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9. 已知两个质数的和是18，积是77，则这两个质数分别是（
7
）和（11
）。答案
9. 7 11
解析
【分析】首先明确质数的定义（大于1的自然数，除了1和自身外没有其他因数），已知两个质数的积是77，可先分解77的因数，再结合两数和为18的条件筛选出符合的质数；也可先列出和为18的数对，再筛选其中的质数并验证积是否为77。
【解析】步骤1：分解77的因数，可得77=1×77=7×11，其中质数为7和11；步骤2：验证两质数的和，7+11=18，与题目中“两个质数的和是18”的条件一致，因此这两个质数是7和11。
【答案】7 11
【知识点】质数的概念、因数分解
【点评】本题考查质数的基本概念，通过因数分解结合和的条件即可快速求解，属于基础题，主要锻炼学生对质数定义的应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】步骤1：分解77的因数，可得77=1×77=7×11，其中质数为7和11；步骤2：验证两质数的和，7+11=18，与题目中“两个质数的和是18”的条件一致，因此这两个质数是7和11。
【答案】7 11
【知识点】质数的概念、因数分解
【点评】本题考查质数的基本概念，通过因数分解结合和的条件即可快速求解，属于基础题，主要锻炼学生对质数定义的应用能力。
【难度系数】0.7
10. 小迪受《乌鸦喝水》故事的启发，利用长方体容器和多个体积相同的小球进行了如图所示的操作。根据图中给出的信息，可以计算出每个小球的体积是(
52.8
)$\mathrm{cm}^3$，这个长方体容器中至少放入(8
)个小球时有水溢出。答案
10. 52.8 8
解析
【分析】首先明确核心关系：放入小球后，水面上升部分的体积等于小球的总体积。先通过5个小球使水面上升的高度求出单个小球的体积；再计算容器剩余可容纳的体积，结合单个小球体积，确定水溢出时至少需要放入的小球数量。
【解析】
1. 计算每个小球的体积：
长方体容器的底面积 = 长×宽 = $8×6 = 48$（$\mathrm{cm}^2$）
放入5个小球后，水面上升的高度 = $17.5 - 12 = 5.5$（$\mathrm{cm}$）
5个小球的总体积 = 底面积×水面上升高度 = $48×5.5 = 264$（$\mathrm{cm}^3$）
单个小球的体积 = $264÷5 = 52.8$（$\mathrm{cm}^3$）
2. 计算水溢出时至少放入的小球数：
容器还能容纳水的高度 = $20 - 12 = 8$（$\mathrm{cm}$）
容器剩余可容纳体积 = 底面积×剩余高度 = $48×8 = 384$（$\mathrm{cm}^3$）
需要的小球数量 = $384÷52.8≈7.27$，由于小球个数为整数，7个小球的体积（$7×52.8=369.6\ \mathrm{cm}^3$）小于剩余体积，未溢出；8个小球的体积（$8×52.8=422.4\ \mathrm{cm}^3$）大于剩余体积，会溢出，故至少放入8个小球时有水溢出。
【答案】52.8；8
【知识点】长方体体积、体积的等积变形
【点评】本题结合情境考查长方体体积公式的应用，关键是理解“排开的水的体积等于小球总体积”，计算时需注意小球个数为整数，需结合实际情况取整。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 计算每个小球的体积：
长方体容器的底面积 = 长×宽 = $8×6 = 48$（$\mathrm{cm}^2$）
放入5个小球后，水面上升的高度 = $17.5 - 12 = 5.5$（$\mathrm{cm}$）
5个小球的总体积 = 底面积×水面上升高度 = $48×5.5 = 264$（$\mathrm{cm}^3$）
单个小球的体积 = $264÷5 = 52.8$（$\mathrm{cm}^3$）
2. 计算水溢出时至少放入的小球数：
容器还能容纳水的高度 = $20 - 12 = 8$（$\mathrm{cm}$）
容器剩余可容纳体积 = 底面积×剩余高度 = $48×8 = 384$（$\mathrm{cm}^3$）
需要的小球数量 = $384÷52.8≈7.27$，由于小球个数为整数，7个小球的体积（$7×52.8=369.6\ \mathrm{cm}^3$）小于剩余体积，未溢出；8个小球的体积（$8×52.8=422.4\ \mathrm{cm}^3$）大于剩余体积，会溢出，故至少放入8个小球时有水溢出。
