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10. 如果一元二次方程 $x^2 - px + 1 = 0(p＞0)$ 配方后为 $(x-q)^2=15$,那么一元二次方程 $x^2 - px - 1 = 0$ 配方后为（
A.$(x-2)^2=17$
B.$(x+2)^2=17$
C.$(x+4)^2=17$
D.$(x-4)^2=17$
D
）A.$(x-2)^2=17$
B.$(x+2)^2=17$
C.$(x+4)^2=17$
D.$(x-4)^2=17$
答案
10. D 解析:$\because$ 方程 $x^{2}-px+1=0$ 配方后为$(x-q)^{2}=15$,即$x^{2}-2qx+q^{2}-15=0,\therefore -p=-2q,q^{2}-15=1$,解得 $q=4$,$p=8$ 或 $q=-4$,$p=-8.$ $\because p＞0,\therefore p=8,\therefore$ 方程 $x^{2}-8x-1=0$ 配方后为$(x-4)^{2}=17.$
解析
【分析】要解决这个问题，需利用一元二次方程的配方规则：将方程配成完全平方式的本质是添加一次项系数一半的平方。首先把已知配方后的方程展开，与原方程对比系数求出参数$p$和$q$（结合$p＞0$的条件确定取值），再对目标方程进行配方即可得到结果。
【解析】1. 将配方后的方程$(x-q)^2=15$展开并整理为一般形式：
$x^2 - 2qx + q^2 -15=0$。
2. 它与原方程$x^2 -px +1=0$是同一方程，对应系数相等：
一次项系数：$-p=-2q$，即$p=2q$；
常数项：$q^2 -15=1$，解得$q^2=16$，故$q=\pm4$。
3. 结合$p＞0$，因$p=2q$，得$q＞0$，所以$q=4$，$p=8$。
4. 对目标方程$x^2 -px -1=0$，代入$p=8$得：$x^2 -8x -1=0$。
配方步骤：移项得$x^2 -8x=1$，两边加一次项系数一半的平方$(\frac{-8}{2})^2=16$，得：
$x^2 -8x +16=1+16$，即$(x-4)^2=17$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的配方、完全平方公式
【点评】本题考查一元二次方程的配方方法，核心是利用方程系数对应关系求参数，再完成目标方程的配方，属于基础题型，需熟练掌握配方的基本操作。
【难度系数】0.5
【解析】1. 将配方后的方程$(x-q)^2=15$展开并整理为一般形式：
$x^2 - 2qx + q^2 -15=0$。
2. 它与原方程$x^2 -px +1=0$是同一方程，对应系数相等：
一次项系数：$-p=-2q$，即$p=2q$；
常数项：$q^2 -15=1$，解得$q^2=16$，故$q=\pm4$。
3. 结合$p＞0$，因$p=2q$，得$q＞0$，所以$q=4$，$p=8$。
4. 对目标方程$x^2 -px -1=0$，代入$p=8$得：$x^2 -8x -1=0$。
配方步骤：移项得$x^2 -8x=1$，两边加一次项系数一半的平方$(\frac{-8}{2})^2=16$，得：
$x^2 -8x +16=1+16$，即$(x-4)^2=17$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的配方、完全平方公式
【点评】本题考查一元二次方程的配方方法，核心是利用方程系数对应关系求参数，再完成目标方程的配方，属于基础题型，需熟练掌握配方的基本操作。
【难度系数】0.5
11. 将一个关于 $x$ 的一元二次方程配方为 $(x+m)^2=p$，若 $2\pm\sqrt{3}$ 是该方程的两个根，则 $p$ 的值为
（
A.2
B.4
C.$\sqrt{3}$
D.3
（
D
）A.2
B.4
C.$\sqrt{3}$
D.3
答案
11. D 解析:将$(x+m)^2=p$直接开平方,得 $x+m=\pm\sqrt{p}$,解得 $x_1=-m+\sqrt{p},x_2=-m-\sqrt{p}.\because 2\pm\sqrt{3}$ 是该方程的两个根,$\therefore p=3.$
解析
【分析】
本题利用一元二次方程配方法的性质求解，解题思路是：先对配方后的方程$(x+m)^2=p$开平方，得到方程两个根的表达式，再将表达式与题目给出的根$2\pm\sqrt{3}$对比，即可求出$p$的值。
【解析】
将方程$(x+m)^2=p$两边直接开平方，得：
