNP=∠ CIP+∠ IPN$或$3∠ IPN=∠ CIP+∠ CNP$。
解析
【分析】
第(1)问：要证∠ABC+∠ADC=90°，已知AD⊥BC得∠BED=90°，结合a//b，通过过E作平行线EF，利用平行传递性将∠ABC、∠ADC转化为∠BEF、∠FED，它们的和等于∠BED，即可得证。
第(2)问：利用角平分线定义设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，由(1)得2x+2y=90°即x+y=45°，再作辅助线FM//a、GN//b，将∠AFB、∠CGD用x、y表示，代入计算即可。
第(3)问：分两种情况讨论：①N在∠DCB内部，②N'在CD下方，结合角平分线定义和类似(1)的角转化方法，设未知数推导三个角的数量关系，需注意分类讨论。
【解析】
(1) 过点E作EF//a，
∵a//b，
∴a//b//EF，
∵AD⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵EF//a，
∴∠ABE=∠BEF，
∵EF//b，
∴∠FED=∠CDE，
∴∠ABC+∠ADC=∠BEF+∠FED=∠BED=90°，得证。
(2) 设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，
由(1)知：2x+2y=90°，即x+y=45°，
作FM//a，GN//b，
∵FM//a//b，
∴∠BFD=2y+x，
∴∠AFB=180°-(2y+x)，
同理可得∠CGD=180°-(2x+y)，
∴∠AFB+∠CGD=360°-(3x+3y)=360°-3×45°=225°。
(3) 分两种情况：
①当点N在∠DCB内部时，设∠BPN=∠IPN=α，∠NCD=β，则∠BCN=2β，
由平行线性质得：∠CIP=∠IPB+∠ICD=2α+3β，∠CNP=∠BPN+∠NCD=α+β，
∴∠CIP+∠IPN=2α+3β+α=3(α+β)=3∠CNP，即3∠CNP=∠CIP+∠IPN；
②当点N'在直线CD下方时，设∠BPN'=∠IPN'=α，∠N'CD=β，则∠BCN'=2β，
同理得∠CIP=∠IPB+∠ICD=2α+β，∠CN'P=∠BPN'-∠N'CD=α-β，
∴∠CIP+∠CN'P=2α+β+α-β=3α=3∠IPN'，即3∠IPN=∠CIP+∠CNP；
综上，数量关系为3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP。
【答案】
3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、辅助线构造
【点评】
本题为几何综合题，综合考查平行线的性质、角平分线的应用，通过作辅助线转化角的关系是解题关键，第(3)问需分类讨论，考查学生的逻辑推理与分类思想，难度适中。
【难度系数】
0.5
第(1)问：要证∠ABC+∠ADC=90°，已知AD⊥BC得∠BED=90°，结合a//b，通过过E作平行线EF，利用平行传递性将∠ABC、∠ADC转化为∠BEF、∠FED，它们的和等于∠BED，即可得证。
第(2)问：利用角平分线定义设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，由(1)得2x+2y=90°即x+y=45°，再作辅助线FM//a、GN//b，将∠AFB、∠CGD用x、y表示，代入计算即可。
第(3)问：分两种情况讨论：①N在∠DCB内部，②N'在CD下方，结合角平分线定义和类似(1)的角转化方法，设未知数推导三个角的数量关系，需注意分类讨论。
【解析】
(1) 过点E作EF//a，
∵a//b，
∴a//b//EF，
∵AD⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵EF//a，
∴∠ABE=∠BEF，
∵EF//b，
∴∠FED=∠CDE，
∴∠ABC+∠ADC=∠BEF+∠FED=∠BED=90°，得证。
(2) 设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，
由(1)知：2x+2y=90°，即x+y=45°，
作FM//a，GN//b，
∵FM//a//b，
∴∠BFD=2y+x，
∴∠AFB=180°-(2y+x)，
同理可得∠CGD=180°-(2x+y)，
∴∠AFB+∠CGD=360°-(3x+3y)=360°-3×45°=225°。
(3) 分两种情况：
①当点N在∠DCB内部时，设∠BPN=∠IPN=α，∠NCD=β，则∠BCN=2β，
由平行线性质得：∠CIP=∠IPB+∠ICD=2α+3β，∠CNP=∠BPN+∠NCD=α+β，
∴∠CIP+∠IPN=2α+3β+α=3(α+β)=3∠CNP，即3∠CNP=∠CIP+∠IPN；
②当点N'在直线CD下方时，设∠BPN'=∠IPN'=α，∠N'CD=β，则∠BCN'=2β，
同理得∠CIP=∠IPB+∠ICD=2α+β，∠CN'P=∠BPN'-∠N'CD=α-β，
∴∠CIP+∠CN'P=2α+β+α-β=3α=3∠IPN'，即3∠IPN=∠CIP+∠CNP；
综上，数量关系为3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP。
【答案】
3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、辅助线构造
【点评】
本题为几何综合题，综合考查平行线的性质、角平分线的应用，通过作辅助线转化角的关系是解题关键，第(3)问需分类讨论，考查学生的逻辑推理与分类思想，难度适中。
【难度系数】
0.5