【答案】52.8；8
【知识点】长方体体积、体积的等积变形
【点评】本题结合情境考查长方体体积公式的应用，关键是理解“排开的水的体积等于小球总体积”，计算时需注意小球个数为整数，需结合实际情况取整。
【难度系数】0.5
11. 近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。在一次零件质量检查中，质检员王师傅发现15个同型号零件中有一个不合格，比其他零件轻一些，他用天平至少称( )次可以保证找到这个不合格的零件。
答案
11. 3
解析
【分析】找次品问题的最优策略是将待测物品分成3份，尽量平均分，若不能平均分则使多的一份与少的一份数量相差1，这样每次称量可排除最多的正品，保证用最少次数找到次品。本题中15个零件，按此方法操作即可确定最少称量次数。
【解析】把15个零件分成（5，5，5）三组：
1. 第一次称量：任取两组（5个的）放在天平两端，若天平平衡，则不合格零件在未取的5个中；若不平衡，不合格零件在轻的那5个中。
2. 第二次称量：把有不合格零件的5个分成（2，2，1）三组，取（2，2）两组放在天平两端，若天平平衡，则未取的1个是不合格零件；若不平衡，不合格零件在轻的那2个中。
3. 第三次称量：把有不合格零件的2个分成（1，1）两组，放在天平两端，轻的那1个就是不合格零件。
综上，至少称3次可以保证找到不合格零件。
【答案】3
【知识点】找次品
【点评】本题考查找次品问题的最优策略，核心是运用三分法减少称量次数，需掌握此类问题的解题逻辑。
【难度系数】0.6
【解析】把15个零件分成（5，5，5）三组：
1. 第一次称量：任取两组（5个的）放在天平两端，若天平平衡，则不合格零件在未取的5个中；若不平衡，不合格零件在轻的那5个中。
2. 第二次称量：把有不合格零件的5个分成（2，2，1）三组，取（2，2）两组放在天平两端，若天平平衡，则未取的1个是不合格零件；若不平衡，不合格零件在轻的那2个中。
3. 第三次称量：把有不合格零件的2个分成（1，1）两组，放在天平两端，轻的那1个就是不合格零件。
综上，至少称3次可以保证找到不合格零件。
【答案】3
【知识点】找次品
【点评】本题考查找次品问题的最优策略，核心是运用三分法减少称量次数，需掌握此类问题的解题逻辑。
【难度系数】0.6
12. 一杯纯牛奶,琳琳喝了$\frac{1}{2}$杯后,觉得有点凉,就兑满了热水,她又喝了半杯,就去写作业了。琳琳一共喝了( $\qquad\qquad$ )杯纯牛奶。
答案
12. $\frac{3}{4}$ 【解析】一杯纯牛奶，琳琳喝了$\frac{1}{2}$杯，即第一次喝了$\frac{1}{2}$杯纯牛奶；然后兑满热水，又喝了半杯，则第二次喝了剩下半杯纯牛奶的一半，即第二次喝了$\frac{1}{4}$杯纯牛奶、$\frac{1}{4}$杯水。所以两次一共喝了$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$(杯)纯牛奶。
解析
【分析】
这道题需分两次计算琳琳喝的纯牛奶总量。第一次喝的是整杯纯牛奶的$\frac{1}{2}$，可直接确定；第二次喝的是兑了水后的半杯，此时杯子里的纯牛奶是第一次喝完后剩余的量，需先算出剩余纯牛奶，再求第二次喝的纯牛奶量，最后将两次纯牛奶量相加即可得到结果。
【解析】
解：第一次喝的纯牛奶：$\frac{1}{2}$杯；
第一次喝完后，剩余纯牛奶：$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$杯；
第二次喝的半杯里，纯牛奶占剩余纯牛奶的$\frac{1}{2}$，即第二次喝的纯牛奶：$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$杯；
两次一共喝的纯牛奶：$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$杯。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
分数加减法、分数乘法
【点评】
本题是分数应用题，关键在于理解第二次饮用时纯牛奶的占比，需先计算剩余纯牛奶的量，再推导第二次喝的纯牛奶量，避免直接按半杯计算纯牛奶量的错误，考查学生对分数意义的理解与应用能力。
【难度系数】
0.6
这道题需分两次计算琳琳喝的纯牛奶总量。第一次喝的是整杯纯牛奶的$\frac{1}{2}$，可直接确定；第二次喝的是兑了水后的半杯，此时杯子里的纯牛奶是第一次喝完后剩余的量，需先算出剩余纯牛奶，再求第二次喝的纯牛奶量，最后将两次纯牛奶量相加即可得到结果。
