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1. 甲、乙两人做游戏,同时掷两枚相同的硬币,双方约定同面朝上甲胜,异面朝上乙胜,则这个游戏
（
A.对双方公平
B.对甲有利
C.对乙有利
D.无法确定公平性
（
A
）A.对双方公平
B.对甲有利
C.对乙有利
D.无法确定公平性
答案
1. A 解析:共有四种可能,即正正、正反、反正、反反,
∵P(甲胜)=$\frac{1}{2}$,P(乙胜)=$\frac{1}{2}$,
∴游戏对双方公平.
∵P(甲胜)=$\frac{1}{2}$,P(乙胜)=$\frac{1}{2}$,
∴游戏对双方公平.
解析
【分析】要判断游戏是否公平，需先列举出同时掷两枚相同硬币的所有等可能结果，再分别计算甲胜（同面朝上）和乙胜（异面朝上）的概率，比较两者概率是否相等，若相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】同时掷两枚相同的硬币，所有等可能的结果为：正正、正反、反正、反反，共4种。其中同面朝上（正正、反反）的情况有2种，因此甲胜的概率$P(甲胜)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；异面朝上（正反、反正）的情况有2种，因此乙胜的概率$P(乙胜)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。由于$P(甲胜)=P(乙胜)$，所以这个游戏对双方公平。
【答案】A
【知识点】概率的计算；游戏公平性
【点评】本题考查用列举法求概率及游戏公平性的判断，核心是通过计算双方获胜的概率是否相等来确定公平性，属于概率应用的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】同时掷两枚相同的硬币，所有等可能的结果为：正正、正反、反正、反反，共4种。其中同面朝上（正正、反反）的情况有2种，因此甲胜的概率$P(甲胜)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；异面朝上（正反、反正）的情况有2种，因此乙胜的概率$P(乙胜)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。由于$P(甲胜)=P(乙胜)$，所以这个游戏对双方公平。
【答案】A
【知识点】概率的计算；游戏公平性
【点评】本题考查用列举法求概率及游戏公平性的判断，核心是通过计算双方获胜的概率是否相等来确定公平性，属于概率应用的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
2. 足球比赛前,裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者,其主要原因是
（
A.让比赛更富有情趣
B.让比赛更具有神秘色彩
C.体现比赛的公平性
D.让比赛更具有挑战性
（
C
）A.让比赛更富有情趣
B.让比赛更具有神秘色彩
C.体现比赛的公平性
D.让比赛更具有挑战性
答案
2. C 解析:一枚硬币只有正反两面,正面朝上或朝下的概率均为$\frac{1}{2}$,即两个队选择场地与首先发球者的可能性相等,这种方法体现了公平性.
解析
【分析】
要解决这道题，需结合抛硬币的概率特点分析选项：抛硬币时，正面朝上和反面朝上的概率相等，均为$\frac{1}{2}$，这意味着比赛双方通过抛硬币获得场地选择权或发球权的机会均等，核心是体现公平性，据此排除不符合的选项。
【解析】
一枚硬币仅有正反两面，抛硬币时正面朝上、反面朝上的概率均为$\frac{1}{2}$，比赛双方通过抛硬币决定场地与发球者，双方获得对应权利的可能性相等，这种方式体现了比赛的公平性，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
概率的意义、公平性
【点评】
本题结合足球比赛的实际场景，考查概率在生活中的应用，贴近日常，难度较低，能帮助学生理解概率体现公平性的实际价值。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需结合抛硬币的概率特点分析选项：抛硬币时，正面朝上和反面朝上的概率相等，均为$\frac{1}{2}$，这意味着比赛双方通过抛硬币获得场地选择权或发球权的机会均等，核心是体现公平性，据此排除不符合的选项。
【解析】
一枚硬币仅有正反两面，抛硬币时正面朝上、反面朝上的概率均为$\frac{1}{2}$，比赛双方通过抛硬币决定场地与发球者，双方获得对应权利的可能性相等，这种方式体现了比赛的公平性，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
