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2.(2024·温州市期末)综合与实践:设计纸盒制作方案。
素材1:某实践小组欲制作尺寸如图1所示的横式和竖式两种无盖纸盒。
素材2:如图2,现有长150 cm,宽30 cm的纸板60张。需要对该纸板进行裁切做成$30\ \mathrm{cm} × 30\ \mathrm{cm}$的正方形纸板和$30\ \mathrm{cm} × 40\ \mathrm{cm}$的长方形纸板,裁切时不计损耗但不浪费纸板。
问题1:用1张$150\ \mathrm{cm} × 30\ \mathrm{cm}$的纸板能裁切正方形纸板和长方形纸板各多少张?
问题2:若制作后无材料剩余,设制作横式无盖纸盒$x(x＞0)$个,竖式无盖纸盒$y(y＞0)$个。
①用含$x,y$的代数式分别表示正方形纸板和长方形纸板的总数量。
②确定纸盒的所有制作方案,求出$x,y$的值。
素材1:某实践小组欲制作尺寸如图1所示的横式和竖式两种无盖纸盒。
素材2:如图2,现有长150 cm,宽30 cm的纸板60张。需要对该纸板进行裁切做成$30\ \mathrm{cm} × 30\ \mathrm{cm}$的正方形纸板和$30\ \mathrm{cm} × 40\ \mathrm{cm}$的长方形纸板,裁切时不计损耗但不浪费纸板。
问题1:用1张$150\ \mathrm{cm} × 30\ \mathrm{cm}$的纸板能裁切正方形纸板和长方形纸板各多少张?
问题2:若制作后无材料剩余,设制作横式无盖纸盒$x(x＞0)$个,竖式无盖纸盒$y(y＞0)$个。
①用含$x,y$的代数式分别表示正方形纸板和长方形纸板的总数量。
②确定纸盒的所有制作方案,求出$x,y$的值。
答案
2.问题1 解:设能裁切正方形纸板m张,长方形纸板n张。由题意,得30m+40n=150,即3m+4n=15,整理,得$m=5-\dfrac{4}{3}n$。当n=0时,m=5;当n=3时,m=1。答:方法一:能裁切正方形纸板5张,长方形纸板0张;方法二:能裁切正方形纸板1张,长方形纸板3张。
问题2 解:①由题意,得正方形纸板有(2x+y)张,长方形纸板有(3x+4y)张。
②设方法一用了a张纸板,方法二用了(60-a)张纸板。由题意,得$\begin{cases}5a+(60-a)=2x+y,\\3(60-a)=3x+4y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=12+\dfrac{19}{5}a,\\y=36-\dfrac{18}{5}a。\end{cases}$当a=0时,x=12,y=36;当a=5时,x=31,y=18。答:方案一:制作横式无盖纸盒12个,竖式无盖纸盒36个;方案二:制作横式无盖纸盒31个,竖式无盖纸盒18个。
问题2 解:①由题意,得正方形纸板有(2x+y)张,长方形纸板有(3x+4y)张。
②设方法一用了a张纸板,方法二用了(60-a)张纸板。由题意,得$\begin{cases}5a+(60-a)=2x+y,\\3(60-a)=3x+4y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=12+\dfrac{19}{5}a,\\y=36-\dfrac{18}{5}a。\end{cases}$当a=0时,x=12,y=36;当a=5时,x=31,y=18。答:方案一:制作横式无盖纸盒12个,竖式无盖纸盒36个;方案二:制作横式无盖纸盒31个,竖式无盖纸盒18个。
解析
【分析】
首先处理问题1：要将1张150cm×30cm的纸板裁切为30cm×30cm的正方形和30cm×40cm的长方形，需根据纸板总面积与裁切后各部分面积之和相等列方程，且裁切数量为非负整数，据此找出所有可行的裁切方法。接着处理问题2：①需先明确横式、竖式无盖纸盒分别需要的正方形和长方形纸板数量，再结合制作数量x、y，用代数式表示总数量；②结合问题1的两种裁切方法，设两种方法使用的纸板数量，根据总正方形、长方形纸板数量的关系列方程组，求解后根据x、y为正整数的条件确定可行的制作方案。
【解析】
问题1：设1张纸板能裁切正方形纸板m张，长方形纸板n张。
根据裁切后总面积等于原纸板面积，得：$30m + 40n = 150$，
化简为：$3m + 4n = 15$，
整理得：$m = 5 - \dfrac{4}{3}n$。
因为m、n为非负整数，所以n只能取0或3：
当$n=0$时，$m=5$；当$n=3$时，$m=1$。
故有两种裁切方法：方法一：正方形5张，长方形0张；方法二：正方形1张，长方形3张。
问题2：①分析横式、竖式无盖纸盒的组成：横式无盖纸盒需2张正方形纸板、3张长方形纸板；竖式无盖纸盒需1张正方形纸板、4张长方形纸板。
因此，正方形纸板总数量为：$2x + y$；长方形纸板总数量为：$3x + 4y$。
