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7. 如图,在平面直角坐标系中,已知四个点的坐标分别为 $A_1(1,0)$、$A_2(2,0)$、$B_1(0,1)$、$B_2(0,2)$,在 $A_1$、$A_2$ 和 $B_1$、$B_2$ 中分别各取一个点与原点$O$连接构成三角形,则所得三角形是等腰三角形的概率是 （
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
D
）A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
解析:列表如下.由表可知,共有4种等可能的结果,其中所得三角形是等腰三角形的结果有$(A_1,B_1)$、$(A_2,B_2)$,共2种,
∴所得三角形是等腰三角形的概率是$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
∴所得三角形是等腰三角形的概率是$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需分三步思考：第一步，确定从A₁、A₂和B₁、B₂中各取一个点与原点O组成三角形的所有等可能组合；第二步，根据等腰三角形的判定（两条边相等），逐一判断每种组合构成的三角形是否为等腰三角形；第三步，利用概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算所求概率。
【解析】
首先，计算所有等可能的组合数：从A₁、A₂中选1个点，有2种选法；从B₁、B₂中选1个点，有2种选法，因此总共有2×2=4种等可能的结果，分别为：(A₁,B₁)、(A₁,B₂)、(A₂,B₁)、(A₂,B₂)。
然后，逐一判断每种组合构成的三角形是否为等腰三角形：
1. 对于组合(A₁,B₁)：OA₁=1，OB₁=1，故OA₁=OB₁，△OA₁B₁是等腰三角形；
2. 对于组合(A₁,B₂)：OA₁=1，OB₂=2，OA₁≠OB₂，且OA₁≠A₁B₂、OB₂≠A₁B₂，故△OA₁B₂不是等腰三角形；
3. 对于组合(A₂,B₁)：OA₂=2，OB₁=1，OA₂≠OB₁，且OA₂≠A₂B₁、OB₁≠A₂B₁，故△OA₂B₁不是等腰三角形；
4. 对于组合(A₂,B₂)：OA₂=2，OB₂=2，故OA₂=OB₂，△OA₂B₂是等腰三角形。
符合条件的结果有2种，因此所得三角形是等腰三角形的概率为：$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率计算、等腰三角形判定
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查概率的计算，核心是明确所有等可能结果并结合等腰三角形的判定筛选符合条件的结果，属于基础概率题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需分三步思考：第一步，确定从A₁、A₂和B₁、B₂中各取一个点与原点O组成三角形的所有等可能组合；第二步，根据等腰三角形的判定（两条边相等），逐一判断每种组合构成的三角形是否为等腰三角形；第三步，利用概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算所求概率。
【解析】
首先，计算所有等可能的组合数：从A₁、A₂中选1个点，有2种选法；从B₁、B₂中选1个点，有2种选法，因此总共有2×2=4种等可能的结果，分别为：(A₁,B₁)、(A₁,B₂)、(A₂,B₁)、(A₂,B₂)。
然后，逐一判断每种组合构成的三角形是否为等腰三角形：
1. 对于组合(A₁,B₁)：OA₁=1，OB₁=1，故OA₁=OB₁，△OA₁B₁是等腰三角形；
2. 对于组合(A₁,B₂)：OA₁=1，OB₂=2，OA₁≠OB₂，且OA₁≠A₁B₂、OB₂≠A₁B₂，故△OA₁B₂不是等腰三角形；
3. 对于组合(A₂,B₁)：OA₂=2，OB₁=1，OA₂≠OB₁，且OA₂≠A₂B₁、OB₁≠A₂B₁，故△OA₂B₁不是等腰三角形；
4. 对于组合(A₂,B₂)：OA₂=2，OB₂=2，故OA₂=OB₂，△OA₂B₂是等腰三角形。
符合条件的结果有2种，因此所得三角形是等腰三角形的概率为：$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率计算、等腰三角形判定
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查概率的计算，核心是明确所有等可能结果并结合等腰三角形的判定筛选符合条件的结果，属于基础概率题，难度适中。
【难度系数】
0.5
8.【跨学科】色光的三原色是红、绿、蓝，这三种颜色可以形成所有的颜色.若从这三种颜色中随机选择两种不同的颜色进行混合，则恰好可以得到黄色(红和绿混合得到的颜色)的概率是