【解析】
解：第一次喝的纯牛奶：$\frac{1}{2}$杯；
第一次喝完后，剩余纯牛奶：$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$杯；
第二次喝的半杯里，纯牛奶占剩余纯牛奶的$\frac{1}{2}$，即第二次喝的纯牛奶：$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$杯；
两次一共喝的纯牛奶：$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$杯。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
分数加减法、分数乘法
【点评】
本题是分数应用题，关键在于理解第二次饮用时纯牛奶的占比，需先计算剩余纯牛奶的量，再推导第二次喝的纯牛奶量，避免直接按半杯计算纯牛奶量的错误，考查学生对分数意义的理解与应用能力。
【难度系数】
0.6
1. 右图是一栋商业楼中某一时刻电梯按键情况的部分截图,亮灯按键(涂色部分)与图中按键总数量的关系和下图(
A.
B. C. D.
C
)中涂色部分与总面积的关系一致。A.
B. C. D.答案
1. C
解析
【分析】要解决本题，需先确定题干中亮灯按键数量与总按键数量的比值，再分别计算各选项中涂色部分与对应总面积的比值，通过对比比值找到一致的选项。第一步：数出题干里的总按键数和亮灯按键数，算出占比；第二步：逐个分析选项的涂色占比，匹配即可。
【解析】首先，观察题干的电梯按键：总按键数为4个，亮灯的按键有1个，因此亮灯按键占总按键数的比例为1÷4=1/4。接下来分析各选项：A选项涂色部分占总面积的比例为1/2，B选项为1/3，C选项为1/4，D选项为3/4，只有C选项的比例与题干一致，因此选C。
【答案】C
【知识点】分数的意义、比例的比较
【点评】本题通过实际情境考查分数的意义，核心是准确计算各部分的占比，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】首先，观察题干的电梯按键：总按键数为4个，亮灯的按键有1个，因此亮灯按键占总按键数的比例为1÷4=1/4。接下来分析各选项：A选项涂色部分占总面积的比例为1/2，B选项为1/3，C选项为1/4，D选项为3/4，只有C选项的比例与题干一致，因此选C。
【答案】C
【知识点】分数的意义、比例的比较
【点评】本题通过实际情境考查分数的意义，核心是准确计算各部分的占比，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
2. 下列说法正确的有(
①一个合数至少有3个因数。
②2的倍数都是偶数，3的倍数都是奇数。
③互质的两个数一定都是质数。
④7、9、15、87、630这五个数中，不是3的倍数的数只有1个。
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)个。①一个合数至少有3个因数。
②2的倍数都是偶数，3的倍数都是奇数。
③互质的两个数一定都是质数。
④7、9、15、87、630这五个数中，不是3的倍数的数只有1个。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2. B
解析
【分析】
本题需逐一判断四个关于数论概念的说法是否正确，统计正确说法的数量后匹配对应选项。解题核心是准确掌握质数、合数、因数、倍数、互质数的定义，逐个分析每个命题的正误。
【解析】
1. 分析①：合数的定义是除了1和它本身外还有其他因数的数，因此合数至少有3个因数（例如4的因数为1、2、4），故①正确；
2. 分析②：2的倍数能被2整除，都是偶数；但3的倍数不一定是奇数，例如6是3的倍数，却是偶数，故②错误；
3. 分析③：互质是指两个数的公因数只有1，互质的两个数不一定都是质数，例如8和9互质，但两者都是合数，故③错误；
4. 分析④：判断3的倍数的方法是各位数字之和为3的倍数。7的各位和为7，不是3的倍数；9的各位和为9，是3的倍数；15的各位和为6，是3的倍数；87的各位和为15，是3的倍数；630的各位和为9，是3的倍数。因此不是3的倍数的数只有7，共1个，故④正确。
综上，正确的说法有①和④，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
质数与合数；因数与倍数；互质数
【点评】
