登录
6.如图,直线a,b相交,若∠1与其邻补角的比为3:1,则∠2的度数为
45
°.答案
6.45
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆邻补角的性质：互为邻补角的两个角之和为180°，结合题目给出的∠1与其邻补角的比例关系，先计算出∠1的邻补角的度数；再根据相交线中对顶角相等的性质，判断出∠2与∠1的邻补角是对顶角，二者度数相等，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 直线a、b相交，∠1与其邻补角互为邻补角
∴ ∠1 + 它的邻补角 = 180°
∵ ∠1与其邻补角的比为3:1
设∠1=3x，其邻补角为x，可得：
3x + x = 180°
解得x=45°，即∠1的邻补角为45°
又
∵ ∠2与∠1的邻补角是对顶角，根据对顶角相等
∴ ∠2 = 45°
【答案】
45
【知识点】
邻补角性质，对顶角相等
【点评】
本题是相交线角度计算的基础题型，结合比例关系考查邻补角和对顶角的核心性质，解题的关键是找准角之间的位置和数量关系。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：首先回忆邻补角的性质：互为邻补角的两个角之和为180°，结合题目给出的∠1与其邻补角的比例关系，先计算出∠1的邻补角的度数；再根据相交线中对顶角相等的性质，判断出∠2与∠1的邻补角是对顶角，二者度数相等，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 直线a、b相交，∠1与其邻补角互为邻补角
∴ ∠1 + 它的邻补角 = 180°
∵ ∠1与其邻补角的比为3:1
设∠1=3x，其邻补角为x，可得：
3x + x = 180°
解得x=45°，即∠1的邻补角为45°
又
∵ ∠2与∠1的邻补角是对顶角，根据对顶角相等
∴ ∠2 = 45°
【答案】
45
【知识点】
邻补角性质，对顶角相等
【点评】
本题是相交线角度计算的基础题型，结合比例关系考查邻补角和对顶角的核心性质，解题的关键是找准角之间的位置和数量关系。
【难度系数】
0.85
7.如图，若∠2=100°，则∠1的同位角的度数为
80
°，∠1的内错角的度数为80
°，∠1的同旁内角的度数为100
°。答案
7.80 80 100
解析
【分析】
首先要明确同位角、内错角、同旁内角的定义，先在三线八角的模型里定位∠1对应的三个角的位置，再结合邻补角和为180°、对顶角相等的性质计算角度：已知∠2=100°，先求出∠2的邻补角度数为180°-100°=80°，再对应判断各个角的度数即可。
【解析】
1. 先计算∠2的邻补角：因为平角为180°，所以∠2的邻补角 = 180° - ∠2 = 180° - 100° = 80°。
2. 求∠1的同位角：∠1的同位角与∠2互为邻补角，因此度数为80°。
3. 求∠1的内错角：∠1的内错角和∠2的邻补角是对顶角，根据对顶角相等，可得内错角的度数为80°。
4. 求∠1的同旁内角：∠1的同旁内角和∠2是对顶角，根据对顶角相等，可得同旁内角的度数为100°。
【答案】
80；80；100
【知识点】
三线八角识别；邻补角计算；对顶角性质
【点评】
本题核心是准确识别三线八角中的各类角，结合邻补角、对顶角的基本性质计算角度，掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
首先要明确同位角、内错角、同旁内角的定义，先在三线八角的模型里定位∠1对应的三个角的位置，再结合邻补角和为180°、对顶角相等的性质计算角度：已知∠2=100°，先求出∠2的邻补角度数为180°-100°=80°，再对应判断各个角的度数即可。
【解析】
1. 先计算∠2的邻补角：因为平角为180°，所以∠2的邻补角 = 180° - ∠2 = 180° - 100° = 80°。
2. 求∠1的同位角：∠1的同位角与∠2互为邻补角，因此度数为80°。
3. 求∠1的内错角：∠1的内错角和∠2的邻补角是对顶角，根据对顶角相等，可得内错角的度数为80°。
4. 求∠1的同旁内角：∠1的同旁内角和∠2是对顶角，根据对顶角相等，可得同旁内角的度数为100°。
【答案】
80；80；100
【知识点】
三线八角识别；邻补角计算；对顶角性质
【点评】
本题核心是准确识别三线八角中的各类角，结合邻补角、对顶角的基本性质计算角度，掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
8.如图，将木条a，b与木条c钉在一起，∠1=70°，转动木条b，当∠2=
70
°时，木条a与b平行。答案
8.70
解析
【分析】
要判断木条a与b平行，可根据平行线的判定定理分析：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行。首先观察图形，确定∠1和∠2是直线a、b被c所截形成的同位角，因此只需让∠2与∠1大小相等，即可得到a//b，结合已知∠1的度数就能求出∠2的数值。