$\dfrac{1}{3}$
.答案
解析:列表如下.由表可知,共有6种等可能的结果，其中恰好可以得到黄色的结果有(红,绿)、(绿,红),共2种，
∴恰好可以得到黄色的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
∴恰好可以得到黄色的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
要解决该概率问题，需先明确从红、绿、蓝三种颜色中随机选两种不同颜色的所有等可能结果，再确定能得到黄色（红和绿混合）的结果数量，最后依据概率公式计算概率。需注意选择两种不同颜色时，有序的选择会产生不同的结果，需完整列举所有情况。
【解析】
从红、绿、蓝三种颜色中随机选择两种不同的颜色，所有等可能的结果为：(红,绿)、(红,蓝)、(绿,红)、(绿,蓝)、(蓝,红)、(蓝,绿)，共6种。其中恰好能得到黄色的结果是红和绿的组合，即(红,绿)、(绿,红)，共2种。根据概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数，可得所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算，列举法求概率
【点评】
本题结合跨学科的色光知识，考查概率的基础计算，通过列举法清晰呈现所有等可能结果，进而计算符合条件的概率，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决该概率问题，需先明确从红、绿、蓝三种颜色中随机选两种不同颜色的所有等可能结果，再确定能得到黄色（红和绿混合）的结果数量，最后依据概率公式计算概率。需注意选择两种不同颜色时，有序的选择会产生不同的结果，需完整列举所有情况。
【解析】
从红、绿、蓝三种颜色中随机选择两种不同的颜色，所有等可能的结果为：(红,绿)、(红,蓝)、(绿,红)、(绿,蓝)、(蓝,红)、(蓝,绿)，共6种。其中恰好能得到黄色的结果是红和绿的组合，即(红,绿)、(绿,红)，共2种。根据概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数，可得所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算，列举法求概率
【点评】
本题结合跨学科的色光知识，考查概率的基础计算，通过列举法清晰呈现所有等可能结果，进而计算符合条件的概率，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
9. 抛掷六个面分别标有1,2,3,4,5,6 这 6 个数字的正方体骰子两次,向上一面的数字之和为 5的概率是
$\dfrac{1}{9}$
.答案
解析:列表如下.由表可知,共有36种等可能的结果，其中向上一面的数字之和为5的结果有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1),共4种,
∴向上一面的数字之和为5的概率是$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$。
∴向上一面的数字之和为5的概率是$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$。
解析
【分析】
要计算抛掷两次骰子数字之和为5的概率，需先确定所有等可能的结果总数，再找出数字之和为5的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算。抛掷两次骰子，每次都有6种等可能结果，总结果数为6×6=36种，通过列表法可清晰列举所有结果，进而筛选出符合条件的结果。
【解析】
抛掷两次骰子，所有等可能的结果共6×6=36种。其中向上一面数字之和为5的结果有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共4种。根据概率公式，所求概率为$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
概率计算、列举法求概率
【点评】
本题为概率基础应用题，通过列表法直观呈现所有等可能结果，核心是准确识别数字之和为5的结果，适合巩固概率的基本计算方法，难度较低。
【难度系数】
0.7
要计算抛掷两次骰子数字之和为5的概率，需先确定所有等可能的结果总数，再找出数字之和为5的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算。抛掷两次骰子，每次都有6种等可能结果，总结果数为6×6=36种，通过列表法可清晰列举所有结果，进而筛选出符合条件的结果。
【解析】
抛掷两次骰子，所有等可能的结果共6×6=36种。其中向上一面数字之和为5的结果有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共4种。根据概率公式，所求概率为$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