概率的意义、公平性
【点评】
本题结合足球比赛的实际场景，考查概率在生活中的应用，贴近日常，难度较低，能帮助学生理解概率体现公平性的实际价值。
【难度系数】
0.9
3. 甲、乙两人投掷两个普通的正方体骰子,规定掷出“和为 7”算甲赢,掷出“和为 8”算乙赢,则这个游戏
（
A.对双方公平
B.对甲有利
C.对乙有利
D.无法确定公平性
（
B
）A.对双方公平
B.对甲有利
C.对乙有利
D.无法确定公平性
答案
3. B 解析:和为7的有3+4=7,4+3=7,2+5=7,5+2=7,1+6=7,6+1=7,共6种情况;和为8的有2+6=8,6+2=8,3+5=8,5+3=8,4+4=8,共5种情况,故甲赢的概率大,这个游戏对甲有利.
解析
【分析】
判断游戏公平性的关键是比较甲、乙赢的概率大小，概率大的一方更有利。解题步骤为：①先确定两个骰子投掷的所有等可能结果总数；②分别枚举“和为7”（甲赢）、“和为8”（乙赢）的具体情况，统计各自的数量；③根据概率公式计算双方赢的概率；④比较概率大小，得出游戏是否对某方有利的结论。
【解析】
两个普通正方体骰子投掷，总共有 $6 × 6 = 36$ 种等可能的结果。
1. 甲赢的情况：“和为7”的组合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6种，因此甲赢的概率为 $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。
2. 乙赢的情况：“和为8”的组合有(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)，共5种，因此乙赢的概率为 $\frac{5}{36}$。
3. 概率比较：$\frac{6}{36} ＞ \frac{5}{36}$，即甲赢的概率更大，游戏对甲有利。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、游戏公平性判断
【点评】
本题结合游戏场景考查概率的实际应用，核心是通过枚举法统计符合条件的事件数，计算概率后比较大小判断公平性，属于概率基础应用题型，需掌握枚举事件的方法。
【难度系数】
0.6
判断游戏公平性的关键是比较甲、乙赢的概率大小，概率大的一方更有利。解题步骤为：①先确定两个骰子投掷的所有等可能结果总数；②分别枚举“和为7”（甲赢）、“和为8”（乙赢）的具体情况，统计各自的数量；③根据概率公式计算双方赢的概率；④比较概率大小，得出游戏是否对某方有利的结论。
【解析】
两个普通正方体骰子投掷，总共有 $6 × 6 = 36$ 种等可能的结果。
1. 甲赢的情况：“和为7”的组合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6种，因此甲赢的概率为 $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。
2. 乙赢的情况：“和为8”的组合有(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)，共5种，因此乙赢的概率为 $\frac{5}{36}$。
3. 概率比较：$\frac{6}{36} ＞ \frac{5}{36}$，即甲赢的概率更大，游戏对甲有利。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、游戏公平性判断
【点评】
本题结合游戏场景考查概率的实际应用，核心是通过枚举法统计符合条件的事件数，计算概率后比较大小判断公平性，属于概率基础应用题型，需掌握枚举事件的方法。
【难度系数】
0.6
4. 在生活中，我们有时用抽签的方法来决定某件事情.例如，用抽签的方法从3名同学中选1名去参加音乐会，准备3张相同的小纸条，并在1张纸条画上记号，其余2张纸条不画.把3张纸条折叠后放入一个盒子中搅匀，然后让甲、乙、丙依次去摸纸条.若他们抽到画有记号的纸条的概率记为$P_甲$、$P_乙$、$P_丙$，则（
