联想拓展
一元二次方程是刻画现实世界数量关系的数学模型,用它可以帮助我们解决很多生活中的实际问题.如用一元二次方程可以解决下面问题:
某节社团课上,老师给每名学生发了一张腰长为20 cm的等腰直角三角形硬卡片(如图1,图2中,$AB=AC=20\ cm,∠ A=90°$),要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片,要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上,并且裁出的长方形卡片的面积为$75\ cm^2$.
方方同学很快完成了自己的设计(如图1),并完成计算,请你求出他裁出的长方形卡片$DEFG$的长和宽;

解:设长方形的边$DG=x\ cm$,则边$GF$的长为$(20\sqrt{2}-2x)\ cm$.
根据题意得:$x(20\sqrt{2}-2x)=75$.
整理得:$2x^2 -20\sqrt{2}x +75=0$,解得:$x_1=\frac{5\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{15\sqrt{2}}{2}$,
所以,$20\sqrt{2}-2x=15\sqrt{2}$或$5\sqrt{2}$.
答:长方形卡片$DEFG$的长和宽分别为$\frac{15\sqrt{2}}{2}\ cm,5\sqrt{2}\ cm$或$15\sqrt{2}\ cm,\frac{5\sqrt{2}}{2}\ cm$.
【尝试解决】
圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案,请利用图2大致画出草图,并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽.

根据题意画图如图.
设长方形ADEF的边AF=a cm,则边EF的长为$(20-a)$cm.
根据题意得:$a(20-a)=75$.
整理得:$a^2-20a+75=0$,解得;$a_1=15$,$a_2=5$,
经检验:$a_1=15$,$a_2=5$都符合题意.
答:长方形卡片的长和宽分别为15 cm和5 cm.

【分析】
首先明确圆圆的设计思路：不同于方方将长方形的一边放在底边BC上，该方案中长方形的一个顶点与点A重合，两条邻边分别在AB、AC两条腰上，第四个顶点落在BC边上。解题时先利用等腰直角三角形的性质推导长方形边长的关系：△ABC是等腰直角三角形，∠C=45°，结合长方形对边平行且相等的性质，可推导出△EFC为等腰直角三角形，因此若设长方形的一边长为a，另一边长可表示为(20-a)，再根据长方形面积为75cm²的等量关系列一元二次方程，求解后验证解符合实际意义即可得到结果。
【解析】
首先根据题意画出草图：
设长方形ADEF的边AF=a cm，
已知AB=AC=20cm，∠A=90°，四边形ADEF是长方形，因此EF//AB，∠EFC=∠A=90°，又∠C=45°，可得△EFC是等腰直角三角形，因此EF=FC=AC-AF=(20-a)cm，即长方形的邻边长为(20-a)cm。
根据长方形面积为75cm²列方程：
$a(20-a)=75$
整理得：$a^2-20a+75=0$
解得：$a_1=15$，$a_2=5$
经检验，两个解均为正数且小于边长20cm，符合实际意义。
当a=15时，20-a=5；当a=5时，20-a=15，因此长方形长为15cm，宽为5cm。
【答案】
根据题意画图如图.
设长方形ADEF的边AF=a cm,则边EF的长为$(20-a)$cm.
根据题意得:$a(20-a)=75$.
整理得:$a^2-20a+75=0$,解得;$a_1=15$,$a_2=5$,
经检验:$a_1=15$,$a_2=5$都符合题意.
答:长方形卡片的长和宽分别为15 cm和5 cm.
【知识点】
一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质
【点评】
本题结合几何裁剪场景考察一元二次方程的实际应用，需要结合图形性质推导边长的数量关系，再根据面积等量关系列方程求解，解题时需注意验证方程的解是否符合实际情境，能够锻炼数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7