概率计算、列举法求概率
【点评】
本题为概率基础应用题，通过列表法直观呈现所有等可能结果，核心是准确识别数字之和为5的结果，适合巩固概率的基本计算方法，难度较低。
【难度系数】
0.7
10. 为了有效保护环境,某居委会倡议居民将生活垃圾进行分类投放(分为可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾三类).一天,小林把生活垃圾分装在三个袋中,则他任意投放垃圾,把三个袋子都放错位置的概率是
$\dfrac{1}{3}$
.答案
解析:将可回收垃圾、不可回收垃圾和有害垃圾分别记为A、B、C,相应的各投放点分别记为a、b、c,列表如下.由表可知,共有6种等可能的结果,其中三个袋子都放错位置的结果有2种,
∴三个袋子都放错位置的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
∴三个袋子都放错位置的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需分三步思考：第一步，明确所有可能的投放情况：将三类垃圾对应三个投放点，属于3个元素的全排列，总共有3!种等可能结果；第二步，找出“三个袋子都放错位置”的情况，即全错位排列，通过列举法可得到符合条件的结果数；第三步，根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算所求概率。
【解析】
设可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾分别为A、B、C，对应的投放点分别为a、b、c。
1. 计算总结果数：3个袋子投放到3个不同位置，所有等可能的投放情况为：(A→a,B→b,C→c)、(A→a,B→c,C→b)、(A→b,B→a,C→c)、(A→b,B→c,C→a)、(A→c,B→a,C→b)、(A→c,B→b,C→a)，共6种。
2. 找出三个袋子都放错位置的情况：即每个袋子都不投到对应位置，符合条件的情况为：(A→b,B→c,C→a)、(A→c,B→a,C→b)，共2种。
3. 计算概率：根据概率公式，所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、全排列
【点评】
本题结合实际场景考查概率计算，核心是理解全错位排列的概念，通过列举法即可快速确定结果，难度适中，适合学生掌握基础概率应用。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需分三步思考：第一步，明确所有可能的投放情况：将三类垃圾对应三个投放点，属于3个元素的全排列，总共有3!种等可能结果；第二步，找出“三个袋子都放错位置”的情况，即全错位排列，通过列举法可得到符合条件的结果数；第三步，根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算所求概率。
【解析】
设可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾分别为A、B、C，对应的投放点分别为a、b、c。
1. 计算总结果数：3个袋子投放到3个不同位置，所有等可能的投放情况为：(A→a,B→b,C→c)、(A→a,B→c,C→b)、(A→b,B→a,C→c)、(A→b,B→c,C→a)、(A→c,B→a,C→b)、(A→c,B→b,C→a)，共6种。
2. 找出三个袋子都放错位置的情况：即每个袋子都不投到对应位置，符合条件的情况为：(A→b,B→c,C→a)、(A→c,B→a,C→b)，共2种。
3. 计算概率：根据概率公式，所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、全排列
【点评】
本题结合实际场景考查概率计算，核心是理解全错位排列的概念，通过列举法即可快速确定结果，难度适中，适合学生掌握基础概率应用。
【难度系数】
0.5
11.【跨学科】化学实验课上,张老师带来了 Mg(镁)、Al(铝)、Zn(锌)、Cu(铜)四种金属,这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着,让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气.(根据金属活动顺序可知:Mg、Al、Zn 可以置换出氢气,而 Cu 不能置换出氢气)
(1)小明从四种金属中随机选一种,则选到 Al 的概率是
(2)小明和小红分别从四种金属中随机选一种进行实验,求二人所选金属均能置换出氢气的概率.
(1)小明从四种金属中随机选一种,则选到 Al 的概率是
$\dfrac{1}{4}$
.(2)小明和小红分别从四种金属中随机选一种进行实验,求二人所选金属均能置换出氢气的概率.