【解析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。
观察图形可知，∠1和∠2是直线a、b被直线c所截得到的一组同位角，
因此当∠2=∠1时，木条a与b平行，
已知∠1=70°，所以∠2=70°。
【答案】
70
【知识点】
平行线的判定，同位角识别
【点评】
本题是基础几何应用题，重点考查对平行线判定定理的理解和同位角的识别能力，只要掌握平行线判定的相关定理，准确找出同位角就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
要判断木条a与b平行，可根据平行线的判定定理分析：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行。首先观察图形，确定∠1和∠2是直线a、b被c所截形成的同位角，因此只需让∠2与∠1大小相等，即可得到a//b，结合已知∠1的度数就能求出∠2的数值。
【解析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。
观察图形可知，∠1和∠2是直线a、b被直线c所截得到的一组同位角，
因此当∠2=∠1时，木条a与b平行，
已知∠1=70°，所以∠2=70°。
【答案】
70
【知识点】
平行线的判定，同位角识别
【点评】
本题是基础几何应用题，重点考查对平行线判定定理的理解和同位角的识别能力，只要掌握平行线判定的相关定理，准确找出同位角就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
9.如图，直线AB，CD交于点O，OF平分∠BOD，OE⊥OD.若∠AOE：∠AOC=2：3，则∠BOF的度数为
27
°。答案
9.27
解析
【分析】
解题时先根据垂直的定义得出∠EOD=90°，由此可得∠AOE与∠AOC的和为90°；再结合∠AOE与∠AOC的比例关系，设未知数列方程求出∠AOC的度数；接着利用对顶角相等的性质得到∠BOD的度数；最后根据角平分线的定义，计算出∠BOF的度数即可。
【解析】
解：
∵OE⊥OD，
∴∠EOD=90°，
∴∠AOE + ∠AOC = 180° - ∠EOD = 90°，
∵∠AOE：∠AOC=2：3，
∴设∠AOE=2x，∠AOC=3x，
则2x + 3x = 90°，
解得x=18°，
∴∠AOC=3×18°=54°，
∵直线AB、CD交于点O，∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=54°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=½∠BOD=½×54°=27°。
【答案】
27
【知识点】
对顶角相等；角平分线的定义；垂直的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题核心是理清图中角的位置关系，结合已知的垂直、比例、角平分线等条件逐步推导即可求解，要注意不要混淆各个角的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时先根据垂直的定义得出∠EOD=90°，由此可得∠AOE与∠AOC的和为90°；再结合∠AOE与∠AOC的比例关系，设未知数列方程求出∠AOC的度数；接着利用对顶角相等的性质得到∠BOD的度数；最后根据角平分线的定义，计算出∠BOF的度数即可。
【解析】
解：
∵OE⊥OD，
∴∠EOD=90°，
∴∠AOE + ∠AOC = 180° - ∠EOD = 90°，
∵∠AOE：∠AOC=2：3，
∴设∠AOE=2x，∠AOC=3x，
则2x + 3x = 90°，
解得x=18°，
∴∠AOC=3×18°=54°，
∵直线AB、CD交于点O，∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=54°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=½∠BOD=½×54°=27°。
【答案】
27
【知识点】
对顶角相等；角平分线的定义；垂直的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题核心是理清图中角的位置关系，结合已知的垂直、比例、角平分线等条件逐步推导即可求解，要注意不要混淆各个角的对应关系。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10.如图,在$△ ABC$所在的平面内各画一条直线,使得:
(1)与$∠ A$成同旁内角的角有3个;
(2)与$∠ A$成同旁内角的角有4个.