$x + m = \pm\sqrt{p}$
移项后解得方程的两个根为：
$x_1 = -m + \sqrt{p}$，$x_2 = -m - \sqrt{p}$
已知方程的两个根为$2\pm\sqrt{3}$，对比根的形式可知$\sqrt{p} = \sqrt{3}$，两边平方得$p = (\sqrt{3})^2 = 3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的配方法；方程的根的概念
【点评】
本题考查一元二次方程配方法的应用，核心是利用配方后方程的根的形式，结合已知根求解参数，属于基础题型，需要学生掌握配方法解一元二次方程的基本步骤。
【难度系数】
0.6
本题利用一元二次方程配方法的性质求解，解题思路是：先对配方后的方程$(x+m)^2=p$开平方，得到方程两个根的表达式，再将表达式与题目给出的根$2\pm\sqrt{3}$对比，即可求出$p$的值。
【解析】
将方程$(x+m)^2=p$两边直接开平方，得：
$x + m = \pm\sqrt{p}$
移项后解得方程的两个根为：
$x_1 = -m + \sqrt{p}$，$x_2 = -m - \sqrt{p}$
已知方程的两个根为$2\pm\sqrt{3}$，对比根的形式可知$\sqrt{p} = \sqrt{3}$，两边平方得$p = (\sqrt{3})^2 = 3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的配方法；方程的根的概念
【点评】
本题考查一元二次方程配方法的应用，核心是利用配方后方程的根的形式，结合已知根求解参数，属于基础题型，需要学生掌握配方法解一元二次方程的基本步骤。
【难度系数】
0.6
12. 在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：$a☆b=a^{2}+b^{2},a★b=\dfrac{1}{2}ab$，则方程$3☆x=$$x★12$的解为
$x_1=x_2=3$
.答案
12. $x_1=x_2=3$ 解析:根据题意,得 $3☆x=9+x^{2},x★12=6x$,则原方程化为$9+x^{2}=6x$,即 $(x-3)^{2}=0$,解得 $x_1=x_2=3.$
解析
【分析】首先明确题目中定义的两种新运算规则，将方程中的“☆”和“★”替换为对应的代数表达式，把原方程转化为一元二次方程，再通过整理、因式分解求解方程。具体步骤：1. 根据新运算“☆”的规则计算方程左边的表达式；2. 根据新运算“★”的规则计算方程右边的表达式；3. 代入原方程得到一元二次方程，解方程得到结果。
【解析】根据题意，新运算规则为：$a☆b=a^2+b^2$，$a★b=\dfrac{1}{2}ab$。
计算方程左边：$3☆x=3^2+x^2=9+x^2$；
计算方程右边：$x★12=\dfrac{1}{2}× x×12=6x$；
原方程转化为：$9+x^2=6x$；
移项整理得：$x^2-6x+9=0$；
因式分解得：$(x-3)^2=0$；
解得：$x_1=x_2=3$。
【答案】$x_1=x_2=3$
【知识点】定义新运算、一元二次方程的解法
【点评】本题考查定义新运算与一元二次方程的结合应用，核心是准确理解新运算的规则，将其转化为常规代数运算后求解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】根据题意，新运算规则为：$a☆b=a^2+b^2$，$a★b=\dfrac{1}{2}ab$。
计算方程左边：$3☆x=3^2+x^2=9+x^2$；
计算方程右边：$x★12=\dfrac{1}{2}× x×12=6x$；
原方程转化为：$9+x^2=6x$；
移项整理得：$x^2-6x+9=0$；
因式分解得：$(x-3)^2=0$；
解得：$x_1=x_2=3$。
【答案】$x_1=x_2=3$
【知识点】定义新运算、一元二次方程的解法
【点评】本题考查定义新运算与一元二次方程的结合应用，核心是准确理解新运算的规则，将其转化为常规代数运算后求解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
13. 阅读材料并回答问题:小亮在解方程$x^{2}=-1$时突发奇想:$x^{2}=-1$在实数范围内无解,如果存在一个数i,使$\mathrm{i}^{2}=-1$,那么当$x^{2}=-1$时,有$x=\pm \mathrm{i}$,从而$x=\pm \mathrm{i}$是方程$x^{2}=-1$的两个根.