本题考查数论中的基础概念，需准确区分质数、合数、互质数、倍数等概念的定义，避免概念混淆，逐个判断即可得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
本题需逐一判断四个关于数论概念的说法是否正确，统计正确说法的数量后匹配对应选项。解题核心是准确掌握质数、合数、因数、倍数、互质数的定义，逐个分析每个命题的正误。
【解析】
1. 分析①：合数的定义是除了1和它本身外还有其他因数的数，因此合数至少有3个因数（例如4的因数为1、2、4），故①正确；
2. 分析②：2的倍数能被2整除，都是偶数；但3的倍数不一定是奇数，例如6是3的倍数，却是偶数，故②错误；
3. 分析③：互质是指两个数的公因数只有1，互质的两个数不一定都是质数，例如8和9互质，但两者都是合数，故③错误；
4. 分析④：判断3的倍数的方法是各位数字之和为3的倍数。7的各位和为7，不是3的倍数；9的各位和为9，是3的倍数；15的各位和为6，是3的倍数；87的各位和为15，是3的倍数；630的各位和为9，是3的倍数。因此不是3的倍数的数只有7，共1个，故④正确。
综上，正确的说法有①和④，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
质数与合数；因数与倍数；互质数
【点评】
本题考查数论中的基础概念，需准确区分质数、合数、互质数、倍数等概念的定义，避免概念混淆，逐个判断即可得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
3. 乐乐、萌萌、凯凯和欣欣一起体验制作黄陂泥塑，他们分别做了一个同样的泥塑，所用时间如下表，做得最快的是(
| 名字 | 乐乐 | 萌萌 | 凯凯 | 欣欣 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 时间/时 | $\dfrac{3}{5}$ |
| $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{7}{10}$ |
A.乐乐
B.萌萌
C.凯凯
D.欣欣
C
)。| 名字 | 乐乐 | 萌萌 | 凯凯 | 欣欣 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 时间/时 | $\dfrac{3}{5}$ |
| $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{7}{10}$ |A.乐乐
B.萌萌
C.凯凯
D.欣欣
答案
3. C 【解析】乐乐、萌萌、凯凯和欣欣做一个同样的泥塑，乐乐用了$\frac{3}{5}$时，即0.6时；萌萌用了0.75时；凯凯用了$\frac{1}{2}$时，即0.5时；欣欣用了$\frac{7}{10}$时，即0.7时。因为0.5＜0.6＜0.7＜0.75，即$\frac{1}{2}＜\frac{3}{5}＜\frac{7}{10}＜0.75$，所以凯凯用时最短，萌萌用时最长。用时越短，速度越快，所以凯凯做得最快。
解析
【分析】要判断谁做得最快，由于制作同样的泥塑，所用时间越短则速度越快，所以需先将四人的时间统一为同一形式，再比较时间大小，用时最短的即为做得最快的。
【解析】先将四人的时间转化为小数：乐乐的时间$\frac{3}{5}=0.6$时，萌萌的时间是0.75时，凯凯的时间$\frac{1}{2}=0.5$时，欣欣的时间$\frac{7}{10}=0.7$时。再比较小数大小：$0.5＜0.6＜0.7＜0.75$，可知凯凯用时最短，因此凯凯做得最快。
【答案】C
【知识点】分数与小数互化、小数大小比较、时间与速度的关系
【点评】本题结合实际情境考查数的大小比较，核心是理解“相同工作量下，用时越短速度越快”的逻辑，属于基础应用题，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】先将四人的时间转化为小数：乐乐的时间$\frac{3}{5}=0.6$时，萌萌的时间是0.75时，凯凯的时间$\frac{1}{2}=0.5$时，欣欣的时间$\frac{7}{10}=0.7$时。再比较小数大小：$0.5＜0.6＜0.7＜0.75$，可知凯凯用时最短，因此凯凯做得最快。
【答案】C
【知识点】分数与小数互化、小数大小比较、时间与速度的关系
【点评】本题结合实际情境考查数的大小比较，核心是理解“相同工作量下，用时越短速度越快”的逻辑，属于基础应用题，难度较低。
【难度系数】0.7
