登录
1. (教材习题变式)【新情境】(2024·齐齐哈尔)在“阳光大课间”活动中，某校开放了“篮球”“足球”“排球”“羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能参加一种球类运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{6}$
C
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{6}$
答案
解析:列表如下.由表可知,共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的结果有4种，
∴甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
∴甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
要解决这个概率问题，首先明确本题属于古典概型问题，需先计算所有等可能的结果总数，再找出甲、乙参加同种球类运动的结果数，最后根据概率公式计算概率。甲、乙两名学生各有4种球类运动可选，总结果数为两人选择数的乘积；甲、乙参加同种球类的情况是两人选同一种球类，共4种，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：甲有“篮球”“足球”“排球”“羽毛球”4种球类运动可选，乙同样有4种选择，因此所有等可能的结果总数为 $4 × 4 = 16$ 种。
其中甲、乙参加同种球类运动的结果有：（篮球，篮球）、（足球，足球）、（排球，排球）、（羽毛球，羽毛球），共4种。
根据概率公式 $P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果总数}$，可得甲、乙参加同种球类运动的概率为 $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型、列表法求概率
【点评】
本题为教材习题变式的新情境题，考查古典概型的基础概率计算，通过列举法清晰呈现所有等可能结果，步骤简洁，是巩固概率基本应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个概率问题，首先明确本题属于古典概型问题，需先计算所有等可能的结果总数，再找出甲、乙参加同种球类运动的结果数，最后根据概率公式计算概率。甲、乙两名学生各有4种球类运动可选，总结果数为两人选择数的乘积；甲、乙参加同种球类的情况是两人选同一种球类，共4种，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：甲有“篮球”“足球”“排球”“羽毛球”4种球类运动可选，乙同样有4种选择，因此所有等可能的结果总数为 $4 × 4 = 16$ 种。
其中甲、乙参加同种球类运动的结果有：（篮球，篮球）、（足球，足球）、（排球，排球）、（羽毛球，羽毛球），共4种。
根据概率公式 $P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果总数}$，可得甲、乙参加同种球类运动的概率为 $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型、列表法求概率
【点评】
本题为教材习题变式的新情境题，考查古典概型的基础概率计算，通过列举法清晰呈现所有等可能结果，步骤简洁，是巩固概率基本应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
2.（2025·河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就. 如图所示是正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片，它们除正面外完全相同. 把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（
A.$\dfrac{1}{12}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{2}$
B
）A.$\dfrac{1}{12}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
解析:列表如下.由表可知,共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有(丽,山),(山,丽),共2种,
∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
要计算随机抽取两张卡片恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率，需先明确所有等可能的抽取结果总数，再找出符合条件的结果数，最后利用概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）求解。由于抽取卡片存在顺序差异，通过列表法可清晰、无遗漏地呈现所有情况，避免出错。
【解析】
将四张卡片分别记为：美、丽、山、河，列表列举所有随机抽取两张卡片的等可能结果：
| 第一次抽取 | 美 | 美 | 美 | 丽 | 丽 | 丽 | 山 | 山 | 山 | 河 | 河 | 河 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 第二次抽取 | 丽 | 山 | 河 | 美 | 山 | 河 | 美 | 丽 | 河 | 美 | 丽 | 山 |
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面恰好是“丽”和“山”的结果有（丽，山）、（山，丽），共2种。
因此，所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、列表法求概率
【点评】
本题属于古典概型的基础题型，通过列表法直观呈现所有等可能结果，考查学生对概率基本公式的掌握，解题思路清晰，计算简单，是常见的基础概率题。
【难度系数】
0.6