(1)i 可以运算,例如:$\mathrm{i}^{3}=\mathrm{i}^{2}· \mathrm{i}=-1× \mathrm{i}=-\mathrm{i}$,则$\mathrm{i}^{4}=$
(2)方程$x^{2}-4x+5=0$的两根为
(1)i 可以运算,例如:$\mathrm{i}^{3}=\mathrm{i}^{2}· \mathrm{i}=-1× \mathrm{i}=-\mathrm{i}$,则$\mathrm{i}^{4}=$
1
.(2)方程$x^{2}-4x+5=0$的两根为
$x_1=2+i,x_2=2-i$
.(用i表示)答案
13. (1)1 (2)$x_1=2+i,x_2=2-i$ 解析:将方程整理,得 $x^{2}-4x=-5$,配方,得$x^{2}-4x+4=-5+4$,即$(x-2)^{2}=-1$,直接开平方,得 $x-2=\pm i$,解得 $x_1=2+i,x_2=2-i.$
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问考查虚数i的基本运算，已知i²=-1，可利用幂的运算规则计算i⁴；第(2)问考查一元二次方程的解法，由于方程在实数范围内无解，需结合虚数i的定义，用配方法求解。第(1)问思路：利用i²=-1，将i⁴转化为(i²)²，代入计算即可；第(2)问思路：先对一元二次方程进行移项、配方，将方程转化为(x-a)²=-1的形式，再根据i²=-1开平方，得到方程的根。
【解析】
(1) 已知i²=-1，根据幂的乘方运算：i⁴=(i²)²=(-1)²=1；
(2) 对方程x²-4x+5=0求解：
移项得：x²-4x=-5，
配方：两边同时加4，得x²-4x+4=-5+4，即(x-2)²=-1，
根据虚数定义i²=-1，直接开平方得：x-2=±i，
解得：x₁=2+i，x₂=2-i。
【答案】
(1)1；(2)x₁=2+i，x₂=2-i
【知识点】
虚数的运算；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合新定义的虚数i，考查了虚数的基本运算和一元二次方程的配方法求解，题目难度适中，需要学生理解虚数的定义并掌握配方法解一元二次方程的步骤，属于基础拓展类题目，能较好地考查学生对新知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问考查虚数i的基本运算，已知i²=-1，可利用幂的运算规则计算i⁴；第(2)问考查一元二次方程的解法，由于方程在实数范围内无解，需结合虚数i的定义，用配方法求解。第(1)问思路：利用i²=-1，将i⁴转化为(i²)²，代入计算即可；第(2)问思路：先对一元二次方程进行移项、配方，将方程转化为(x-a)²=-1的形式，再根据i²=-1开平方，得到方程的根。
【解析】
(1) 已知i²=-1，根据幂的乘方运算：i⁴=(i²)²=(-1)²=1；
(2) 对方程x²-4x+5=0求解：
移项得：x²-4x=-5，
配方：两边同时加4，得x²-4x+4=-5+4，即(x-2)²=-1，
根据虚数定义i²=-1，直接开平方得：x-2=±i，
解得：x₁=2+i，x₂=2-i。
【答案】
(1)1；(2)x₁=2+i，x₂=2-i
【知识点】
虚数的运算；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合新定义的虚数i，考查了虚数的基本运算和一元二次方程的配方法求解，题目难度适中，需要学生理解虚数的定义并掌握配方法解一元二次方程的步骤，属于基础拓展类题目，能较好地考查学生对新知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
14. 解下列方程：
(1)$x(x+4)-2=0$；
(2)$x^2-x-1=0$；
(3)$x^2-\dfrac{1}{2}x-1=0$；
(4)$x^2-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{8}{9}=0.$
(1)$x(x+4)-2=0$；
(2)$x^2-x-1=0$；
(3)$x^2-\dfrac{1}{2}x-1=0$；
(4)$x^2-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{8}{9}=0.$
答案
14. (1)$x_1=\sqrt{6}-2$,$x_2=-\sqrt{6}-2.$ (2)$x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}.$ (3)$x_1=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}.$ (4)$x_1=\dfrac{4}{3},x_2=-\dfrac{2}{3}.$
解析
【分析】
本题为解一元二次方程的题目，需根据每个方程的结构特点选择适配的解法：(1)先整理为一元二次方程的一般形式，采用配方法求解；(2)(3)为标准一般形式，适合用公式法（求根公式）计算；(4)可通过去分母后用因式分解法求解，解题时需注意运算的准确性，尤其是判别式、配方及因式分解的步骤。
【解析】
(1) 原方程整理为一般形式：$x^2 + 4x - 2 = 0$，
移项得：$x^2 + 4x = 2$，
配方：两边同时加4，得$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$，即$(x + 2)^2 = 6$，
开方得：$x + 2 = \pm\sqrt{6}$，
解得：$x_1 = \sqrt{6} - 2$，$x_2 = -\sqrt{6} - 2$。
(2) 方程$x^2 - x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5$，
代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，
得：$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$，即$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$。