10.如图,在$△ ABC$所在的平面内各画一条直线,使得:
(1)与$∠ A$成同旁内角的角有3个;
(2)与$∠ A$成同旁内角的角有4个.
答案
10.解:(1)如图1,∠A与∠B,∠C,∠1成同旁内角.
(2)如图2,∠A与∠B,∠C,∠1,∠2成同旁内角.
解析
【分析】
首先明确同旁内角的特征：两条直线被第三条直线所截，两个角在截线的同侧，且夹在两条被截直线之间。原$△ ABC$中，$∠ A$的同旁内角只有$∠ B$、$∠ C$共2个，要增加同旁内角的数量，需画直线与三角形的边相交，构造新的截线与被截线组合：
(1)要得到3个与$∠ A$成同旁内角的角，只需新增1个同旁内角，因此画的直线只需与$AC$、$BC$（或$AB$、$BC$）两条边相交（交点不与顶点重合），即可新增1个符合要求的角；
(2)要得到4个与$∠ A$成同旁内角的角，需要新增2个同旁内角，因此画的直线要同时与$AB$、$AC$两条边相交（交点不与顶点重合），即可新增2个符合要求的角。
【解析】
(1) 画一条直线，与边$AC$、$BC$分别交于不与顶点重合的两点，如图1：
$AB$、$BC$被$AC$所截，$∠ A$与$∠ C$是同旁内角；
$AC$、$BC$被$AB$所截，$∠ A$与$∠ B$是同旁内角；
$AB$、新直线被$AC$所截，$∠ A$与$∠ 1$是同旁内角；
共3个同旁内角，符合要求。
(2) 画一条直线，与边$AB$、$AC$分别交于不与顶点重合的两点，如图2：
除原有$∠ B$、$∠ C$是$∠ A$的同旁内角外，
新直线、$BC$被$AC$所截，$∠ A$与$∠ 1$是同旁内角；
新直线、$BC$被$AB$所截，$∠ A$与$∠ 2$是同旁内角；
共4个同旁内角，符合要求。
【答案】
(1)如图1,$∠ A$与$∠ B$,$∠ C$,$∠ 1$成同旁内角.
(2)如图2,$∠ A$与$∠ B$,$∠ C$,$∠ 1$,$∠ 2$成同旁内角.
【知识点】
1. 同旁内角的识别
2. 几何基本作图
【点评】
本题核心是对同旁内角概念的灵活运用，需要结合图形构造满足位置要求的角，能有效提升对相交线位置关系的理解和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
首先明确同旁内角的特征：两条直线被第三条直线所截，两个角在截线的同侧，且夹在两条被截直线之间。原$△ ABC$中，$∠ A$的同旁内角只有$∠ B$、$∠ C$共2个，要增加同旁内角的数量，需画直线与三角形的边相交，构造新的截线与被截线组合：
(1)要得到3个与$∠ A$成同旁内角的角，只需新增1个同旁内角，因此画的直线只需与$AC$、$BC$（或$AB$、$BC$）两条边相交（交点不与顶点重合），即可新增1个符合要求的角；
(2)要得到4个与$∠ A$成同旁内角的角，需要新增2个同旁内角，因此画的直线要同时与$AB$、$AC$两条边相交（交点不与顶点重合），即可新增2个符合要求的角。
【解析】
(1) 画一条直线，与边$AC$、$BC$分别交于不与顶点重合的两点，如图1：
$AB$、$BC$被$AC$所截，$∠ A$与$∠ C$是同旁内角；
$AC$、$BC$被$AB$所截，$∠ A$与$∠ B$是同旁内角；
$AB$、新直线被$AC$所截，$∠ A$与$∠ 1$是同旁内角；
共3个同旁内角，符合要求。
(2) 画一条直线，与边$AB$、$AC$分别交于不与顶点重合的两点，如图2：
除原有$∠ B$、$∠ C$是$∠ A$的同旁内角外，
新直线、$BC$被$AC$所截，$∠ A$与$∠ 1$是同旁内角；
新直线、$BC$被$AB$所截，$∠ A$与$∠ 2$是同旁内角；
共4个同旁内角，符合要求。
【答案】
(1)如图1,$∠ A$与$∠ B$,$∠ C$,$∠ 1$成同旁内角.