要计算随机抽取两张卡片恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率，需先明确所有等可能的抽取结果总数，再找出符合条件的结果数，最后利用概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）求解。由于抽取卡片存在顺序差异，通过列表法可清晰、无遗漏地呈现所有情况，避免出错。
【解析】
将四张卡片分别记为：美、丽、山、河，列表列举所有随机抽取两张卡片的等可能结果：
| 第一次抽取 | 美 | 美 | 美 | 丽 | 丽 | 丽 | 山 | 山 | 山 | 河 | 河 | 河 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 第二次抽取 | 丽 | 山 | 河 | 美 | 山 | 河 | 美 | 丽 | 河 | 美 | 丽 | 山 |
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面恰好是“丽”和“山”的结果有（丽，山）、（山，丽），共2种。
因此，所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、列表法求概率
【点评】
本题属于古典概型的基础题型，通过列表法直观呈现所有等可能结果，考查学生对概率基本公式的掌握，解题思路清晰，计算简单，是常见的基础概率题。
【难度系数】
0.6
3. (2025·浙江)现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片,其中标有数字1,4,5的卡片在甲手中,标有数字2,3,6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片,甲出的卡片数字比乙大的概率是
$\dfrac{4}{9}$
.答案
解析:列表如下.由表可知,共有9种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果有(4,2),(4,3),(5,2),(5,3),共4种,
∴甲出的卡片数字比乙大的概率为$\frac{4}{9}$。
∴甲出的卡片数字比乙大的概率为$\frac{4}{9}$。
解析
【分析】
这是古典概型的概率计算问题，解题思路为：先通过枚举法列出甲、乙各出一张卡片的所有等可能结果，再从中筛选出甲出的卡片数字比乙大的结果数量，最后利用“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”的公式计算所求概率。
【解析】
甲手中卡片数字为1、4、5，乙手中卡片数字为2、3、6，两人各随机出一张卡片，所有等可能的结果为：(1,2)、(1,3)、(1,6)、(4,2)、(4,3)、(4,6)、(5,2)、(5,3)、(5,6)，共9种。
其中甲出的卡片数字比乙大的结果有：(4,2)、(4,3)、(5,2)、(5,3)，共4种。
根据概率公式，所求概率为：$\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题是古典概型的基础应用题，通过列表法清晰枚举所有等可能结果，避免遗漏或重复，能帮助学生巩固概率计算的基本方法，难度适中。
【难度系数】
0.6
这是古典概型的概率计算问题，解题思路为：先通过枚举法列出甲、乙各出一张卡片的所有等可能结果，再从中筛选出甲出的卡片数字比乙大的结果数量，最后利用“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”的公式计算所求概率。
【解析】
甲手中卡片数字为1、4、5，乙手中卡片数字为2、3、6，两人各随机出一张卡片，所有等可能的结果为：(1,2)、(1,3)、(1,6)、(4,2)、(4,3)、(4,6)、(5,2)、(5,3)、(5,6)，共9种。
其中甲出的卡片数字比乙大的结果有：(4,2)、(4,3)、(5,2)、(5,3)，共4种。
根据概率公式，所求概率为：$\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题是古典概型的基础应用题，通过列表法清晰枚举所有等可能结果，避免遗漏或重复，能帮助学生巩固概率计算的基本方法，难度适中。
【难度系数】
0.6
4. 现有三位自愿献血者，其中两人为O型血，一人为A型血，若在三人中随机挑选一人献血，两年后又从此三人中随机挑选一人献血，则两次献血的人血型均为O型的概率是
$\dfrac{4}{9}$
.答案
解析:将O型血的两人分别记为$O_1$、$O_2$,列表如下.由表可知,共有9种等可能的结果,其中两次献血的人血型均为O型的结果有4种,
∴两次献血的人血型均为O型的概率是$\frac{4}{9}$。
∴两次献血的人血型均为O型的概率是$\frac{4}{9}$。
解析
【分析】
本题是古典概型的概率计算问题，解题思路为：明确两次从三人中随机挑选献血者属于有放回的独立抽取，先通过列举法找出所有等可能的抽取结果，再从中筛选出两次献血者均为O型血的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算所求概率。
【解析】
将两位O型血献血者记为$O_1$、$O_2$，A型血献血者记为$A$，两次抽取的所有等可能结果列表如下：
| 第一次 | 第二次 | 结果 |
|--------|--------|------|
| $O_1$ | $O_1$ | $(O_1,O_1)$ |
| $O_1$ | $O_2$ | $(O_1,O_2)$ |
| $O_1$ | $A$ | $(O_1,A)$ |
| $O_2$ | $O_1$ | $(O_2,O_1)$ |
| $O_2$ | $O_2$ | $(O_2,O_2)$ |
| $O_2$ | $A$ | $(O_2,A)$ |
| $A$ | $O_1$ | $(A,O_1)$ |
| $A$ | $O_2$ | $(A,O_2)$ |
| $A$ | $A$ | $(A,A)$ |
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中两次献血者血型均为O型的结果有4种，因此两次献血的人血型均为O型的概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