(3) 方程$x^2 - \frac{1}{2}x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-\frac{1}{2}$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = (-\frac{1}{2})^2 - 4×1×(-1) = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}$，
代入求根公式：$x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{17}{4}}}{2×1} = \frac{\frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$，
解得：$x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$。
(4) 原方程两边同乘9消去分母，得：$9x^2 - 6x - 8 = 0$，
因式分解：$(3x - 4)(3x + 2) = 0$，
则$3x - 4 = 0$或$3x + 2 = 0$，
解得：$x_1 = \frac{4}{3}$，$x_2 = -\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{6}-2$，$x_2=-\sqrt{6}-2$；(2)$x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$；(3)$x_1=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$；(4)$x_1=\dfrac{4}{3}$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法，配方法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的核心解法，涵盖配方法、公式法、因式分解法三种常用方法，需学生根据方程特征灵活选择，计算时要注意符号、运算细节，属于初中数学的基础考点，难度适中，是必须掌握的内容。
【难度系数】
0.7
本题为解一元二次方程的题目，需根据每个方程的结构特点选择适配的解法：(1)先整理为一元二次方程的一般形式，采用配方法求解；(2)(3)为标准一般形式，适合用公式法（求根公式）计算；(4)可通过去分母后用因式分解法求解，解题时需注意运算的准确性，尤其是判别式、配方及因式分解的步骤。
【解析】
(1) 原方程整理为一般形式：$x^2 + 4x - 2 = 0$，
移项得：$x^2 + 4x = 2$，
配方：两边同时加4，得$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$，即$(x + 2)^2 = 6$，
开方得：$x + 2 = \pm\sqrt{6}$，
解得：$x_1 = \sqrt{6} - 2$，$x_2 = -\sqrt{6} - 2$。
(2) 方程$x^2 - x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5$，
代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，
得：$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$，即$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$。
(3) 方程$x^2 - \frac{1}{2}x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-\frac{1}{2}$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = (-\frac{1}{2})^2 - 4×1×(-1) = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}$，
代入求根公式：$x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{17}{4}}}{2×1} = \frac{\frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$，
解得：$x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$。
(4) 原方程两边同乘9消去分母，得：$9x^2 - 6x - 8 = 0$，
因式分解：$(3x - 4)(3x + 2) = 0$，
则$3x - 4 = 0$或$3x + 2 = 0$，
解得：$x_1 = \frac{4}{3}$，$x_2 = -\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{6}-2$，$x_2=-\sqrt{6}-2$；(2)$x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$；(3)$x_1=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$；(4)$x_1=\dfrac{4}{3}$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法，配方法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的核心解法，涵盖配方法、公式法、因式分解法三种常用方法，需学生根据方程特征灵活选择，计算时要注意符号、运算细节，属于初中数学的基础考点，难度适中，是必须掌握的内容。
【难度系数】
0.7
15. 先阅读下面的例题,再按要求解答问题：
求代数式 $x^2+6x+10$ 的最小值.