(2)如图2,$∠ A$与$∠ B$,$∠ C$,$∠ 1$,$∠ 2$成同旁内角.
【知识点】
1. 同旁内角的识别
2. 几何基本作图
【点评】
本题核心是对同旁内角概念的灵活运用，需要结合图形构造满足位置要求的角，能有效提升对相交线位置关系的理解和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
11.如图,直线AB和CD相交于点O,OE把∠AOC分成两部分,且∠AOE:∠EOC=3:5,OF平分∠BOE.
(1)若∠BOD=72°,求∠BOE;
(2)若∠BOF=2∠AOE+15°,求∠COF.
(1)若∠BOD=72°,求∠BOE;
(2)若∠BOF=2∠AOE+15°,求∠COF.
答案
11.解:(1)由对顶角相等,得∠AOC=∠BOD=72°,
由∠AOE:∠EOC=3:5,
可得∠AOE=$\frac{3}{8}$∠AOC=27°,
则∠BOE=180°-∠AOE=180°-27°=153°.
(2)由OF平分∠BOE,得∠BOE=2∠BOF=4∠AOE+30°.
又∠BOE+∠AOE=180°,即4∠AOE+30°+∠AOE=180°,解得∠AOE=30°,
∴∠EOC=50°,∠EOF=$\frac{1}{2}$(180°-30°)=75°,
∴∠COF=∠EOF-∠EOC=75°-50°=25°.
由∠AOE:∠EOC=3:5,
可得∠AOE=$\frac{3}{8}$∠AOC=27°,
则∠BOE=180°-∠AOE=180°-27°=153°.
(2)由OF平分∠BOE,得∠BOE=2∠BOF=4∠AOE+30°.
又∠BOE+∠AOE=180°,即4∠AOE+30°+∠AOE=180°,解得∠AOE=30°,
∴∠EOC=50°,∠EOF=$\frac{1}{2}$(180°-30°)=75°,
∴∠COF=∠EOF-∠EOC=75°-50°=25°.