A.$P_甲＞P_乙＞P_丙$
B.$P_甲＜P_乙＜P_丙$
C.$P_甲＞P_乙=P_丙$
D.$P_甲=P_乙=P_丙$
D
）A.$P_甲＞P_乙＞P_丙$
B.$P_甲＜P_乙＜P_丙$
C.$P_甲＞P_乙=P_丙$
D.$P_甲=P_乙=P_丙$
答案
4. D 解析:不论他们按怎样的顺序摸,摸到有记号的纸条的概率都是$\frac{1}{3}$,$\therefore P_甲 = P_乙 = P_丙$.
解析
【分析】
要判断甲、乙、丙抽到画有记号纸条的概率大小，需分别计算三人的概率，核心是理解抽签的公平性：无论抽取顺序如何，每个人抽到目标纸条的概率相等。先计算甲的概率，再通过分情况讨论计算乙、丙的概率，最后比较三者大小。
【解析】
1. 计算$P_甲$：甲从3张纸条中随机抽1张，总共有3种等可能结果，其中1种是抽到记号纸条，因此$P_甲=\frac{1}{3}$。
2. 计算$P_乙$：分两种情况：
若甲抽到记号纸条（概率$\frac{1}{3}$），则乙抽到记号纸条的概率为0；
若甲未抽到记号纸条（概率$\frac{2}{3}$），此时剩余2张纸条中有1张记号，乙抽到记号纸条的概率为$\frac{1}{2}$；
因此$P_乙=\frac{1}{3}×0 + \frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$。
3. 计算$P_丙$：同理，分前两人的抽取情况讨论，最终可得$P_丙=\frac{1}{3}$。
综上，$P_甲=P_乙=P_丙$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率的计算、等可能性事件的概率
【点评】
本题考查抽签的公平性，通过分情况计算概率验证了“抽签顺序不影响概率”的结论，需避免主观认为后面的人概率更大的误区，属于基础概率应用题型。
【难度系数】
0.5
要判断甲、乙、丙抽到画有记号纸条的概率大小，需分别计算三人的概率，核心是理解抽签的公平性：无论抽取顺序如何，每个人抽到目标纸条的概率相等。先计算甲的概率，再通过分情况讨论计算乙、丙的概率，最后比较三者大小。
【解析】
1. 计算$P_甲$：甲从3张纸条中随机抽1张，总共有3种等可能结果，其中1种是抽到记号纸条，因此$P_甲=\frac{1}{3}$。
2. 计算$P_乙$：分两种情况：
若甲抽到记号纸条（概率$\frac{1}{3}$），则乙抽到记号纸条的概率为0；
若甲未抽到记号纸条（概率$\frac{2}{3}$），此时剩余2张纸条中有1张记号，乙抽到记号纸条的概率为$\frac{1}{2}$；
因此$P_乙=\frac{1}{3}×0 + \frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$。
3. 计算$P_丙$：同理，分前两人的抽取情况讨论，最终可得$P_丙=\frac{1}{3}$。
综上，$P_甲=P_乙=P_丙$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率的计算、等可能性事件的概率
【点评】
本题考查抽签的公平性，通过分情况计算概率验证了“抽签顺序不影响概率”的结论，需避免主观认为后面的人概率更大的误区，属于基础概率应用题型。
【难度系数】
0.5
5. 某校初中部20个班开展合唱比赛，以抽签方式决定每个班的出场顺序，签筒中有20根形状、大小完全相同的纸签，上面分别标有1,2,…,20，某班长首先抽签，他在看不到纸签上的数字的情况下，从签筒中随机抽取一根纸签，抽中序号是5的倍数的概率是
$\frac{1}{5}$
.答案
5. $\frac{1}{5}$ 解析:
∵1,2,…,20中5的倍数有5,10,15,20,共4个,
∴随机抽取一根纸签,抽中序号是5的倍数的概率是$\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$.
∵1,2,…,20中5的倍数有5,10,15,20,共4个,
∴随机抽取一根纸签,抽中序号是5的倍数的概率是$\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$.