古典概型；列举法求概率
【点评】
本题属于概率部分的基础题，通过列表法直观呈现所有等可能结果，避免计数错误，解题核心是准确确定总事件数与符合条件的事件数，适合用列举法解决，难度较低，是古典概型的典型应用。
【难度系数】
0.8
本题是古典概型的概率计算问题，解题思路为：明确两次从三人中随机挑选献血者属于有放回的独立抽取，先通过列举法找出所有等可能的抽取结果，再从中筛选出两次献血者均为O型血的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算所求概率。
【解析】
将两位O型血献血者记为$O_1$、$O_2$，A型血献血者记为$A$，两次抽取的所有等可能结果列表如下：
| 第一次 | 第二次 | 结果 |
|--------|--------|------|
| $O_1$ | $O_1$ | $(O_1,O_1)$ |
| $O_1$ | $O_2$ | $(O_1,O_2)$ |
| $O_1$ | $A$ | $(O_1,A)$ |
| $O_2$ | $O_1$ | $(O_2,O_1)$ |
| $O_2$ | $O_2$ | $(O_2,O_2)$ |
| $O_2$ | $A$ | $(O_2,A)$ |
| $A$ | $O_1$ | $(A,O_1)$ |
| $A$ | $O_2$ | $(A,O_2)$ |
| $A$ | $A$ | $(A,A)$ |
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中两次献血者血型均为O型的结果有4种，因此两次献血的人血型均为O型的概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
古典概型；列举法求概率
【点评】
本题属于概率部分的基础题，通过列表法直观呈现所有等可能结果，避免计数错误，解题核心是准确确定总事件数与符合条件的事件数，适合用列举法解决，难度较低，是古典概型的典型应用。
【难度系数】
0.8
5. 为使学生更加热爱家乡,某校七年级准备从博物馆A、文化馆B两个研学基地中,随机选择一个基地研学,且每个基地被选到的可能性相等;八年级准备从博物馆A、文化馆B、党史馆C三个研学基地中,随机选择一个基地研学,且每个基地被选到的可能性相等.
(1)八年级选择去博物馆 A 的概率是
(2)用列表法或画树状图法求该校七、八年级选择的研学基地互不相同的概率$P$.
(1)八年级选择去博物馆 A 的概率是
$\dfrac{1}{3}$
.(2)用列表法或画树状图法求该校七、八年级选择的研学基地互不相同的概率$P$.
答案
(1)$\frac{1}{3}$
(2)列表如下.由表可知,共有6种等可能的结果，其中该校七、八年级选择的研学基地互不相同的结果有4种，
∴该校七、八年级选择的研学基地互不相同的概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
(2)列表如下.由表可知,共有6种等可能的结果，其中该校七、八年级选择的研学基地互不相同的结果有4种，
∴该校七、八年级选择的研学基地互不相同的概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
首先明确等可能事件的概率计算方法：概率=所求事件的结果数÷所有等可能事件的总结果数。第(1)问直接利用八年级可选基地的总数和选A的结果数计算；第(2)问需用列表法列出七、八年级所有可能的选择组合，统计出“研学基地互不相同”的结果数，再代入概率公式求解。
【解析】
(1) 八年级有博物馆A、文化馆B、党史馆C共3个等可能的研学基地，其中选择去博物馆A的结果仅1种，根据概率公式，八年级选择去博物馆A的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 用列表法列举所有等可能结果：
| 七年级\八年级 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
由上表可知，共有6种等可能的结果，其中七、八年级选择的研学基地互不相同的结果有4种，因此所求概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$；(2)$\frac{2}{3}$
【知识点】
古典概型，列表法求概率，概率的计算
【点评】
本题是概率部分的基础应用题，考查古典概型的实际应用，要求学生掌握用列表法清晰列举所有等可能结果的方法，准确统计符合条件的结果数，属于初中概率模块的核心基础题型。
【难度系数】
0.7
首先明确等可能事件的概率计算方法：概率=所求事件的结果数÷所有等可能事件的总结果数。第(1)问直接利用八年级可选基地的总数和选A的结果数计算；第(2)问需用列表法列出七、八年级所有可能的选择组合，统计出“研学基地互不相同”的结果数，再代入概率公式求解。
【解析】
(1) 八年级有博物馆A、文化馆B、党史馆C共3个等可能的研学基地，其中选择去博物馆A的结果仅1种，根据概率公式，八年级选择去博物馆A的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 用列表法列举所有等可能结果：
| 七年级\八年级 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
由上表可知，共有6种等可能的结果，其中七、八年级选择的研学基地互不相同的结果有4种，因此所求概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$；(2)$\frac{2}{3}$
【知识点】
古典概型，列表法求概率，概率的计算
【点评】
本题是概率部分的基础应用题，考查古典概型的实际应用，要求学生掌握用列表法清晰列举所有等可能结果的方法，准确统计符合条件的结果数，属于初中概率模块的核心基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 学校准备开展数学阅读写作活动，九年级(2)班有4名同学报名(2名男生和2名女生)，现根据学校分配名额从报名学生中随机抽取部分学生参加比赛.
