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3. (2024·杭州市拱墅区期末)综合与实践。
问题情境:“综合与实践”课上,老师呈现了杭州市居民生活用电电价表(不完整)。
杭州市居民生活用电分段及价格一览表
单位:元/千瓦时
注:电费=高峰电价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量,若跨档,则分别计算各档电费后累加。
老师介绍了自己家庭生活用电的情况:截至上月底,本年度已用完第一档的额度,其中第一档低谷用电量为760千瓦时,第一档共产生电费1354.88元。
(1)求表格中$a$的值。
数学思考:
(2)同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题:经查询,点点家4月份使用的均为第二档的用电额度,其中高峰用电量为200千瓦时,低谷用电量为500千瓦时,共产生电费292.6元;芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度,其中高峰用电量为100千瓦时,低谷用电量为300千瓦时,共产生电费163.2元。求表格中$b$和$c$的值。
(3)若第一档花费144元可使用的最多电量为$n$千瓦时,则在第三档使用$n$千瓦时的电量最多需要电费多少元? 并说说你对家庭用电的建议。
问题情境:“综合与实践”课上,老师呈现了杭州市居民生活用电电价表(不完整)。
杭州市居民生活用电分段及价格一览表
单位:元/千瓦时
注:电费=高峰电价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量,若跨档,则分别计算各档电费后累加。
老师介绍了自己家庭生活用电的情况:截至上月底,本年度已用完第一档的额度,其中第一档低谷用电量为760千瓦时,第一档共产生电费1354.88元。
(1)求表格中$a$的值。
数学思考:
(2)同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题:经查询,点点家4月份使用的均为第二档的用电额度,其中高峰用电量为200千瓦时,低谷用电量为500千瓦时,共产生电费292.6元;芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度,其中高峰用电量为100千瓦时,低谷用电量为300千瓦时,共产生电费163.2元。求表格中$b$和$c$的值。
(3)若第一档花费144元可使用的最多电量为$n$千瓦时,则在第三档使用$n$千瓦时的电量最多需要电费多少元? 并说说你对家庭用电的建议。
答案
3.(1)解:设老师家第一档高峰用电量为x千瓦时。由题意,得0.568x+0.288×760=1354.88,解得x=2000。所以a=2000+760=2760。
(2)解:由题意,得$\begin{cases}200b+500c=292.6,\\100b+300c=163.2,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=0.618,\\c=0.338。\end{cases}$
(3)解:由题意,得n=144÷0.288=500(千瓦时),则在第三档最多需要电费500×0.868=434(元)。答:在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费434元。
建议:要节约家庭用电,尽量控制高峰用电(答案不唯一,合理即可)。
(2)解:由题意,得$\begin{cases}200b+500c=292.6,\\100b+300c=163.2,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=0.618,\\c=0.338。\end{cases}$
(3)解:由题意,得n=144÷0.288=500(千瓦时),则在第三档最多需要电费500×0.868=434(元)。答:在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费434元。
建议:要节约家庭用电,尽量控制高峰用电(答案不唯一,合理即可)。
解析
【分析】
本题是分段计费的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 求a时，利用“第一档总电费=第一档高峰电费+第一档低谷电费”，设第一档高峰用电量为x千瓦时，结合已知的低谷用电量、低谷电价和总电费列一元一次方程，求出x后，a为第一档总用电量（高峰+低谷）；
(2) 求b、c时，点点家和芳芳家的用电属于第二档，根据“第二档总电费=第二档高峰电费+第二档低谷电费”，分别列出关于b、c的二元一次方程，组成方程组求解；
(3) 求第三档最多电费时，先确定n：要使144元在第一档用的电量最多，需选第一档单价最低的低谷电价计算n；第三档单价最高的是高峰电价，用n乘第三档高峰电价得最多电费，再结合实际给出合理建议。
【解析】
(1) 设老师家第一档高峰用电量为x千瓦时。
根据题意列方程：
$0.568x + 0.288×760 = 1354.88$
计算得：$0.568x + 218.88 = 1354.88$
移项得：$0.568x = 1136$
解得：$x = 2000$
因此，$a = 2000 + 760 = 2760$。
(2) 根据点点家和芳芳家的第二档用电情况，列方程组：
$\begin{cases}200b + 500c = 292.6 \\100b + 300c = 163.2 \end{cases}$
将第二个方程乘2得：$200b + 600c = 326.4$
用该式减第一个方程消去b：
$100c = 33.8$，解得$c = 0.338$
将$c=0.338$代入$100b + 300×0.338 = 163.2$，得：
$100b = 61.8$，解得$b = 0.618$。
(3) 要使第一档花费144元的电量最多，选第一档低谷电价：
$n = 144 ÷ 0.288 = 500$（千瓦时）
第三档最多电费用高峰电价计算：
$500 × 0.868 = 434$（元）
建议：家庭用电应节约用电，尽量减少高峰时段用电（合理即可）。
【答案】
(1) $a=2760$；(2) $b=0.618$，$c=0.338$；(3) 最多需要电费434元；建议合理即可。
【知识点】
一元一次方程应用、二元一次方程组应用、分段计费问题
【点评】
本题结合生活实际的电费分段计费问题，考查方程的应用，需准确理解各档电价与用电量的关系，找准等量关系列方程（组），难度适中，贴近生活，培养应用意识。
【难度系数】
0.6
本题是分段计费的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 求a时，利用“第一档总电费=第一档高峰电费+第一档低谷电费”，设第一档高峰用电量为x千瓦时，结合已知的低谷用电量、低谷电价和总电费列一元一次方程，求出x后，a为第一档总用电量（高峰+低谷）；
(2) 求b、c时，点点家和芳芳家的用电属于第二档，根据“第二档总电费=第二档高峰电费+第二档低谷电费”，分别列出关于b、c的二元一次方程，组成方程组求解；
(3) 求第三档最多电费时，先确定n：要使144元在第一档用的电量最多，需选第一档单价最低的低谷电价计算n；第三档单价最高的是高峰电价，用n乘第三档高峰电价得最多电费，再结合实际给出合理建议。
【解析】
(1) 设老师家第一档高峰用电量为x千瓦时。
根据题意列方程：
$0.568x + 0.288×760 = 1354.88$
计算得：$0.568x + 218.88 = 1354.88$
移项得：$0.568x = 1136$
解得：$x = 2000$
因此，$a = 2000 + 760 = 2760$。
(2) 根据点点家和芳芳家的第二档用电情况，列方程组：
$\begin{cases}200b + 500c = 292.6 \\100b + 300c = 163.2 \end{cases}$
将第二个方程乘2得：$200b + 600c = 326.4$
用该式减第一个方程消去b：
$100c = 33.8$，解得$c = 0.338$
将$c=0.338$代入$100b + 300×0.338 = 163.2$，得：
$100b = 61.8$，解得$b = 0.618$。
(3) 要使第一档花费144元的电量最多，选第一档低谷电价：
$n = 144 ÷ 0.288 = 500$（千瓦时）
第三档最多电费用高峰电价计算：
$500 × 0.868 = 434$（元）
建议：家庭用电应节约用电，尽量减少高峰时段用电（合理即可）。
【答案】
(1) $a=2760$；(2) $b=0.618$，$c=0.338$；(3) 最多需要电费434元；建议合理即可。
【知识点】
一元一次方程应用、二元一次方程组应用、分段计费问题
【点评】
本题结合生活实际的电费分段计费问题，考查方程的应用，需准确理解各档电价与用电量的关系，找准等量关系列方程（组），难度适中，贴近生活，培养应用意识。
【难度系数】
0.6