答案
(1)$\frac{1}{4}$
(2)列表如下.由表可知,共有16种等可能的结果,其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有(Mg,Mg)、(Mg,Al)、(Mg,Zn)、(Al,Mg)、(Al,Al)、(Al,Zn)、(Zn,Mg)、(Zn,Al)、(Zn,Zn),共9种,
∴二人所选金属均能置换出氢气的概率是$\frac{9}{16}$。
(2)列表如下.由表可知,共有16种等可能的结果,其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有(Mg,Mg)、(Mg,Al)、(Mg,Zn)、(Al,Mg)、(Al,Al)、(Al,Zn)、(Zn,Mg)、(Zn,Al)、(Zn,Zn),共9种,
∴二人所选金属均能置换出氢气的概率是$\frac{9}{16}$。
解析
【分析】
本题为结合化学知识的概率计算题，解题思路如下：（1）第一问是简单古典概型，先确定总共有4种等可能的选择结果，选到Al的结果仅1种，直接用概率公式计算；（2）第二问是两人分别选择的两步试验，需用列表法列出所有等可能结果，再结合化学知识确定能置换氢气的金属（Mg、Al、Zn共3种），找出两人所选均为这类金属的结果数，最后计算概率。
【解析】
（1）从四种金属中随机选一种，所有等可能的结果共4种，其中选到Al的结果有1种，根据古典概型概率公式$P=\frac{事件包含的结果数}{所有等可能结果数}$，得选到Al的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）小明和小红各从四种金属中随机选一种，用列表法列出所有等可能结果：
| 小明\小红 | Mg | Al | Zn | Cu |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Mg | (Mg,Mg) | (Mg,Al) | (Mg,Zn) | (Mg,Cu) |
| Al | (Al,Mg) | (Al,Al) | (Al,Zn) | (Al,Cu) |
| Zn | (Zn,Mg) | (Zn,Al) | (Zn,Zn) | (Zn,Cu) |
| Cu | (Cu,Mg) | (Cu,Al) | (Cu,Zn) | (Cu,Cu) |
共有16种等可能的结果。根据化学知识，能置换氢气的金属为Mg、Al、Zn，共3种，因此二人所选金属均能置换氢气的结果有：(Mg,Mg)、(Mg,Al)、(Mg,Zn)、(Al,Mg)、(Al,Al)、(Al,Zn)、(Zn,Mg)、(Zn,Al)、(Zn,Zn)，共9种。故所求概率为$\frac{9}{16}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{9}{16}$
【知识点】
古典概型、列举法求概率
【点评】
本题结合化学金属活动性的跨学科知识考查概率计算，需先明确能与盐酸反应置换氢气的金属种类，再通过列举法（列表法）确定所有等可能结果，进而计算概率，属于基础的概率应用题，注重学科知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
本题为结合化学知识的概率计算题，解题思路如下：（1）第一问是简单古典概型，先确定总共有4种等可能的选择结果，选到Al的结果仅1种，直接用概率公式计算；（2）第二问是两人分别选择的两步试验，需用列表法列出所有等可能结果，再结合化学知识确定能置换氢气的金属（Mg、Al、Zn共3种），找出两人所选均为这类金属的结果数，最后计算概率。
【解析】
（1）从四种金属中随机选一种，所有等可能的结果共4种，其中选到Al的结果有1种，根据古典概型概率公式$P=\frac{事件包含的结果数}{所有等可能结果数}$，得选到Al的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）小明和小红各从四种金属中随机选一种，用列表法列出所有等可能结果：
| 小明\小红 | Mg | Al | Zn | Cu |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Mg | (Mg,Mg) | (Mg,Al) | (Mg,Zn) | (Mg,Cu) |
| Al | (Al,Mg) | (Al,Al) | (Al,Zn) | (Al,Cu) |
| Zn | (Zn,Mg) | (Zn,Al) | (Zn,Zn) | (Zn,Cu) |
| Cu | (Cu,Mg) | (Cu,Al) | (Cu,Zn) | (Cu,Cu) |
共有16种等可能的结果。根据化学知识，能置换氢气的金属为Mg、Al、Zn，共3种，因此二人所选金属均能置换氢气的结果有：(Mg,Mg)、(Mg,Al)、(Mg,Zn)、(Al,Mg)、(Al,Al)、(Al,Zn)、(Zn,Mg)、(Zn,Al)、(Zn,Zn)，共9种。故所求概率为$\frac{9}{16}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{9}{16}$
【知识点】
古典概型、列举法求概率
【点评】
本题结合化学金属活动性的跨学科知识考查概率计算，需先明确能与盐酸反应置换氢气的金属种类，再通过列举法（列表法）确定所有等可能结果，进而计算概率，属于基础的概率应用题，注重学科知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
12. 九年级(1)班组织班级联欢会,最后是抽奖环节,每名同学都有一次抽奖机会,抽奖方案如下:将一副扑克牌中点数为 2,3,3,5,6 的五张牌背面朝上洗匀,先从中抽出 1 张牌,再从余下的 4 张牌中抽出 1 张牌,记录两张牌的点数后放回,完成一次抽奖.记每次抽出的两张牌的点数之差为 $x$,按下表要求确定奖项.
(1)用列表法求出甲同学获得一等奖的概率.
(2)是否每次抽奖都会获奖？为什么？
(1)用列表法求出甲同学获得一等奖的概率.