(1)若分配1个名额，则抽到男生的概率是
(2)若分配2个名额，请用列表的方法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
(1)若分配1个名额，则抽到男生的概率是
$\dfrac{1}{2}$
.(2)若分配2个名额，请用列表的方法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
答案
(1)$\frac{1}{2}$
(2)将2名男生分别记为男1、男2,2名女生分别记为女1、女2,列表如下.由表可知,共有12种等可能的结果,其中选取的2名学生恰为1男1女的结果有8种,
∴选取的2名学生恰为1男1女的概率是$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
(2)将2名男生分别记为男1、男2,2名女生分别记为女1、女2,列表如下.由表可知,共有12种等可能的结果,其中选取的2名学生恰为1男1女的结果有8种,
∴选取的2名学生恰为1男1女的概率是$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
第(1)问属于古典概型问题，概率计算规则为：事件发生的概率等于该事件包含的基本结果数除以所有等可能的基本结果数。总共有4名报名学生，其中男生2名，分配1个名额时，直接用男生人数除以总人数即可得到抽到男生的概率。第(2)问要求用列表法求概率，需先对男生、女生编号，通过列表完整列举出抽取2名学生的所有等可能结果，再从中找出恰好1男1女的结果数，最后代入概率公式计算，列表时要保证结果不重复、不遗漏，确保所有结果等可能。
【解析】
(1) 总报名学生共4名，其中男生有2名，分配1个名额时，抽到男生的概率为：
$P(抽到男生)=\frac{男生人数}{总人数}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 将2名男生记为男1、男2，2名女生记为女1、女2，列表如下：
| | 男1 | 男2 | 女1 | 女2 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 男1 | - | (男1,男2) | (男1,女1) | (男1,女2) |
| 男2 | (男2,男1) | - | (男2,女1) | (男2,女2) |
| 女1 | (女1,男1) | (女1,男2) | - | (女1,女2) |
| 女2 | (女2,男1) | (女2,男2) | (女2,女1) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，因此：
$P(恰好1男1女)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$\frac{2}{3}$
【知识点】
概率的计算、列表法求概率
【点评】
本题考查古典概型的概率计算，第(1)问为基础概率计算，难度较低；第(2)问通过列表法列举所有等可能结果，是概率问题的常用解题方法，需注意列举结果的等可能性，整体属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.6
第(1)问属于古典概型问题，概率计算规则为：事件发生的概率等于该事件包含的基本结果数除以所有等可能的基本结果数。总共有4名报名学生，其中男生2名，分配1个名额时，直接用男生人数除以总人数即可得到抽到男生的概率。第(2)问要求用列表法求概率，需先对男生、女生编号，通过列表完整列举出抽取2名学生的所有等可能结果，再从中找出恰好1男1女的结果数，最后代入概率公式计算，列表时要保证结果不重复、不遗漏，确保所有结果等可能。
【解析】
(1) 总报名学生共4名，其中男生有2名，分配1个名额时，抽到男生的概率为：
$P(抽到男生)=\frac{男生人数}{总人数}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 将2名男生记为男1、男2，2名女生记为女1、女2，列表如下：
| | 男1 | 男2 | 女1 | 女2 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 男1 | - | (男1,男2) | (男1,女1) | (男1,女2) |
| 男2 | (男2,男1) | - | (男2,女1) | (男2,女2) |
| 女1 | (女1,男1) | (女1,男2) | - | (女1,女2) |
| 女2 | (女2,男1) | (女2,男2) | (女2,女1) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，因此：
$P(恰好1男1女)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$\frac{2}{3}$
【知识点】
概率的计算、列表法求概率
【点评】
本题考查古典概型的概率计算，第(1)问为基础概率计算，难度较低；第(2)问通过列表法列举所有等可能结果，是概率问题的常用解题方法，需注意列举结果的等可能性，整体属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.6