②设方法一（裁5张正方形、0张长方形）用了a张纸板，则方法二用了$(60 - a)$张纸板。
根据总正方形、长方形纸板数量，列方程组：
$\begin{cases}5a + (60 - a) = 2x + y \\ 3(60 - a) = 3x + 4y \end{cases}$
化简得：$\begin{cases}4a + 60 = 2x + y \\ 180 - 3a = 3x + 4y \end{cases}$，
解方程组得：$\begin{cases}x = 12 + \dfrac{19}{5}a \\ y = 36 - \dfrac{18}{5}a \end{cases}$。
因为$x＞0$，$y＞0$，且a为整数，所以a需满足：
$12 + \dfrac{19}{5}a ＞ 0$，$36 - \dfrac{18}{5}a ＞ 0$，且$\dfrac{19}{5}a$、$\dfrac{18}{5}a$为整数，故a为5的倍数，结合范围得$a=0$或$a=5$：
当$a=0$时，$x=12$，$y=36$；当$a=5$时，$x=31$，$y=18$。
【答案】
问题1：方法一：正方形5张，长方形0张；方法二：正方形1张，长方形3张。
问题2：①正方形纸板总数量为$(2x+y)$张，长方形纸板总数量为$(3x+4y)$张；②方案一：制作横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个；方案二：制作横式无盖纸盒31个，竖式无盖纸盒18个。
【知识点】
二元一次方程应用，方案设计，整式表示数量关系
【点评】
本题结合实际纸盒制作场景，考查二元一次方程（组）的应用，需要先分析图形组成明确数量关系，再通过整数解确定可行方案，体现数学建模素养，解题需注意变量的正整数限制。
【难度系数】
0.5
首先处理问题1：要将1张150cm×30cm的纸板裁切为30cm×30cm的正方形和30cm×40cm的长方形，需根据纸板总面积与裁切后各部分面积之和相等列方程，且裁切数量为非负整数，据此找出所有可行的裁切方法。接着处理问题2：①需先明确横式、竖式无盖纸盒分别需要的正方形和长方形纸板数量，再结合制作数量x、y，用代数式表示总数量；②结合问题1的两种裁切方法，设两种方法使用的纸板数量，根据总正方形、长方形纸板数量的关系列方程组，求解后根据x、y为正整数的条件确定可行的制作方案。
【解析】
问题1：设1张纸板能裁切正方形纸板m张，长方形纸板n张。
根据裁切后总面积等于原纸板面积，得：$30m + 40n = 150$，
化简为：$3m + 4n = 15$，
整理得：$m = 5 - \dfrac{4}{3}n$。
因为m、n为非负整数，所以n只能取0或3：
当$n=0$时，$m=5$；当$n=3$时，$m=1$。
故有两种裁切方法：方法一：正方形5张，长方形0张；方法二：正方形1张，长方形3张。
问题2：①分析横式、竖式无盖纸盒的组成：横式无盖纸盒需2张正方形纸板、3张长方形纸板；竖式无盖纸盒需1张正方形纸板、4张长方形纸板。
因此，正方形纸板总数量为：$2x + y$；长方形纸板总数量为：$3x + 4y$。
②设方法一（裁5张正方形、0张长方形）用了a张纸板，则方法二用了$(60 - a)$张纸板。
根据总正方形、长方形纸板数量，列方程组：
$\begin{cases}5a + (60 - a) = 2x + y \\ 3(60 - a) = 3x + 4y \end{cases}$
化简得：$\begin{cases}4a + 60 = 2x + y \\ 180 - 3a = 3x + 4y \end{cases}$，
解方程组得：$\begin{cases}x = 12 + \dfrac{19}{5}a \\ y = 36 - \dfrac{18}{5}a \end{cases}$。
因为$x＞0$，$y＞0$，且a为整数，所以a需满足：
$12 + \dfrac{19}{5}a ＞ 0$，$36 - \dfrac{18}{5}a ＞ 0$，且$\dfrac{19}{5}a$、$\dfrac{18}{5}a$为整数，故a为5的倍数，结合范围得$a=0$或$a=5$：
当$a=0$时，$x=12$，$y=36$；当$a=5$时，$x=31$，$y=18$。
【答案】
问题1：方法一：正方形5张，长方形0张；方法二：正方形1张，长方形3张。
问题2：①正方形纸板总数量为$(2x+y)$张，长方形纸板总数量为$(3x+4y)$张；②方案一：制作横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个；方案二：制作横式无盖纸盒31个，竖式无盖纸盒18个。
【知识点】
二元一次方程应用，方案设计，整式表示数量关系
【点评】
本题结合实际纸盒制作场景，考查二元一次方程（组）的应用，需要先分析图形组成明确数量关系，再通过整数解确定可行方案，体现数学建模素养，解题需注意变量的正整数限制。
【难度系数】
0.5