(2)是否每次抽奖都会获奖？为什么？
答案
(1)列表如下.由表可知,共有20种等可能的结果,其中获得一等奖的结果有2种,
∴甲同学获得一等奖的概率是$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
(2)不一定.当抽取的两张牌点数都是3时,$|x|=0$,不会获奖。
∴甲同学获得一等奖的概率是$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
(2)不一定.当抽取的两张牌点数都是3时,$|x|=0$,不会获奖。
解析
【分析】
首先明确抽奖规则：从点数为2、3、3、5、6的5张牌中不放回抽取2张，计算两张牌点数差的绝对值$x$，一等奖对应$|x|=4$，二等奖对应$|x|=3$，三等奖对应$1≤|x|＜3$。第(1)问需用列表法列出所有等可能的抽取结果，再找出满足一等奖的结果数，结合概率公式计算；第(2)问需判断是否存在$x$不满足任何奖项条件的情况，以此确定是否每次都获奖。
【解析】
(1) 用列表法列出所有抽取结果：
|第一次抽取|第二次抽取|点数差的绝对值$x$|
|----|----|----|
|2|3|1|
|2|3|1|
|2|5|3|
|2|6|4|
|3（第1张）|2|1|
|3（第1张）|3|0|
|3（第1张）|5|2|
|3（第1张）|6|3|
|3（第2张）|2|1|
|3（第2张）|3|0|
|3（第2张）|5|2|
|3（第2张）|6|3|
|5|2|3|
|5|3|2|
|5|3|2|
|5|6|1|
|6|2|4|
|6|3|3|
|6|3|3|
|6|5|1|
由上表可知，共有20种等可能的结果，其中满足一等奖（$|x|=4$）的结果有2种，因此甲同学获得一等奖的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
(2) 当抽取的两张牌都是3时，$|x|=0$，此时0不满足$1≤|x|＜3$，也不等于3或4，没有对应的奖项，因此不是每次抽奖都会获奖。
【答案】
(1) 甲同学获得一等奖的概率为$\frac{1}{10}$；(2) 不是每次抽奖都会获奖，当抽取的两张牌点数都是3时，不会获奖。
【知识点】
概率计算、绝对值的应用
【点评】
本题结合抽奖场景考查概率的计算，核心是通过列表法准确梳理所有等可能结果，同时需结合绝对值的意义判断奖项，需注意抽取牌的顺序对结果的影响，整体难度适中，是初中概率的典型基础题型。
【难度系数】
0.5
首先明确抽奖规则：从点数为2、3、3、5、6的5张牌中不放回抽取2张，计算两张牌点数差的绝对值$x$，一等奖对应$|x|=4$，二等奖对应$|x|=3$，三等奖对应$1≤|x|＜3$。第(1)问需用列表法列出所有等可能的抽取结果，再找出满足一等奖的结果数，结合概率公式计算；第(2)问需判断是否存在$x$不满足任何奖项条件的情况，以此确定是否每次都获奖。
【解析】
(1) 用列表法列出所有抽取结果：
|第一次抽取|第二次抽取|点数差的绝对值$x$|
|----|----|----|
|2|3|1|
|2|3|1|
|2|5|3|
|2|6|4|
|3（第1张）|2|1|
|3（第1张）|3|0|
|3（第1张）|5|2|
|3（第1张）|6|3|
|3（第2张）|2|1|
|3（第2张）|3|0|
|3（第2张）|5|2|
|3（第2张）|6|3|
|5|2|3|
|5|3|2|
|5|3|2|
|5|6|1|
|6|2|4|
|6|3|3|
|6|3|3|
|6|5|1|
由上表可知，共有20种等可能的结果，其中满足一等奖（$|x|=4$）的结果有2种，因此甲同学获得一等奖的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
(2) 当抽取的两张牌都是3时，$|x|=0$，此时0不满足$1≤|x|＜3$，也不等于3或4，没有对应的奖项，因此不是每次抽奖都会获奖。
【答案】
(1) 甲同学获得一等奖的概率为$\frac{1}{10}$；(2) 不是每次抽奖都会获奖，当抽取的两张牌点数都是3时，不会获奖。
【知识点】
概率计算、绝对值的应用
【点评】
本题结合抽奖场景考查概率的计算，核心是通过列表法准确梳理所有等可能结果，同时需结合绝对值的意义判断奖项，需注意抽取牌的顺序对结果的影响，整体难度适中，是初中概率的典型基础题型。
【难度系数】
0.5