解: $x^2+6x+10=x^2+6x+9+1=(x+3)^2+1$.
$\because (x+3)^2 ≥ 0,\therefore (x+3)^2+1 ≥ 1,$
$\therefore x^2+6x+10$ 的最小值是 1.
请利用以上方法,解答下列问题:
(1)代数式 $x^2-4x+3$ 的最小值为
(2)已知有理数 $x$、$y$ 满足 $-x^2+3x+y-5=0$,求 $x+y$ 的最小值.
求代数式 $x^2+6x+10$ 的最小值.
解: $x^2+6x+10=x^2+6x+9+1=(x+3)^2+1$.
$\because (x+3)^2 ≥ 0,\therefore (x+3)^2+1 ≥ 1,$
$\therefore x^2+6x+10$ 的最小值是 1.
请利用以上方法,解答下列问题:
(1)代数式 $x^2-4x+3$ 的最小值为
-1
.(2)已知有理数 $x$、$y$ 满足 $-x^2+3x+y-5=0$,求 $x+y$ 的最小值.
答案
15. (1)-1 解析:$x^2-4x+3=(x^2-4x+4)+3-4=(x-2)^2-1.\because (x-2)^2≥0,\therefore (x-2)^2-1≥-1,\therefore x^2-4x+3$ 的最小值为 $-1.$
(2)$\because -x^2+3x+y-5=0,\therefore x+y=x^2-2x+5=(x-1)^2+4≥4$,$\therefore$ 当 $x=1$ 时,$x+y$ 最小,最小值为 4.
(2)$\because -x^2+3x+y-5=0,\therefore x+y=x^2-2x+5=(x-1)^2+4≥4$,$\therefore$ 当 $x=1$ 时,$x+y$ 最小,最小值为 4.
解析
【分析】
本题采用配方法求解代数式的最值，核心是利用“完全平方式的非负性（任何实数的平方≥0）”，将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，从而确定最值。第(1)问直接对二次式配方；第(2)问需先通过已知等式用x表示y，再代入x+y后配方求最小值。
【解析】
(1) 对代数式$x^2-4x+3$配方：
$x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-1=(x-2)^2-1$，
$\because (x-2)^2≥0$，
$\therefore (x-2)^2-1≥-1$，即代数式$x^2-4x+3$的最小值为$-1$。
(2) 由$-x^2+3x+y-5=0$，移项得$y=x^2-3x+5$，
则$x+y=x+(x^2-3x+5)=x^2-2x+5$，
对$x^2-2x+5$配方：$x^2-2x+5=(x^2-2x+1)+4=(x-1)^2+4$，
$\because (x-1)^2≥0$，
$\therefore (x-1)^2+4≥4$，即$x+y$的最小值为$4$。
【答案】
(1)$-1$；(2)$4$
【知识点】
配方法求最值、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，核心是掌握完全平方式的非负性，属于常规基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.6
本题采用配方法求解代数式的最值，核心是利用“完全平方式的非负性（任何实数的平方≥0）”，将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，从而确定最值。第(1)问直接对二次式配方；第(2)问需先通过已知等式用x表示y，再代入x+y后配方求最小值。
【解析】
(1) 对代数式$x^2-4x+3$配方：
$x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-1=(x-2)^2-1$，
$\because (x-2)^2≥0$，
$\therefore (x-2)^2-1≥-1$，即代数式$x^2-4x+3$的最小值为$-1$。
(2) 由$-x^2+3x+y-5=0$，移项得$y=x^2-3x+5$，
则$x+y=x+(x^2-3x+5)=x^2-2x+5$，
对$x^2-2x+5$配方：$x^2-2x+5=(x^2-2x+1)+4=(x-1)^2+4$，
$\because (x-1)^2≥0$，
$\therefore (x-1)^2+4≥4$，即$x+y$的最小值为$4$。
【答案】
(1)$-1$；(2)$4$
【知识点】
配方法求最值、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，核心是掌握完全平方式的非负性，属于常规基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.6