解析
【分析】首先明确概率的计算公式：某事件发生的概率=该事件包含的基本事件数÷所有可能的基本事件总数。本题中，总共有20个纸签，因此总情况数为20；接下来找出1到20中5的倍数的数，确定符合条件的情况数，再代入公式计算即可。
【解析】总共有20个纸签，即所有可能的抽取结果共20种。在1到20中，5的倍数有5、10、15、20，共4种结果。根据概率公式，抽中序号是5的倍数的概率为符合条件的结果数除以总结果数，即$\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$。
【答案】$\frac{1}{5}$
【知识点】概率计算、5的倍数识别
【点评】本题考查简单的概率计算，属于基础题，关键是准确找出符合条件的数的个数，再代入概率公式计算，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】总共有20个纸签，即所有可能的抽取结果共20种。在1到20中，5的倍数有5、10、15、20，共4种结果。根据概率公式，抽中序号是5的倍数的概率为符合条件的结果数除以总结果数，即$\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$。
【答案】$\frac{1}{5}$
【知识点】概率计算、5的倍数识别
【点评】本题考查简单的概率计算，属于基础题，关键是准确找出符合条件的数的个数，再代入概率公式计算，难度较低。
【难度系数】0.8
6.【新情境】“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，分别是：A. 指南针、B. 造纸术、C. 火药、D. 印刷术。如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好。
(1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率。
(2)小强和小刚玩游戏，在(1)的规则上，若两人抽到的卡片有“指南针”，则小强胜，否则小刚胜。请判断上述游戏是否公平，并说明理由。
(1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率。
(2)小强和小刚玩游戏，在(1)的规则上，若两人抽到的卡片有“指南针”，则小强胜，否则小刚胜。请判断上述游戏是否公平，并说明理由。
答案
6. (1)画树状图如图所示
.由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果有2种,所以两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.(2)公平.理由如下:由树状图知,共有12种等可能的结果,其中两人抽到的卡片有“指南针”的结果有6种,没有“指南针”的结果有6种,所以小强胜的概率为$\frac{1}{2}$,小刚胜的概率为$\frac{1}{2}$,所以此游戏公平.
解析
【分析】
本题是概率应用类问题，解题思路为：对于不放回抽取的概率问题，通过画树状图或列表法列举所有等可能结果，再找出符合要求的结果数，利用概率公式计算概率；判断游戏是否公平，需分别计算双方获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平。
【解析】
(1) 画树状图（如图所示）：小强先抽取卡片，有A、B、C、D4种可能；小刚再从剩余3张中抽取，对应各有3种可能，因此共有$4×3=12$种等可能的结果。其中两人抽到的卡片恰好是“指南针”（A）和“造纸术”（B）的结果为(A,B)、(B,A)，共2种。根据概率公式，所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2) 由树状图可知，共有12种等可能的结果。其中两人抽到的卡片有“指南针”（A）的结果：小强抽A时，小刚有3种结果；小强未抽A时，小刚抽A，有3种结果，共6种，故小强胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$；没有“指南针”的结果有6种，故小刚胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。双方获胜概率相等，游戏公平。
【答案】
6. (1) 画树状图如图所示。由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果有2种，所以两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。(2) 公平。理由如下：由树状图知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片有“指南针”的结果有6种，没有“指南针”的结果有6种，所以小强胜的概率为$\frac{1}{2}$，小刚胜的概率为$\frac{1}{2}$，所以此游戏公平。
【知识点】
概率计算、游戏公平性
【点评】
本题结合传统文化情境考查概率的实际应用，通过树状图列举所有等可能结果，计算概率并判断游戏公平性，是概率模块的基础题型，注重对基本方法的掌握。
【难度系数】
0.5
本题是概率应用类问题，解题思路为：对于不放回抽取的概率问题，通过画树状图或列表法列举所有等可能结果，再找出符合要求的结果数，利用概率公式计算概率；判断游戏是否公平，需分别计算双方获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平。
【解析】
(1) 画树状图（如图所示）：小强先抽取卡片，有A、B、C、D4种可能；小刚再从剩余3张中抽取，对应各有3种可能，因此共有$4×3=12$种等可能的结果。其中两人抽到的卡片恰好是“指南针”（A）和“造纸术”（B）的结果为(A,B)、(B,A)，共2种。根据概率公式，所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2) 由树状图可知，共有12种等可能的结果。其中两人抽到的卡片有“指南针”（A）的结果：小强抽A时，小刚有3种结果；小强未抽A时，小刚抽A，有3种结果，共6种，故小强胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$；没有“指南针”的结果有6种，故小刚胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。双方获胜概率相等，游戏公平。
【答案】
6. (1) 画树状图如图所示
。由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果有2种，所以两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。(2) 公平。理由如下：由树状图知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片有“指南针”的结果有6种，没有“指南针”的结果有6种，所以小强胜的概率为$\frac{1}{2}$，小刚胜的概率为$\frac{1}{2}$，所以此游戏公平。【知识点】
概率计算、游戏公平性
【点评】
本题结合传统文化情境考查概率的实际应用，通过树状图列举所有等可能结果，计算概率并判断游戏公平性，是概率模块的基础题型，注重对基本方法的掌握。
【难度系数】
0.5