解析
【分析】
本题是相交线背景下的角度计算问题，解题可按以下思路展开：
(1) 首先利用对顶角相等，将已知的∠BOD转化为∠AOC的度数，再根据∠AOE与∠EOC的比例关系求出∠AOE的大小，最后根据∠AOE和∠BOE是邻补角、和为180°，即可算出∠BOE；
(2) 先根据角平分线的定义得到∠BOE和∠BOF的数量关系，结合题目给出的∠BOF与∠AOE的关系，将∠BOE用∠AOE表示，再利用∠BOE与∠AOE互补的性质列方程求出∠AOE的度数，依次算出∠EOC、∠EOF的度数，最后通过角的和差关系求出∠COF即可。
【解析】
(1) 根据对顶角相等的性质，可得$∠ AOC = ∠ BOD = 72°$，
已知$∠ AOE:∠ EOC = 3:5$，即$∠ AOE$占$∠ AOC$的$\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$，
因此$∠ AOE = \frac{3}{8} × 72° = 27°$，
又因为∠AOE与∠BOE是邻补角，和为$180°$，
所以$∠ BOE = 180° - ∠ AOE = 180° - 27° = 153°$。
(2) 因为OF平分∠BOE，根据角平分线的定义，可得$∠ BOE = 2∠ BOF$，
已知$∠ BOF = 2∠ AOE + 15°$，代入得$∠ BOE = 2×(2∠ AOE + 15°) = 4∠ AOE + 30°$，
又因为∠BOE与∠AOE互为邻补角，即$∠ BOE + ∠ AOE = 180°$，
将∠BOE的表达式代入得：$4∠ AOE + 30° + ∠ AOE = 180°$，
解得$∠ AOE = 30°$，
由$∠ AOE:∠ EOC=3:5$，可得$∠ EOC = 30° ÷ 3 × 5 = 50°$，
$∠ BOE = 180° - 30° = 150°$，因此$∠ EOF = \frac{1}{2}∠ BOE = \frac{1}{2}×150° = 75°$，
所以$∠ COF = ∠ EOF - ∠ EOC = 75° - 50° = 25°$。
【答案】
(1) $∠ BOE=153°$；(2) $∠ COF=25°$
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题围绕相交线形成的角设计问题，结合比例关系和方程思想考查角度计算，解题的关键是熟练掌握对顶角、邻补角、角平分线的相关性质，找准不同角之间的数量关系，挖掘题目中的隐含条件进行求解。
【难度系数】
0.7
本题是相交线背景下的角度计算问题，解题可按以下思路展开：
(1) 首先利用对顶角相等，将已知的∠BOD转化为∠AOC的度数，再根据∠AOE与∠EOC的比例关系求出∠AOE的大小，最后根据∠AOE和∠BOE是邻补角、和为180°，即可算出∠BOE；
(2) 先根据角平分线的定义得到∠BOE和∠BOF的数量关系，结合题目给出的∠BOF与∠AOE的关系，将∠BOE用∠AOE表示，再利用∠BOE与∠AOE互补的性质列方程求出∠AOE的度数，依次算出∠EOC、∠EOF的度数，最后通过角的和差关系求出∠COF即可。
【解析】
(1) 根据对顶角相等的性质，可得$∠ AOC = ∠ BOD = 72°$，
已知$∠ AOE:∠ EOC = 3:5$，即$∠ AOE$占$∠ AOC$的$\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$，
因此$∠ AOE = \frac{3}{8} × 72° = 27°$，
又因为∠AOE与∠BOE是邻补角，和为$180°$，
所以$∠ BOE = 180° - ∠ AOE = 180° - 27° = 153°$。
(2) 因为OF平分∠BOE，根据角平分线的定义，可得$∠ BOE = 2∠ BOF$，
已知$∠ BOF = 2∠ AOE + 15°$，代入得$∠ BOE = 2×(2∠ AOE + 15°) = 4∠ AOE + 30°$，
又因为∠BOE与∠AOE互为邻补角，即$∠ BOE + ∠ AOE = 180°$，
将∠BOE的表达式代入得：$4∠ AOE + 30° + ∠ AOE = 180°$，
解得$∠ AOE = 30°$，
由$∠ AOE:∠ EOC=3:5$，可得$∠ EOC = 30° ÷ 3 × 5 = 50°$，
$∠ BOE = 180° - 30° = 150°$，因此$∠ EOF = \frac{1}{2}∠ BOE = \frac{1}{2}×150° = 75°$，
所以$∠ COF = ∠ EOF - ∠ EOC = 75° - 50° = 25°$。
【答案】
(1) $∠ BOE=153°$；(2) $∠ COF=25°$
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题围绕相交线形成的角设计问题，结合比例关系和方程思想考查角度计算，解题的关键是熟练掌握对顶角、邻补角、角平分线的相关性质，找准不同角之间的数量关系，挖掘题目中的隐含条件进行求解。
【难度系数】
0.7
